总时间序列冲击下的政策评估

，ε（k）T+1）；5计算并报告^∑（ω）：^∑（ω）：=k^ε（y）λ（z），（1）kkε（z）k^ε（y）λ（z），（1）（λ∧（z），（1））>（ε（w））>k^ε（z）k^ε（y）λ（z），（1）（λ∧（z），>（ε（w））>k^ε（z）kk^ε（w）ε（z），（1）kk^z）k3.4推论定理2不能立即用于推论，因为我们不知道ξbias的分布，也没有ρag的估计量。避免这个问题的一个标准理论工具是假设TT=o（1）。在这种情况下，偏差由方差决定，在某些假设下，可以估计方差，从而得出渐近有效的推断。然而，这种“欠平滑”技术对实证研究几乎没有指导意义。实际上，我们建议设置T~ T、 估计方差，并使用以ω为条件的normalapproximation进行推断。方差可以通过多种方式计算，算法2提供了一种特殊的实现。它使用估计矩阵^∧（z）作为输入，尤其是它的T×T子矩阵^∧（z），（1），它描述了(（z） T，（z） T+1）。设^∑（ω）为所得方差矩阵。我们建议用户在H：τ=τ：（^δ）下使用以下近似进行推理- τ^π) ≈ N0, (1, -τ)^Σ(ω)(1, -τ)>. （3.29）实际上，这意味着τ在α级被以下决策规则拒绝：{τ被拒绝}=^δ - τ^π≥q（1，-τ)^Σ(ω)(1, -τ） >z1-α/2, （3.30）其中zα是标准正态分布的α-分位数。可通过收集所有未被拒绝的τ值来构建置信集。这种“Anderson-Rubin”型结构对小型第一阶段系数很有效（最近的一项调查见Andrews et al.（2019））。在我们的背景下，使用（3.30）进行推断是很自然的，事实上，Borusyak和Hull（2020）建议对具有外源冲击的一般类别因果问题采用类似的程序，尽管不是渐进的（另请参见其中的参考文献）。

定理1可以用来证明，只要ρag=o，这种推断对于任意权重|ω都是有效的√T. 如果研究人员使用ω和定理2代替一般权重，则这一要求降低到较弱的条件ρag=o（1）。实际上，这意味着，如果Ht和Zt之间的相关性很小，那么利用我们的权重，基于（3.30）的推断是准确的。条件ρag=o（1）很强，因为它排除了总冲击之间存在强（但不完全）相关性的实际相关情况。如果T~ t在这种情况下，OREM 2没有任何帮助。为了处理这种情况，我们附加了一个假设，即他们的异向性错误（w） 它，（y） 它很小。类似的假设已在非线性测量误差文献中广泛使用（例如，Chesher（1991）；Evdokimov和Zelenev（2016），另见Schennach（2016））。令人惊讶的是，这样的条件是有用的，因为在OREM 2中，横截面噪声的误差主要由总变化决定。然而，当（w） 它，（y） 它很小，我们可以构造更好的权重ωi。我们的下一个定理在低噪声条件下提供了形式保证（一般版本见定理SB.2，B.3）：定理3。（推论）假设定理2的条件成立；此外，假设某些常数cl、cρl、cint满足以下限制条件∈ （0，1）作为n，T，Tapproachin单位：max{σy，σw}=o（1），TT=cint+o（1），min{l（y）（ω），l（w）（ω）}>cl>0，|ρl（ω）|<cρl<1。（3.31）设计1设计2设计3设计4尺寸0.015 0.004 0.045 0.081表2：对于第2.3节所述的模拟设计，使用标称尺寸为0.05的（3.30）计算H的拒收率：τ=1.43。

结果基于2000次模拟。那么以下情况成立：^δ(ω) -τηπ^π(ω) -ηπ=s1级- ρT∑（ω）（ξz+op（1））（3.32），其中ξzi与定理1中的相同，并在分布上收敛于标准二维正态随机向量。此外，假设^∧（z）是使用估计量^ρ=ρ+op（1）构造的。则（3.30）中所述的试验是一致的。该结果为定理2提供了一种替代方法，并在未观测到的冲击之间的相关性很强的情况下，验证了基于（3.30）的传统推断。这是有代价的：我们需要相信，特质冲击的方差很小。回想一下，变量（w） 它，（y） 它代表着测量误差，因此小方差机制可以解释为结果测量良好。如果单位层面的结果本身是聚合的（例如，单个层面数据的平均值），那么这种假设是自然的。我们认为，在这种情况下，定理3可能是实用的。我们还利用第2.3节的模拟研究了测试（3.30）的性质。结果总结在表2中，并显示了第2.3节中描述的四种不同设计的拒收率。我们看到，虽然基于（^δ，^π）的测试并不完美，但其大小失真相对较小。在上一次设计中，我们的估计器的合理性能可能归因于这样一个事实，即在这种情况下，特殊噪声的方差比固定效应的大小小得多。4讨论4.1应用中的构造暴露Dioften不是一个观察到的单位固定特征，而是一个构建为近似πi的数据相关量。对于每个单位，我们可以通过使用第一部分数据（t∈ [1，T]：Wit=αi+η>iψT+πiZt+εit。

（4.1）让^πibe作为该回归中的OLS估计量。研究人员经常使用Di=^πitogether和第2.1节中描述的常规TSLS权重。例如，Nakamura和Steinsson（2014）正是这样做的，尽管他们使用所有时期的数据估算了^πi。在Nunn和Qian（2014）中，作者使用了类似的算法，但不是运行回归（4.1），而是计算第一个周期的平均值。在假设3.3和3.4^πih下，表示如下：^πi=πi+^ηH | Zθ（w）i+ui，（4.2），其中ui是平均零误差（与i相关）。这立即显示了使用Di=^πitogether和常规权重的潜在问题。如果存在未观察到的总冲击，且具有异质性暴露，则^πII通常与之相关。同时，使用^πitogether和我们的权重ω是完全自然的，因为它们基本上是平衡θ（w）的。对于这种情况，我们没有提供正式的结果，但我们在第2.3节所述的模拟中遵循了这种策略，并且表现良好。在应用中，研究人员可以超越（4.1）并使用更复杂的程序。例如，在Du Flo和Pande（2007）中，作者预测了可用的单元特征集，并认为由此产生的Diare与随机分配的一样好。这种方法的有效性取决于Xi的性质。在Guren等人（2020b）中，作者提出了在第3节所述局部平衡模型的背景下构建权重的替代程序。特别是，他们建议通过嗅觉{（αi，πi）}ni=1的固定效应（使用（3.8）中的符号）来估计面板回归：Wit=αi+ut+γYit- πiWt- γπiYt+（w） 它（4.3）和使用^πito构造仪器^πiWt。在其他假设下，πi转化为（3.10）中定义的πias。

作者强调，为了产生有效的估计量，πiwts应与结果方程中未观测项θ（y）iwth不相关。这在我们的设置中并不成立，因为Ht和Wt通过构造进行关联，θ（y）iis允许与πi进行关联。将此过程与算法1相结合很有希望，并将其形式化分析留给未来的研究。4.2暴露的时间异质性假设3.1中描述的因果模型的限制之一是ZtandHta均以时间不变的方式影响结果。从形式上来说，这意味着πi和θ（w）i，θ（y）i在t上没有变化。第3节的统计分析以一种重要的方式依赖于这一假设，它保证了如果我们使用第一部分数据找到消除θ（w）i，θ（y）i的权重，这些权重对第二部分数据“起作用”。因此，它不能被完全限制，但可以放松。为了理解为什么这是可能的，请考虑时间不变曝光的推广：πit=πi+γ（π）iφ（π）t，θ（w）it=θ（w）i+γ（w）iφ（w）t，θ（y）it=θ（y）i+γ（w）iφ（w）t。（4.4）可以将此设置转换为假设3.1中描述的设置，但代价是增加了Ht的维数。虽然我们的形式化结果是针对一维Ht推导的，但如果维数适中，它们可以适用于多维情况。我们预计，只要φ（k）t不集中于特定的周期（例如，数据的第二部分），定理2,3的结论就成立。4.3可以扩展先验知识算法1，以适应研究人员在给定应用程序中可能拥有的其他知识。可以通过向优化问题引入额外的约束来实现。自然约束可以用协变量来定义。

例如，如果我们相信θ（w）iorθ（y）i与观察到的特征Xi相关，那么我们可以合并以下约束：nnXi=1wiXi=0。（4.5）根据应用情况，研究人员可能希望通过对所有单位i施加以下约束来控制ωib的符号：ωi（Di- D）≥ 0（4.6）这类似于合成控制算法中使用的标准非负性约束。在附录D中，我们讨论了该约束如何帮助具有异质性治疗效果的应用。更一般地，任何有关权重复杂性和结构的先验信息都可以纳入我们的算法中。只要产生的问题是凸的，就可以有效地解决，从而提供替代的单位权重。引入限制可能带来不同的好处，一般来说，估计员的行为取决于限制的性质。影响的关键部分是不可观测的数量n和允许的周期。在定理2中，我们需要n~ T、 这在应用中可能要求很高。如果附加的信息约束成立，则TCA可能会小得多。这种性质的精确结果可以使用Hirshberg（2021）介绍的一般界限得出。4.4转换份额设计在本节中，我们讨论我们的模型与转换份额或“Bartik”工具文献中的模型之间的关系（Adao等人，2019年；Borusyak等人，2018年；Goldsmith Pinkhamet等人，2020年）。我们首先考虑扩展原始框架。假设不是单一的总体冲击，而是其中的S。在典型应用中，这些将对应于行业层面的冲击。潜在结果现在由以下方程式确定：Yit=α（y）it+τWit+Xs∈Sθ（y）itsHts，Wit=α（w）it+Xs∈SπitsγitsZts+Xs∈Sθ（w）itsHts，（4.7），其中S是一个通用行业，我们观察到{γits}i，t，S，{Wit，Yit}it，{Zts}t，S，和piγits=1。

很明显，我们的模型是| S |=1的特例。转移份额文献中考虑的模型是（4.7）的特例，T=1，以及两个附加假设：（a）对于每个s，{Hts}s∈Sis与{Zts}不相关∈S、 和（b）E[Zts]=u，Ztsare与S不相关。现在，通过利用行业变量实现识别（见Borusyak et al.，2018）。在应用中，T通常不等于1，通常会考虑不同的模型。与此同时，身份识别论证并没有利用时间维度，而是侧重于不同行业的差异。我们可以立即看到，这两个模型在形式上和概念上都是非嵌套的：我们关注的是这个案例，有一个单一的总体冲击，其动机是发展和宏观经济学中的应用。在这些应用中，观察到的和未观察到的总冲击之间的相关性是作出因果索赔必须处理的关键问题。另一方面，移位共享文献侧重于内生性的主要来源是α（y）It和α（w）It之间的横截面相关性的情况，这通常是由于同时性问题（例如，当Yitis工资和Witis是劳动力供应时）引起的。我们认为，类型（4.7）的模型可能很有前景，因为它们允许两个识别参数的组合：一个基于随时间的变化，另一个基于s的变化。在应用中，s和T都可以是适度的（特别是，如果我们希望冲击在s上独立），因此使用这两个变化源是很自然的。此外，使用时间序列维度，可以估计zs与这种情况下的适应性之间的相关性。5结论总体冲击为单位水平的结果提供了外部变化的自然来源。

因此，他们经常被用来评估地方一级的政策。我们认为这个练习有两个概念性步骤：将单位级数据聚合成时间序列和分析聚合数据。我们提出了一种新的构建单位权重的算法，然后使用该算法生成聚合结果。在一个丰富的统计模型中，我们证明了我们的权重近似消除了潜在的未观察到的总体冲击，从而得到了一致的渐近正态估计量。聚合后，我们建议研究人员使用OLS回归来估计第一阶段和减少的形式系数。重要的是，这些回归应该包括其他变量，这些变量可以捕捉总体工具的潜在趋势。我们在数据驱动的仿真中展示了所得估计器的性能，证明了其在各种实际相关情况下优于传统TSLS估计器。我们还提供了使用基于设计的技术进行有效推理的条件。在我们的分析中，我们从问题的几个基本方面进行了抽象。我们的模型是静态的，不允许来自策略变量过去值的动态反馈。如果我们对能够产生长期效果的治疗感兴趣（例如，发展中国家的援助政策），这可能是营养不良。我们还对潜在结果（假设3.1）施加线性，在政策变量取极值（例如降雨量）的情况下，可能会受到限制。最后，我们忽略了任何衡量问题，并说结果和政策变量都是直接观察到的。我们相信这些限制可以在我们的框架内解决，并将这些发展留给未来的研究。参考文献Alberto Abadie和Javier Gardeazabal。冲突的经济成本：巴斯克国家的案例研究。

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