总时间序列冲击下的政策评估

首先，我们对潜在结果加以限制：α（y）it=ˋα（y）it+（y） it，α（w）it=ˋα（w）it+（w） 它。（3.4）这里我们将{ˇα（y）it，ˇα（w）it}视为固定数（条件），而变量{（y） 它，（w） 它是随机的。我们将其解释为测量误差。同样，我们将单个载荷{θ（w）i，θ（y）i，πi}ni=1视为固定载荷。在第一个例子中，我们考虑Zt和Ht是均衡中确定的政策变量的情况：Zt=nXi=1φ（z）i（ˇα（w）it+πiZt+θ（w）iHt）+（z） t，Ht=nXi=1φ（h）i（α（w）it+πiZt+θ（w）iHt）+（h） t，（3.5），其中系数{φ（z）i，φ（h）i}是固定的，并且是聚合误差（ˇ（z） t，ˇ（h） t）是随机的。求解这些方程，我们用以下方式表示Zt，Ht：Zt=u（z）t+（z） t，Ht=u（h）t+（h） t，（3.6）现在在哪里（z） 坦德（h） 皮重相关。一旦我们假设聚合错误(（z） t，（h） t）独立于{（w） 它，（y） 尽管Zt、Ht是内生的，但假设3.2仍然成立。我们的设置还考虑了Guren等人（2020b）中考虑的局部平衡模型。由以下方程式确定结果和治疗：Yit=ˇα（y）it+τWit+θ（y）iHt+（y） it，Wit=ˇα（w）it+γYit+θ（w）iνt+（w） 它。（3.7）在典型示例中，Y可以是位置i时期t的零售就业，而W是房价。总冲击νt，hT是外生的，未观察到（且可能相关）。继Guren等人。

（2020b）确定两个聚合变量：Wt=γYt+nnXi=1ˇα（w）it+θ（w）iνt,Yt=τWt+nnXi=1ˇα（y）it+θ（y）iHt.（3.8）将方程中的值Yitin替换为Wit，将方程中的值Ytin替换为Wt，并重新排列这些项，我们得到了Witand Wt的表示：Wit=1- γτˇα（w）it+γˇα（w）it+γθ（y）i1- γτHt+θ（w）i1- γτνt+1- γτ（w） it+γ（y） it部门,Wt=u（w）t+θ（y）Ht+θ（w）νt，（3.9），其中θ（y）和θ（w）是γθ（y）i1的平均值-γτ和θ（w）i1-γτ分别为，u（w）为1的平均值-γτˇα（w）it+γˇα（w）it. 观察到在该模型中，WT和Ht通过构造进行关联，除非θ（y）等于零，且ν和Ht不相关。表示Htand wt的νtin项，并返回Yitwe的原始方程，获得（3.1）的特定版本：Yit=ˇα（y）it+τWit+θ（y）iHt+（y） it，Wit=▄α（w）it+πiWt+▄θ（w）iHt+1- γτ（w） it+γ（y） it部门,（3.10）式中α（w）it=1-γτˇα（w）it+γˇα（w）it-θ（w）（1-γτ）θ（w）iu（w）t，πi=θ（w）（1-γτ）θ（w）i和∧θ（w）i=1-γτ（γθ（y）i-θ（y）θ（w）θ（w）i）。重要的是，与Guren等人（2020b）不同，我们不会假设πi和θ（y）i不相关。我们在第4.3.2节经济计量模型中返回此示例。本节描述了我们对前一节因果模型施加的关键统计限制。在我们的形式化分析中，我们导出了n、T和Tgo-toin-inity的渐近性质。形式上，我们分析中的所有对象都可以用n和T，T来改变，因此它们应该用n和T，T来索引。为了简洁起见，我们省略了这些索引。我们从基线结果的模型开始：假设3.3。

（结果模型）假设{（θ（y）i，θ（w）i，πi）}是确定性的，而α（y）it，α（w）i有以下分解：α（y）it=β（y）i+u（y）t+L（y）it+（y） it，α（w）it=β（w）i+u（w）t+L（w）it+（w） it，（3.11）其中{（β（y）i，u（y）t，β（w）i，u（w）t，L（y）it，L（w）it）}是确定性的，对于任何（i，t），特质冲击共同正常：（w） it部门（y） it部门~ N0,σwρidσwσyρidσwσyσy, （3.12）独立于单位和周期，对于某些常数cσ>0，最大{σy，σw}<cσ。该假设概括了传统的双向固定效应模型，允许L（y）it和L（w）it捕获额外的固定效应。作为一个简单的例子，可以想到互动固定效应（例如，Holtz-Eakin et al.（1988）；张伯伦（1992）；Bai（2009）；Moon和Weidner（2015，2017））：L（w）it=a（w）ib（w）t，L（y）it=a（y）ib（y）t.（3.13）在我们的分析中，我们允许这一部分更一般；特别是，我们不要求相应矩阵的秩固定，且其所有奇异值都较大。这一点非常重要，因为在应用中（L（w）it，L（y）it）可能具有复杂的结构（参见Arkhangelsky et al.（2019）的相关讨论）。我们施加误差的正态性以简化解释；在附加的技术假设下，类似的结果也适用于次高斯噪声。随着时间的推移，独立性可能与强调错误持续存在危险的经验实践不符（例如，Bertrand等人（2004））。在我们的设置中，我们将这种持久性归因于广义固定效应L（w）it，L（y）it（条件it）。我们的分析可以推广到解释向斜误差的有限依赖性。我们的下一个假设限制了观察到的和未观察到的时间冲击的分布。由于这些冲击在我们的设置中基本上提供了准实验变化，我们将此假设称为设计模型。假设3.4。

（设计模型）对于已知向量{ψt}Tt=1，聚集冲击（Zt，Ht）具有以下表示：Zt=η>zψt+（z） t，Ht=η>hψt+（h） t，（3.14），其中每个ψ的第一个分量等于1，对于某些常数，dim{ψt}=p<Cp>0。对于k∈ {z，h}定义（k） ：=(（k） T，（k） ）；存在T维向量ν（z），ν（h），两个上三角矩阵∧（z），具有非零对角元素的∧（h），以及ρag∈ (-cag，cag）对于cag<1，应满足以下条件：（z） =∧（z）ν（z），（h） =λ（h）（ρagν（z）+q（1- ρag）ν（h））。（3.15）向量ν（z），ν（h）是独立的，具有一致有界次高斯范数的独立分量，且Eh（ν（z）t）i=Eh（ν（h）t）i=1。这种假设描述了一类丰富的线性时间序列模型。我们不会强加错误的严重性（z） t，允许矩阵∧（z）和∧（h）的系数以一般方式随时间变化。例如，每个期间的差异可能不同。在附录A.2中，我们对矩阵∧（z）和∧（h）施加了额外的技术限制，排除了非常持久的情况（如随机游动），但仍然允许其他形式的非平稳性。之间的依赖关系（z） 坦德（h） 由于潜在冲击之间的相关性而变得迟钝。值得注意的是，相关系数ρagis的界限远离1，这意味着（h） t这不能完全解释为（z） t（反之亦然）。我们假设Zt和Ht的平均值等于向量ψt的线性组合。这对于Ht来说没有失去一般性，因为它的平均值可以被视为L（w）Itan和L（y）it的一部分。我们的最终假设描述了固定效应L（w）it、L（y）及其与θ（w）i、θ（y）和πi的关系的大小和复杂性。为了说明这一点，我们引入了额外的符号：△L（y）it：=τL（w）it+L（y）it，△θ（y）i：=τθ（w）i+θ（y）i。（3.16）定义了两个n×t矩阵L（w），（0），L（y），（0），这样对于k∈ {y，w}L（k），（0）it=L（k）it。

下一个假设要求存在一个权重向量，该向量可以近似消除冲击和未观察到的冲击，并与πi相关：假设3.5。（固定效应的复杂性和大小）存在ˋω和constantscˋω，例如，对于某些cfe=o（1），当n和Tgo相同时，以下条件成立：nnXi=1ˋωi=0，nnXi=1ˋωiπi=1，kˋωk≤ cˇω√n、 最小η（y）ψ，η（y）zTXt=1E“nnXi=1ˇωi（▄L（y）it+▄θ（y）i（h） t）- η（y）ψψt- η（y）z（z） t型#≤ cfe，最小η（w）ψ，η（w）zTXt=1E“nnXi=1ˇωi（L（w）it+θ（w）i（h） t）- η（w）ψψt- η（w）z（z） t型#≤ cfe。（3.17）此外，对于某些固定常数cL，满足以下条件：maxi，tL（w）it≤ cL，最大值，tL（y）it≤ cL，最大值θ（w）i≤ cL，最大值θ（y）i≤ cL，（3.18）和max{秩（L（w），（0）），秩（L（y），（0））}=o（min{n，T}）。这种假设考虑到非常普遍的L（w）it，L（y）it，尤其是与文献中通常假设的相比，它只施加了轻微的rankrestriction（例如，Bai（2009）；Moonand Weidner（2015、2017））。或者，可以根据近似秩（足够大的奇异值的数量）来制定该限制，以允许非退化矩阵L（w），（0），L（y），（0）。我们还要求固定效应有界，并限制其与πi的关系。为了更好地理解这一部分，请考虑一个简单的情况，其中L（w）It和L（y）It由交互固定效应描述，如（3.13）所示。假设3.5的第一部分只要πiis有界且不受（1，θ（w）i，θ（y），a（w）i，a（y）i）的影响，或者换句话说，以下回归以1为界：πi=c+cθ，wθ（w）i+cθ，yθ（y）i+ca，ya（y）i+ca，wa（w）i+ei（3.19），该回归的归一化残差可以起到ˇωi的作用，并且cfein（3.17）可以设置为零。只要固定效应（a（w）i、a（w）i、b（w）t、b（y）t）有界，就可以满足假设3.5的第二部分。

在更一般的模型中，将cfein假设3.5设置为零可能是不可行的，但可以保证，随着数据的大小变得更大，它会接近零。3.3统计保证我们开始分析时，会以一种完全通用的方式查看可能取决于样本第一部分（周期1至T）数据的权重|ω。对于任何此类权重，我们都可以构建总体结果并估计第一阶段以及简化形式系数。我们证明，这种估计器的误差具有与权重和未观测到的冲击风险之间的相关性成比例的确定性分量。该成分不受T的影响，T是样品第二部分的大小。误差的附加随机元素随T减小。然后，我们将这些结果专门化为第2.2.2节中描述的ω，并显示使用我们的权重所获得的收益。所有证据都收集在附录中。设{ωi}ni=1是权重序列，使得pni=1￠ωi=0。对于t∈ （T，T）确定聚合变量：Yt（|ω）：=nnXi=1|ωiYit，Wt（|ω）：=nnXi=1|ωiWit。（3.20）然后，我们通过OLS在以下回归中估计系数：Yt（|ω）=β（y）（|ω）+（η（y）ψ（|ω））>ψt+δ（|ω）Zt+ε（y）t，Wt（|ω）=β（w）（|ω）+（η（w）ψ（|ω））>ψt+π（|ω）Zt+ε（w）t，（3.21），并将我们的注意力集中在^π（|ω）和^δ（^ω）——分别为第一阶段和简化形式系数。为了理解我们的第一个结果，假设Yitand满足假设3.1和3.3中描述的限制。

然后我们得到t的以下聚合序列∈ （T，T）：Yt（|ω）=β（y）（|ω）+L（y）T（|ω）+θ（y）（|ω）Ht+τπ（|ω）Zt+（y） t（|ω），Wt（|ω）=β（w）（|ω）+L（w）t（|ω）+θ（w）（|ω）Ht+π（|ω）Zt+（w） t（￠ω）。（3.22）此处的总工程量是相应单位级参数的加权平均值，其准确定义见附录A.1。由于我们以样本的第一部分为条件，总趋势L（y）t（|ω），L（w）t（|ω）是确定性的，因此应与Zt创新无关。因此，他们不会将其归因于最终估计值的偏差，而只归因于其方差。然而，对于HTT来说，同样的情况并不存在，因为它仍然是随机的，并且根据假设可以与Zt相关。这种相关性将导致不受T影响的恒定大小的偏差。最后，我们预计会出现聚合语法错误（y） t（￠ω），（w） t（￠ω）很小（n次特质性电击的平均值）。我们将这种直觉形式化为下一个假设所描述的一类简化模型。我们施加这些限制只是为了简化结果的表示。一般情况见附录（定理B.1）。假设3.6。（自回归情形）假设ψt≡ 1，∧（z）=∧（h），∧（z）jl={l≥ j} ρl-j、 式中|ρ|<c<1。这一假设表明，这两个过程的平均值不会随时间而变化，且创新遵循自回归系数ρ的AR（1）过程。对于k∈ {y，w}定义以下数量：▄L（k）t（▄ω）：=XT<L≤TL（k）l（￠ω）-TXj>TL（k）j（￠ω）！{l≥ t} ρl-t对于t>t，l（k）（￠ω）：=s（1- ρag）Pt>0（～L（k）t（～ω））t.（3.23）确定L（y）t（～ω），～L（w）t（～ω）：ρL（～ω）：=Pt>0L（w）t（～ω）～L（k）w（～ω）L（w）（～ω）L（y）（～ω），（3.24）和两个矩阵之间的相关系数：∑：=（σy+τσw+2τρidσyσw）σw（ρidσy+τσw）σw（ρidσy+τσw）σw,∑ag（￠ω）：=l（y）（￠ω）ρl（|ω）l（y）（|ω）l（w）（|ω）ρl（|ω）l（y）（|ω）l（w）（|ω）l（w）（￠ω）.（3.25）我们现在准备陈述我们的第一个正式结果。定理1。

（任意权重）假设假设假设3.1,3.2,3.3,3.4,3.6保持不变；让权重{ωi}ni=1b，使得npni=1ωi=0，对于k∈ {y，w}maxtn |▄L（k）t（▄ω）| o=opl（k）（￠ω）.然后作为n和Tapproach，我们得到以下结果：^δ(~ω) -τnPni=1|ωiπi^π（|ω）-nPni=1Ωiπi=nPni=1|Ωi|θ（y）inPni=1|Ωiθ（w）iρag+Op√T+s1级- ρT∑ag（|ω）（ξz+op（1））+k|ωkp1- ρn√T（ξcr+op（1）），（3.26），其中ξcr~ N（0，∑），ξzis独立于ξcr，E[ξcr]=0，V[ξz]=I，且其收敛于标准法向量的不分布。该结果适用于任何权重，包括依赖于数据集第一部分的权重，只要它们的平均值为零，并且满足条件maxtn | L（k）t（|ω）| o=opl（k）（￠ω）叉∈ {y，w}。后者只需要将总趋势▄L（y）t（▄ω），▄L（y）t（▄ω）随时间有效地展开，以便没有单一周期占主导地位。对于任何此类权重，理论表明估计误差有三个组成部分：偏差：=nPni=1|Ωi|θ（y）inPni=1|Ωiθ（w）iρag+Op√T,聚集噪声：=s1- ρT∑ag（|ω）（ξz+op（1）），横截面噪声：=k|ωkp1- ρn√T（ξcr+op（1））。（3.27）偏差与ρ和权重与未观察到的冲击之间的协方差成正比。后者可以是常数阶，除非ˋωi独立于θ（w）i，θ（y）ibydesign。因此，除非ρagis很小（收敛到零），否则偏差不会消失。类似地，我们可以预期l（y）（|ω）和l（w）（|ω）的阶数为常数，从而使聚集噪声表现为√T、 在这种情况下，对于任何有界权重￠ω，横截面噪声由聚合噪声控制。这是很自然的，因为基本的外部变化来自时间序列维度。值得注意的是，产生的差异直接取决于AggregateShock的属性。有了系统地依赖于第一部分数据的权重，我们可以希望减少偏差。

为此，我们需要找到“平衡”θ（w）i、θ（y）i的权重。假设3.1、3.5表明这是可能的——HTD风险敞口不会随着时间的推移而改变，并且初始期是关于它们的信息。我们的第二个正式结果表明这确实是可能的，并描述了第2.2.2节中提出的权重估计量的行为。为了说明这一点，我们需要将我们用来构造ω的变量{Di}ni=1连接到未观察到的暴露πi。我们做出以下假设：假设3.7。（比例暴露）存在数量（η，ηπ），使得ηπ6=0，对于每个i，我们都有Di=η+ηππi。这种限制是由通常施加的经验工作驱动的（Nunnand Qian，2014）。我们作出这一假设是为了简化说明，并在附录中考虑更一般的版本（定理B.2）。我们还将在第4节中讨论与数据相关的DII。定理2。（系统权重）假设假设假设3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6,3.7保持不变，且最大tn |L（k）t（ω）| o=opl（k）（ω）; 此外，假设当T、T和n接近时，我们haveTn=casp+o（1）表示casp∈ （0，1）和ζ=c最大值{σw，σy，cfe}，最大值{σw，σy，cfe}√卡斯波。然后，以下情况成立：^δ(ω) -τηπ^π(ω) -ηπ=ξ偏差√Tρag+Op√T+s1级- ρT∑（ω）（ξz+op（1））+kωkp1- ρn√T（ξcr+op（1）），（3.28），其中ξcr，ξzare与定理1相同，ξbias是与ξcr，ξz紧密相关的二维随机向量。该结果的第一个含义是，对于权重ω，只要n，T，Tgo到单位，n，估计量是一致的~ T、 对n的限制是自然的：我们正在寻找n个不同的权重ωIth，只需要满足两个限制即可。每个∈ [1，T]提供了额外的信息，我们直观地要求T的大小与n相似，以找到合理的重量。

在第4节中，我们讨论了减少此需求的实际方法。定理1和定理2之间有两个不同之处。第一个是偏见的行为。对于权ω，估计量不仅是一致的，而且具有阶数的偏差√T. 如果T~ T、 这意味着估计量是渐近正态的，尽管有偏差。第二个区别是，第一阶段和简化形式的估计都是非常确定的确定性对象，取决于Dian和πi之间的关系（假设3.7）。我们将此结果视为使用第2.2节中的算法而非传统TSLS回归的主要理论依据。将定理2放在上下文中，将其与πiis完全随机的理想情况进行比较是有用的，因此与任何固定效应都不相关。在这种情况下，如果我们使用与πi成比例的权重￠ω- π所得协方差nPni=1|ωiθ（w）i，nPni=1|ωi|θ（y）i的阶数√nand平均值为零。定理2给出了相同的阶数（但不是零均值），代价是使用第一个周期来确定权重。随机权重也意味着来自L（w）it的方差，~L（y）Its的顺序√nT。我们的构造不能保证：我们在假设3.5中对L（w）it施加的限制，~L（y）it没有说明T以外的任何周期。算法2：方差数据的估计：{Yit，Wit}it，{ωi}ni=1，{Zt，ψT}Tt=1，^∧（z），（1），TResult：T的方差估计∑（ω）1← T+1到T do2构造Yt=nPni=1Yitωi，Wt=nPni=1Witωi.3 end4构造OLS残差{（y） t，^（w） 在以下回归中（对于t>t）：Yt=β（y）+（η（y）ψ）>ψt+δZt+ε（y）t，Wt=β（w）+（η（w）ψ）>ψt+πZt+ε（w）t，Zt=η+（η（z）ψ）>ψt+ε（z）t，对于k∈ {y，w，z}定义ε（k）：=（ε（k）T。