总时间序列冲击下的政策评估

要了解此对象的需要，请考虑一般分解：Zt=u（z）t+（z） t，E[（z） t]=0。（2.7）我们看到，TSLS估计量可以表示为聚合变量Yt、Wton Zt的时间序列回归。在应用中，通常假设Zt是外生的，而我们的回归（2.4）似乎是合理的。然而，由于Yt、Wt、ZT是时间序列，我们需要确认ZT和Yt、Wt中类似趋势导致虚假相关性的可能性。这是Borusyak和Hull（2020）中分析的更一般问题的一个特殊实例。我们对这个问题的解决方案在精神上与Borusyak和Hull（2020）类似。我们并不假设u（z）是已知的，而是假设研究人员可以使用函数ψt=（1，…，ψpt），其跨度u（z）t：u（z）t=η>zψt。（2.8）这里ψtcan包括不同类型的确定性趋势，或其他可以解释Zt变化的严格外生聚合变量。在没有任何关于Zt的额外信息和知识的情况下，ψtisψt的自然选择≡ 1–恒定平均值。在实践中，Zt的观测频率可能高于单位级数据，该附加信息可用于构建ψt。例如，可以使用滤波和相关程序（如Hamilton（2018））实现这一目的。2.2.2单位权重给定ψt，我们算法的第一步重点关注单位权重，这些权重随后用于聚合结果。我们通过求解二次优化问题来构造这些权重：（ω，η（w）ψ，η（w）z，η（y）ψ，η（y）z）==arg min{w，η（w）ψ，η（w）z，η（y）ψ，η（y）z}（ζTnkwk+PTt=1nPni=1wiYit- （η（y）ψ）>ψt- η（y）zZt^σY+PTt=1nPni=1wiWit- （η（w）ψ）>ψt- η（w）zZtσW）服从：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.9），其中σkare比例因子：σY=nTXit（Yit- 年初至今- Yi+Y），^σW=nTXit（即- Wt公司- Wi+W），（2.10）和ζ是用户指定的正则化参数。

通过构造，ω对于Witand Yit的重新缩放以及双向固定效应的添加是不变的。优化问题（2.9）不是很标准，为了获得直觉，考虑边缘情况很有用。如果ζ等于in finity，则优化函数的最后两部分无关紧要，可以直接显示ωi=Di-D^V[Di]。换句话说，我们得到的单位重量与引理1中使用的单位重量相同。一旦我们开始减小ζ，第二个两项开始起作用，从而迫使以下近似等式（对于t≤ T） ：nnXi=1ωiYit≈^η（y）ψ>ψt+^η（y）zZt，nnXi=1ωiWit≈^η（w）ψ>ψt+^η（w）zZt。（2.11）实施（2.11）的动机来自于估算（2.1）的应用程序。实践中的共同担忧是，虽然ZT是一种外生冲击，但它可能不是影响结果和内生政策变量的唯一聚合变量。传统的假设是，这些未观察到的冲击，如果存在的话，要么不会对单位产生不同的影响，因此会被时间固定的影响所捕获，要么会以一种无法预测的方式对其产生影响。在上述任何一种情况下，我们都应该期望（2.11）满足ωi=Di-D^V[Di]。在这种情况下，我们的算法应该生成与当前使用的单位权重相似的单位权重。实际上，DII是一个单元的特征，不能期望它被随机分配到多个单元。因此，先验地，没有理由相信未观察到的冲击会以与Di无关的方式影响体系。然而，很自然地假设这些冲击并不完全模仿Zt和ψt，并且存在一个单位组合，它受Zt、ψt和其他因素的影响。这种组合的一个经验表现是类似（2.11）的性质，其中聚合变量的大部分变化可归因于观察变量。

因此，通过使用实施（2.11）的单位权重，我们可能希望平衡未观察到的冲击。这就是优化问题背后的动机（2.9）。在接下来的章节中，我们将把这种直觉形式化，并为单位权重ω的这一性质提供形式化的统计保证。2.2.3聚合回归我们算法的第二步由两个时间序列回归组成。为此，我们构建了t>t的聚合变量：Yt=nnXi=1Yitωi，Wt=nnXi=1Witωi，（2.12），并使用它们通过OLS估计第一阶段和简化形式系数。特别是，我们对t>t进行以下回归：Yt=β（y）+（η（y）ψ）>ψt+δZt+ε（y）t，Wt=β（w）+（η（w）ψ）>ψt+πZt+ε（w）t，（2.13），并使用^δ，^π来构建通常的IV比率^τ：=^δ^π，或进行推断（见第3.4节）。我们可以立即看到，与第2.1节中描述的传统算法相比，我们的估计器有三个重要差异。关键区别在于，我们通过求解（2.9）来构建单位权重，并使用这些权重来聚合结果。第二个区别是，我们将函数ψ包含在聚合回归（2.13）中，以解决潜在的伪相关。最后，我们仅使用t>t的数据来使用样本分割和估计（2.13）。我们的算法有两个调整参数ζ和t。第3节中的理论结果显示了产生的误差如何依赖于Tifζ，其阶数为常数。在实践中，我们建议设置TTOT，即使用三分之一的可用数据来学习权重，其余的用于估计参数。我们使用以下表达式来选择正则化参数：ζ：=minσT/2（Y），σT/2（W）√n+T，（2.14），其中σk（·）对应于矩阵的第k个最大奇异值。2.3说明我们在蒙特卡罗实验中说明了我们算法的性能。

为了构建这一模拟，我们依赖中村（Nakamura）和斯坦森（Steinsson）（2014）的数据和分析，作者研究了ZF支出与州GDP增长之间的关系。他们使用1966年至2006年的国家总军事采购数据，并将其与美国的数据相结合。S、 经济分析局国家GDP和国家就业数据集。作者将这些数据与圣路易斯联邦储备银行FREDdatabase和Del Negro（1998）构建的州一级通货膨胀系列中的油价数据及其1995年后的通货膨胀计算进行了补充。算法1：估计算法数据：{Yit，Wit}it，{Di}ni=1，{Zt，ψt}Tt=1，t，ζ结果：第一阶段和简化形式估计（^π，^δ）1通过求解优化问题（2.9）构造单位权重{ωi}ni=1；t为2← T+1到T do3构造Yt=nPni=1Yitωi，Wt=nPni=1Witωi.4 end5使用OLS测试两个回归的数据：Yt=β（y）+（η（y）ψ）>ψT+δZt+ε（y）T，Wt=β（w）+（η（w）ψ）>ψT+πZt+ε（w）tand report^δ，^π；Nakamura和Steinsson（2014）希望通过估计增长-支出关系来获取的一个关键数量是开放经济相对乘数。他们比较了美国不同的州，并在小组环境中研究了他们对总军费支出变动的反应。他们认为，这种策略使他们能够控制常见的冲击（如货币政策）。这也让他们能够解释当地采购待决项目的潜在内生性。为了说明他们的方法，我们引入了一些符号-也在下面的模拟中使用。对于一般观察，状态i和一般周期t表示状态i自t年起的人均产出增长- 2到t乘以Yit。同样，表示第一州和第t年人均军事采购支出的两年增长，按产出标准化，第t年- 2，顺便提一下。

最后，让ZT成为自t年起国家采购总额的变化-2到t。这将生成一个数据集，其中n=51个状态，t=39个周期。在基线规范中，作者将州固定效应与总军费支出的影响相互作用，并将这种相互作用作为州级军事采购的IV。此练习相当于逐州进行回归以估计暴露量，然后在TSLS中使用基于这些估计暴露量的权重。更准确地说，作者首先通过估计每个单位i的回归来构建DIB：Wit=αi+πiZt+uit，（2.15）作者主张使用两年的变化，而不是一年的变化以及领先和滞后。然后使用^πiZtas仪器通过TSLS估计方程yit=βi+ut+τWit+εit（2.16）。在我们的实验中，我们试图抓住这一经验练习的精神，并调查数据生成过程的不同特征如何影响算法的性能。形式上，我们的模拟基于以下模型：Yit=β（y）i+u（y）t+L（y）it+τWit+θ（y）iHt+（y） it，Wit=β（w）i+u（w）t+L（w）it+πiZt+θ（w）iHt+（w） 它。（2.17）此处参数{β（y）i，β（w）i，u（y）t，u（w）t，L（y）it，L（w）it，τ，πi，θ（w）i，θ（y）i}i，皮重固定，而（y） 它，（w） itand{Zt，Ht}Tt=1是随机的（有关此模型的讨论，请参见第3节）。

为了使我们的模拟更真实，我们使用上述数据来构造{L（y）it、L（w）it、πi}it，以及{Zt}Tt=1和{（y） 它，（w） 它}它。这些数据并不能直接提供有关Htand{θ（w）i，θ（y）i}的信息，我们需要做出下面描述的特别选择。首先，我们通过降低每个时期的数据t：~Wit：=Wit，消除了结果和政策变量的时间固定效应-nnXi=1Wit，~Yit：=Yit-nnXi=1Yit。（2.18）然后，我们使用所有周期对每个单元进行以下回归：~Yit=α（y）i+δiZt+ε（y）it，~Wit=α（w）i+π（0）iZt+ε（w）it，（2.19）定义πi：=π（0）i，并在（2.17）中使用。对于k∈ {y，w}设E（k）为（2.19）：（E（k））it：=ε（k）it的残差的n×T矩阵。我们不需要构造{β（y）i，β（w）i，u（y）t，u（w）t}，因为我们考虑的算法对于单位和时间固定的影响是不变的。设计1设计2设计3设计4估计器RMSE偏差RMSE偏差RMSE偏差RMSE偏差RMSE偏差RMSE偏差0.014-0.000 0.038 0.000 0.026 0.008 0.122 0.072^πT SLS0.010 0.000 0.044-0.001 0.286 0.249 0.259 0.219^δ0.067-0.000 0.329-0.005 0.109 0.023 0.297 0.019^δT SLS。050 0.001 0.371-0.000 0.201 0.173 0.389 0.149^τ0.063-0.000 0.348-0.001 0.103 0.022 0.337 0.026^τT SLS0.047 0.001 0.414 0.007 0.177 0.157 0.446 0.160表1：每个模拟有2000个重复，τ=1.43；第一种设计：无广义FE，无未观察到的冲击；第二种设计：广义有限元，无未观察到的冲击；第三种设计：非一般化FE，未观察到冲击；第四种设计：广义有限元，未观察到的冲击。通过解决以下问题来构造L（k）：L（k）：=arg minM，rank（M）=11XitE（k）it- 麻省理工学院（2.20），这意味着L（k）仅将E（k）的11个最大奇异值设置为零。

我们使用残差E（k）- L（k）构造协方差矩阵：∑：=nTXitE（y）it- L（y）itE（y）it- L（y）itE（w）it- L（w）itE（y）it- L（y）itE（w）it- L（w）it E（w）it- L（w）it, （2.21）并生成(（y） 它，（w） it）从N（0，∑）开始。最后，我们使用R中的自动模型选择包，通过对数据{Zt}Tt=1建立ARIMAmodel来估计Zt的模型。我们将HTA构建为Zt和独立随机过程的线性组合，该随机过程具有与Zt相同的分布。我们将θ（w）设置为等于^πi和独立标准正态变量的线性组合，并对θ（y）i进行相同的设置。这些组合的参数、矩阵∑的元素和Zt模型的参数见附录C。我们选择这些参数，以使相应的未观测分量在大小上与πiZt和τπiZt相似。我们比较了我们的估计器（如算法1所述）与第2.1节中的标准TSLS算法的性能。在这两种情况下，我们都使用数据构建DIB，使用以下回归来计算t≤T： Wit=αi+πiZt+εit，（2.22），并设置Di=^πi。我们考虑四种不同的设计。在第一个设计中，我们将L（w）it、L（y）it以及HT2.17从模型中删除。在这种情况下，TSLS算法的性能应该比我们的更好，因为它使用了最佳权重。在第二个设计中，我们开始增加复杂性，并将其添加到模型中。我们可以将此设计视为中村和斯坦森（2014）数据的DGP，根据该DGP，TSLS方法是合理的。在这里，我们应该期望这两种算法在偏差方面表现良好，但在方差方面可能有所不同。

在第三种设计中，我们去掉了L（w）it，L（y）it，但添加了Ht，最后在第四种情况下，我们两个组件都有。在表1中，我们报告了2000多个τ=1.43情况下的模拟结果，与中村和斯坦森（2014）获得的点估计值相对应。结果证实了上述假设：在最简单的情况下，我们对τ的估计不如^τT SLS精确，尽管差异很小。我们看到第二种设计的RMSE有相当大的收益（18%）。值得注意的是，此设计的所有部分都直接来自数据，而不是由我们的选择驱动的。在第三种情况下，我们的估计器消除了大部分偏差，而TSLS误差主要由它决定。最后，在最一般的设计中，我们的估计几乎是无偏的，并且支配RMSE的TSLSin项。在图1中，我们绘制了^τ的密度-τ在第二次和第四次设计的模拟上。这些图显示了方差和偏差的增益，并显示了估计器的总体行为。我们再次看到，即使TSLS近似无偏差，使用我们的方法也会从精度的提高中获得收益。3理论分析我们在T个周期（T是一般周期）上观察到n个单位（i是一般单位）。对于每个单元，我们观察一个结果变量Yit、一个内生政策变量（治疗）Wit、一个聚集指数Zt和一个单元i暴露于该冲击Di的度量。我们的目标是估计一个人与智慧之间的因果关系。

我们从额外的单位特定时间不变协变量中抽象出来，但它们可以以一种简单的方式合并。-2.-1 0 1 20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2无未观察到的冲击刺激密度-1 0 1 20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2未观察到的冲击估计密度衰减率图1：误差分布- τ对于表1.3.1因果模型的第二个和第四个设计，在本节中，我们提出了一个因果模型，稍后将用于解释我们算法的输出。我们将此模型视为一个简洁的框架，它允许我们以最简单的形式讨论研究人员在应用程序中面临的核心问题。我们从潜在结果的模型开始。除了wt（Wit的潜在值）和zt（zt的潜在值），我们还引入了ht——一种未观察到的聚集性休克，对结果和治疗变量都有影响。我们定义wt：=（…，w，…，wt），zt：=（…，z，…，zt），ht：=（…，h，…，ht），并做出以下假设：假设3.1。（潜在结果）产生的潜在结果如下：Yit（wt，ht）=α（y）it+τwt+θ（y）iht，Wit（ht，zt）=α（w）it+πizt+θ（w）iht。（3.1）因此，观察结果表现如下：Yit=α（y）it+τWit+θ（y）iHt，Wit=α（w）it+πiZt+θ（w）iHt。（3.2）该假设和我们的总体设置的关键部分是未观察到的聚合变量HT。应用工作中已充分认识到此类冲击对识别的危险性（例如，Chodorow-Reich等人（2021））。文献中的典型限制是假设所有单位都以相同的方式受到未观测变量的影响，或者换句话说，假设θ（w）i，θ（y）i不随i变化，或者至少与πi无关。我们不做此假设，而是考虑到风险敞口的丰富异质性（另见第4节中的讨论）。

在大多数实证应用之后，我们将重点放在同期治疗效果上，并假设只有当前量会影响结果。最后，我们假设消除治疗效果的异质性，主要是为了简化阐述。正如我们在附录D中所讨论的，我们的理论结果可以扩展以考虑这种异质性，并且在其他假设下，结果估计可以解释为个体治疗效果的加权平均值。我们的下一个假设描述了总冲击与潜在结果之间的关系：假设3.2。（独立性）总冲击与潜在结果无关：{Zt，Ht}Tt=1⊥⊥ {α（w）it，α（y）it，θ（y）i，θ（w）i，πi}it。（3.3）为了解释这一限制，我们考虑了可能存在的两种不同情况：具有外源性总冲击的应用和均衡模型。具有外部冲击的模型。假设3.2最自然的情况出现在Zt、Ht可能被视为外生的应用中，即在单元级结果的相关模型之外确定。这种情况在发展文献中很常见，在发达国家出现这些总冲击，然后直接或间接影响发展中国家的结果（Nunn和Qian，2014）。更一般而言，在此类应用中，可以将假设3.2解释为严格的外生性假设（例如，Arellao（2003）），这是在不同应用中的差异中常规作出的。这一假设意味着，人们可以安全地对聚合变量设定条件，而不必担心这些变量会受到过去、现在或未来结果的影响。平衡模型。在某些应用中，例如在宏观经济学中，Zt和HTT是在一般均衡中确定的，不能被视为外生的。为了解释我们的框架如何适应这种情况，我们考虑了一些程式化的例子。