具有退保风险的基于L¨evy的混合模型中的可变年金

罚款还可以帮助保险公司对冲基金价值的大幅上涨。最后，如果在T到期前死亡，死亡抚恤金支付（给抚恤金）的最大金额（为‘‘ti，G（’ti）），为‘‘ti∈\'t，i=1，N、 和‘‘t：=（’t，’t，…，’tN）>，其中0=’t<’t<<(R)tN=T。时间点不是保险人在合同有效期内监测死亡率的频率。原则上，时间尺度t和't可以是任意的，但在典型情况下，它们不是：我们假设t在某种意义上，任何移交时间Ti都包含在{t，…，tN}中。这是一个非常自然的假设，因为保险公司可能会在每个月底或每个季度监测投保人的死亡情况，而只有在合同有效期内的每年年底或保单周年纪念日才允许退保。上述对合同效益的描述强调了需要一个准确的财务模型，但也需要一个适当的死亡风险和退保风险模型。这将在本节的其余部分进行讨论，最后我们将讨论VA.3.1的市场一致性估值。死亡率模型。对于死亡风险的建模，我们遵循该领域的标准文献，并采用基于随机强度的方法。该框架由米列夫斯基和普罗米斯洛（2001）首创，达尔（2004）、达尔和莫勒（2006）进一步发展，最近由李和西迈尔（2011）推广，通过叠加随机过程捕捉随机改善和波动，建立在给定的死亡率初始曲线的基础上。详细信息。设τm（x）为捕捉x岁个体剩余寿命的随机时间。

关于给定概率度量的相应生存概率isQ（τm（x）>t）=EQe-Rtλmu（x+u）du,式中，λmt（x+t），t>0，是x+t年龄段个体的随机死亡率强度。该强度过程建模为λmt（x+t）=λm，0（x+t）ξt，（9）对于死亡率强度的初始曲线，λm，0，以及ξ=1的严格正过程ξtsuchthat，捕捉年龄dx+t的从时间0到时间t的死亡率改善。最后，死亡强度满足λm（x）=λm，0（x）的特性（详情见Dahland moller，2006年及其参考文献）。Gompertz-Makehammodel代表了初始死亡率曲线的一种流行选择（例如，Dahl，2004，Dahl and Moller，2006）。巴洛塔和哈贝曼（2006）采用了与英国年金受益人和养老金人口标准表结构相对应的替代规范。对于重要性改善率ξt的过程，也提出了许多选择：Dahl（2004）、Bi ffs（2005）、Dahl和Moller（2006），例如，专注于时间不均匀CIR过程中具有特殊相位的一个函数差异规范；Ballotta和Haberman（2006）通过叠加标准均值回复OrnsteinUhlenbeck过程和适当调节寿命效应，扩展了广义线性模型。鉴于上述情况，在下文中，我们选择标准Gompertz-Makeham模型作为初始曲线，因此λm，0（x+t）=be（x+t-zb），以及平均回复水平为e的扩展Ornstein-Uhlenbeck-λt死亡率改善率，如Krayzler等人（2016）所述，即dξ（t）=κ（exp(-λt）- ξ（t））dt+σdWt。我们假设W是一个独立于（L，L）的布朗运动，z，κ和σ是非负的，b是正的，λ∈ R

这意味着死亡率强度与金融市场无关。让我们用FL表示，L=（FL，Lt）0≤t型≤T*土地L产生的过滤。然后，对于任何一组A∈ FL，Lt，遵循方程h{τm（x）>t}Ai=Q（A）方程-Rtλmu（x+u）dui。（10） 需要考虑以下几点。首先，当ξ被建模为高斯OrnsteinUhlenbeck过程时，死亡率强度可以以正概率变为负。然而，这种可能性可以忽略不计（小于10-5） 如附录A.2所示。inEscobar等人（2016年）。对于强度中出现负值的困难，参见Bielecki和Rutkowski（2002），引理9.1.4和相关备注。其次，从保险公司的角度来看，上述死亡风险驱动因素W和财务风险驱动因素L之间的独立性假设是合理的：精确建模将是高度特定于客户的，并且需要保险公司很少能够获取的信息。此外，独立性假设意味着高度的可延展性，这对于这里考虑的VAs等复杂产品很重要。最后，由于人口风险和金融风险之间的独立性，生存概率的计算是在风险中性指标Q下进行的。关于死亡率风险和市场风险之间相互作用的具体考虑，我们请感兴趣的读者参考Dahl和Moller（2006）及其参考文献。3.2. 投降模式。众所周知，由于导致退保的决策的性质，退保风险很难评估和建模。投保人确实可以放弃，这既是因为替代性金融机会不断增加，也是因为个人考虑和意外事件导致的明显非理性（金融意义上）行为。

然而，退保是人寿保险公司面临的主要风险之一，这是由于其可能产生的流动性问题，并可能失去市场份额（例如，见Loisel和Milhaud，2011年，以及其中的参考文献）。放弃建模的常见市场和学术实践（参见Kolkiewicz和Tan，2006年，Le Courtois和Nakagawa，2011年，Ducuroir等人，2016年）是考虑两个组成部分：一个确定的基线风险率函数捕捉非经济因素造成的失效，另一个随机过程表示由于市场变化对基线造成的额外冲击。这种随机成分通常与合同产生的收益与同等产品在市场上产生的收益之间的价差有关。事实上，退保对利率的依赖性是相对直观的：较高的利率是保单持有人转向高收益投资的强烈动机，而极低的利率（如目前在所有主要经济体中观察到的利率）可能代表着有利的再融资机会。随机成分还应与基础资产的价值变化相联系，因为它直接影响退保时收到的金额。因此，按照这条推理路线，让τsde记录投保人决定退保的随机时间。如上所述，允许在时间点ti，i=1，K- 1.按惯例{τs=∞} 对应于不投降。让λs记录相应的屈服强度；对于t，则λs（t）=0∈ [0，t）∪ [tK，T]。

此外，我们通过非负常数C对非经济因素和个人意外事件导致的基线退保行为进行建模。“失效”最初用于表示保单终止和保险范围损失，因为保单持有人未能支付保费，虽然“退保”表示终止，同时支付退保福利。如今，“失效”通常表示两种情况。设D（t）为驱动动态失效分量的过程；与上述考虑一致，我们将此过程建立在退保收益（扣除任何罚款）加上该金额可投资的市场利率与保单总收益（由担保金额到期价值表示）之间的利差上。因此，设Yt=log St，p（t）=- 对数P（t）。ThenD（t）=Yt- p（t）+ZTtf（t，s）ds- δT，0≤ t型≤ T、 （11）因此，整体屈服强度定义为λs（T）=βD（ti）+C，ti≤ t<ti+1，（12），因此对于i=1，…，K，它在区间[ti，ti+1]上是分段常数- 1、非负常数β反映了退保强度与市场之间的依赖关系，是衡量投资者理性（纯经济意义上）及其对个人财务动机反应的指标。

方程式（12）使用利差函数D（t）的平方，以捕捉有利的市场条件提供更具报酬的投资机会的情况，以及保单持有人可能缺乏足够资源为其费用融资的金融市场动荡（应急基金假设）。虽然在精神上与文献中的其他人相似（例如，Le Courtois and Nakagawa，2011和Escobar et al.，2016），但我们的构造也因基础风险驱动因素土地L的非高斯动力学而与众不同。由此产生的不投降概率由q（τs）给出≥ ti | FL，Lti）=exp-Ztiλsudu, （13） 适用于所有1≤ 我≤ K- 1和q（τs≥ t | FL，Lt）=Q（τs=∞|FL，Lt）=exp-ZtKλsudu, （14） 对于tK-我们注意到最后一个积分等于exp(-RTλsudu）。此处选择的设置可以在双随机模型中获得，也可以在浸没模型中获得，请参阅Aksamit和Jeanblanc（2017），了解这方面的综合处理。附录A中研究了强度的另一种形式。最后，我们观察到，由于人口风险和金融风险之间假定的独立性，强度函数λ和λ是独立的。3.3. 可变年金的价格。使用上面介绍的符号，我们无法计算与所考虑的可变年金相关的实际现金流。首先，回顾一下，如果保单持有人仍然活着（即{τm（x）>T}），并且在此之前没有退保（即{τs>T}），GMAB仅在到期日T提供付款。因此，相关的到期现金流T为gmab（T）=1{τm（x）>T}{τs>T}max（IST，G（T））。（15） 其次，如果投保人仍然活着（即{τs<τm（x）}），退保期权只能行使一次。

因此，如果发生退保，则在时间tipaysSB（ti）=1{τs=ti}{τs<τm（x）}IStiP（ti），（16）的退保收益，其中ti是可能提前退保的日期之一。最后，死亡抚恤金仅在没有提前自首的情况下提供支付，并按asDB（\'ti）=1{\'ti进行量化-1.≤τm（x）<τti}{τm（x）<τs}max（IS（\'ti），G（\'ti）），（17），其中“ti”是死亡抚恤金的可能支付日期之一。t=0时可变年金的价格PVA等于其组成部分的价格之和，即PVA=PGMAB+PSB+PDB，（18）根据标准风险中性估值参数，PGMAB=EQe-RTr（u）duGMAB（T）,PSB=K-1Xi=1EQe-Rtir（u）duSB（ti）,PDB=NXi=1EQe-R'tir（u）duDB（'ti）.下节提供了这些表达式的易于处理的定价公式。4、市场一致性评估在本节中，我们在第2节提供的模型设置中，在存在死亡和退保风险的情况下，推导出上述可变年金合同组成部分的分析表达式。附录B.4.1中提供了以下所需的有用结果和表示。保证最小累积效益。τm（x）与金融市场和结果（14）之间的独立性意味着Pgmab=等式e-RTr（u）du{τm（x）>T}{τs>T}max（IST，G（T））= Q（τm（x）>T）等式e-RTr（u）dumax（IST，G（T））等式{τs>T}| FL，LT因此Pgmab=Q（τm（x）>T）EQe-RTr（u）到期-RtKλs（u）dumax（IST，G（T））.我们引入了定义为dqtdq=B（0，T）B（T）的T向前度量qtdq。（19） 表示关于QTby ET的期望，我们得到了pgmab=Q（τm（x）>T）B（0，T）ETe-RtKλs（u）dumax（IST，G（T））.观察max（IST，G（T））=G（T）1 +ISTG（T）- 1.+, （20） 因此PgmaBq（τm（x）>T）B（0，T）G（T）=ETe-RtKλs（u）du+ ET公司e-RtKλs（u）duISTG（T）- 1.+=: A+A，（21），最后一行有明显的定义。

因此，该术语表示保险公司面临的不提前退保的成本；相反，术语A是嵌入GMAB的期权的成本，条件是不提前退保。Letwl：=ZtlA（s，T）ds+ZTf（0，s）ds- δT- ω（tl）- p（tl）（22）对于l=1，K- 1和wk：=ZTA（s，T）ds+ZTf（0，s）ds- δT- ω（T）。（23）进一步定义tl：=tl- tl公司-1，以及R：=（0，…，0，R）∈ RK，1<r<2，且所有0≤ s≤ T和u∈ RK公司-1，v∈ CKD（u，T）：=经验值iK-1Xl=1LWL,D（v，T）：=D（v，…，vK-1，T）膨胀ivKwK公司,E（s，u，T）：=∑（s，T）+i（β（s）- ∑（s，T））K-1Xl=1ul{0≤s≤tl}，~E（s，v，T）：=E（s，v，…，vK-1，T）+i（β（s）- ∑（s，T））vK，（24）F（s，u）：=iσ（s）K-1Xl=1ul{0≤s≤tl}，~F（s，v）：=F（s，v，…，vK-1） +iσ（s）vK，M（u，T）：=D（u，T）eRTθs（E（s，u，T））ds+RTθs（F（s，u））dsKYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），N（v，T）：=~D（v- iR，T）eRTθs（~E（s，v-iR，T））ds+RTθs（~F（s，v-iR）ds×（ivK+r- 1） （ivK+r）KYl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl），用于v∈ RK。GMAB的值如下所示。定理4.1。Pgmab的价格由Pgmab=Q（τm（x）>T）B（0，T）G（T）（A+A）给出，其中A=e-C（tK-t） （2π）K-1e级-RTA（s，T）dsZRK-1M（u，T）du，A=e-C（tK-t） （2π）Ke-RTA（s，T）dsZRKN（u，T）du，A（s，T）如（5）所示。证据我们首先计算A和A，然后在证明的最后给出Q（τm（x）>T）的一个明确公式。通过定义λsin（12），我们得到a=e-C（tK-t） ET公司KYi=2e-βtiD（ti-1)= e-C（tK-t） ET公司f（D（t），D（tK-1)),式中，f（x，…，xK-1） ：=QKl=2e-βtlxl型-1.=QKl=2fl（xl-1). 对于一般函数f wedenote，通过其傅里叶变换。那么，对于任何y∈ C、 ^fl（y）=锆-βtltdt=rπβtlexp- y/（4β）tl）. （25）这意味着^f（y，…，yK-1） =KYl=2rπβtle公司-yl公司-1/(4βtl），（26），我们观察到∈ L（RK-1). 根据Eberlein等人（2010）等人的定理3.2f（D（t），D（tK-1))=（2π）K-1ZRK-1M（iu）^f(-u） du，（27）其中，对于任何u=（u。

，英国-1） ，M（iu）定义如下▄M（iu）：=ETeiuD（t）++iuK公司-1D（tK-1).使用附录中给出的D表示式（47）以及方程式（3）和（11），我们得到▄M（iu）=expiK-1Xl=1ul- p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl）×ET经验值iK-1Xl=1ulZtlσ（s）dLs+Ztl（β（s）- ∑（s，T））dLs.此外，根据表示法（49），在（19）中给出的qt的密度可以写为dqtdq=exp-ZTA（s，T）ds+ZT∑（s，T）dLs.顺延线经验值iK-1Xl=1（Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s））- ∑（s，T））dLs）= 均衡器经验值ZT∑（s，T））dLs-ZTA（s，T）ds×经验值iK-1Xl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs= e-RTA（s，T）dsEQ经验值中兴通讯（s，u，T）dLs+中兴通讯（s，u）dLs= 经验值-ZTA（s，T）ds+ZTθs（E（s，u，T））ds+ZTθs（F（s，u））ds,E和F如（24）所示。最后一个等式来自于土地方程（2）的独立性。因此，对于（24）中定义的D（u，T），我们有M（iu）=D（u，T）exp-ZTA（s，T）ds+ZTθs（E（s，u，T））ds+ZTθs（F（s，u））ds以及（27）中对A的陈述。我们继续计算A=ETe-RtKλs（u）duISTG（T）- 1.+.通过定义ST=exp（YT），G（T）=I exp（δT）和（47），我们得到了它的值：T=exp（DT）。因此，通过计算A时使用的相同参数，我们可以证明A=e-C（tK-t） ET公司f（D（t），D（tK-1))eD（T）- 1.+= e-C（tK-t） ET公司F（D（t），D（tK-1） ，D（T））,对于f（x，…，xK）：=f（x，…，xK-1） （exK- 1)+.为确保可积性，我们定义g（x，…，xK）：=F（x，…，xK）e-rxK，1<r<2。此外，letgK（xK）：=（exK- 1） +e-rxK。那么，gK∈ L（R），使得g∈ L（RK）。此外，初等积分表明∈ R^gK（y）=（iy- r+1）（iy- r） 。观察| gK（y）| C=（（1- r） +y）（r+y））-1/2，因此，^gK∈ L（R）。因此，将最后的结果与（26）相结合，我们推断出^g∈ L（RK）和^g（y，…，yK）=（iyK- r+1）（iyK- r） KYl=2rπβtle公司-yl公司-1/(4βtl）。

（28）自g起，^g∈ L（RK），我们可以应用Eberlein et al.（2010）和obtainET中的定理3.2F（D（t），D（tK-1） ，D（T））=（2π）KZRKN（R+iu）^F（iR- u） du，（29）带R：=（0，…，0，R）∈ RK，1<r<2，和▄N（r+iu）定义为▄N（r+iu）：=ETeiuD（t）++iuK公司-1D（tK-1） +（iuK+r）D（T）.如上所述，使用（24）中的符号，我们得出▄N（R+iu）=▄D（u- iR，T）e-RTA（s，T）ds×EQ经验值ZTE（s、u- iR，T）dLs+ZTF（s，u）- iR）dLs.当1<r<2时，根据（4）和（7），rσ（s）≤ 曼德| rβ（s）+（1-r） ∑（s，T）|≤ （2r- 1） M级≤ M、 因此，存在上述期望。利用土地（2）的独立性，我们得到N（R+iu）=D（u- iR，T）e-RTA（s，T）ds×expZTθs（~E（s，u- iR，T））ds+ZTθs（~F（s，u- iR））ds. （30）另一方面，观察任何u∈ RK，^g（u）=ZRKeihu，xie-hR，xiF（x）dx=^F（u+iR）。因此，我们推导出^F（iR- u） =^g(-u） =（iuK+r- 1） （iuK+r）KYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl）。（31）将（30）和（31）插入（29），权利要求如下。仍需计算Q（τm（x）>T）。考虑到第3.1节中的设置，It^o引理和Fubini定理（参见Escobar et al.，2016，以及另一个参数）意味着对于任何0≤ t型≤ TQ（τm（x）>t）=expAx（t）+Bx（t）λm（x）, （32）带ax（t）：=cexp（ct）c（c+c）[1- 经验值(-（c+c）t）]+复写的副本exp（2ct）c[1- 经验值(-2ct）]-复写的副本exp（2ct）2c+c[1- 经验值(-（2c+c）t）]-cexp（ct）cc[1- 经验值(-ct）]+复写的副本实验（2ct）c+c[1- 经验值(-2（c+c）t）]，Bx（t）：=c[经验值(-ct）- 1] ，andc：=κbexpx个- zb公司, c： =b- λ、 c：=κ-b、 c：=σbexpx个- zb公司, c： =b，带第3.1节中的κ、b、z、λ和σ。4.2. 死亡福利。在本节中，我们计算之前定义的死亡福利的价值asPDB=NXi=1EQe-R'tir（u）duDB（'ti）.回想一下方程式（22）和（23）中WL的定义。此外，对于i∈ {1，…，N}，wede fi fi new'ti：=Z'tiA（s，'ti）ds+Z'tif（0，s）ds- δ？ti- ω（(R)ti）- p（(R)ti）。（33）我们记得tl：=tl- tl公司-1、对于所有j∈ {1，…，K- 1} ，设R：=（0。