有交易的金融市场中的近最优动态资产配置

对于拉格朗日乘子，引入严格正鞅过程dyt=Ythβ>1，tdWt+bβ>2，tdWti（3.46）∈ R+，其中β1，t=φMt- ξ∏tandkbβ2，tkL（[0，T]）m∈ D1,2。然后，以下不等式适用于任何BXT。t、 xf，t=0m，Yandbβ2，tE[U（XT，∏t）]≤ E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，（3.47）在所有可行的bνt中完成Mbν∈ HbA—确实确保xopt，t=0，这样bxoptt∈bAX公司。同源tobxt=[xt，xf，t]>，这三个需求分为实际的“xf，t”部分和真正的“xt”部分。将Malliavin内核更改为DWtor DWtin（3.44），将真实需求与实际需求隔离开来。双基金分离原则与（3.15）类似，也可以通过（3.44）看到。VUdynamic资产配置问题以以下方式展开：infBβ2，t∈D1,2（[0，T]）m，Y∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX。（3.48）除此之外，由于xt=0不可行，强对偶性仍然存在：sup{bxt}t∈[0，T]∈bAXE[U（XT，πT）]=infbβ2，T∈D1,2（[0，T]）m，Y∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX。（3.49）假设bβopt2，tandYoptsolve（3.48）。那么，最优终端财富符合xOPTT=IYoptTB公司-1T，∏T. 互补松弛交替使用SUP{xt}t命令∈[0，T]∈bAXZT公司EhbSTYTBT公司-1.Fti公司- 东[年|英尺]bStBt-1.>dXtbS-1吨 bxt<∞. （3.50）表示Bβt=-bλf，t等于Y-1年至今-1T=B-1TdQbν/dP同意ZbνTin Mbν。证据这个命题的证明来自定理3.2的证明。命题3.4包含了与定理3.2中的结果一致的与其原始同系物相对应的对偶问题，这对于规范（3.37）至关重要，有助于协调基线约束市场与该规范经济体。与定理3.2一致，在本例中，Mbν从CS（3.50）Y中确定其定义-1YtQbν/P | ft对于（3.17）中以numéraire为基础的大道，双重含义是最小化过度-1Yt=ZbνtBt=Eλ> 1，t经验值-ZTbλ>2，tbλ2，tdt-ZTbλ2，tdWt（3.51）bνt∈ HbAtrades是最没有吸引力的。

此定价措施的选择即通过bλ2，tt型∈[0，T]纯粹基于非交易不确定性{Wt}T的定价∈[0，T]。为了揭示这一现象，让我们定义β：={Qβ~ P |等式βB-1测试Fs公司=B-1SS，等式βB-1tDtFs公司- B-1sDs∈ R dt P-a.e。， 0≤ s≤ t型≤ T}。因此，infQβ∈Mβ，η∈R+E五、ηB-1TdQβdP，∏T+ ηX，（3.52）CS条件bβt=-bλf，t从以下事实得出：∈ Rddt P-a.e.，授权{Yt}t∈[0，T]操作asdQdP英尺，0≤ t型≤ t关于{Wt}t∈[0，T]。同时，关于{Wt}t∈[0，T]，结构xf，T=0决定{Yt}T∈[0，T]在定价Dt时是不受限制的。ηY（3.48）可控Radon-Nikodym衍生物与有效外生名义利率的可分性。假设Qβopt∈ Mβ的最佳值为（3.52），然后dmt=exp-RT公司Rf，s- πs- （bβopts）>bξsds公司EφMt，bβopt2，t+ξ∏t>定义定价核函数xf的模拟值，t=0m。因此，在受过训练的市场中，在一个有效的内生过程之前，SRF是外生的。最后，为了有助于近似双重控制机制，让我们推导出thatsup{bxt}t∈[0，T]∈bAXE[U（XT，πT）]≤ infbβ2，t∈P、 Y型∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ XY（3.53）P D1,2（[0，T]）mofD1,2（[0，T]）mtopbeging基于（3.47）和强对偶性（3.49）给出了最优值函数的上界。同样，限制Top可能会在原始问题中产生一个下界。将这两个结果结合起来，1,2（[0，T]）的收缩可以确定最优值函数的上下界。我们通过求解对偶（3.52）完成了对这个理论例子的阐述。

有鉴于此，让我们bβ2，t, Y= E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，然后辨别W=EVX公司YTBT，∏TYTBTZT公司φ> tdWt公司-bβ>2，tφtdt+ OkφtkD1,2（[0，T]）m,（3.54）其中，w:D1,2（[0，T]）m×R+是符合（3.52），φtandbβ2，皮重的无约束目标，使得φT，bβ2，T+φT∈ D1,2（[0，T]）m和vx表示VIN的导数及其第一个参数。此外，我们还要注意Landau函数。然后W描述了小扰动φtonbβ2，t对W的影响。应用关于最优控制周围的小扰动必须对W有显著影响的论点，设置W等于零恢复了最佳Bβ2，t。我们在命题3.5中对此进行了形式化。提案3.5。考虑双重优化问题（3.48），以符合资产最佳配置的实际规范（3.37）。那么，bλopt2，t=-EB-1tyoptxoptt英尺-1EhDWtB-1tyoptxopttFti公司=1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T- Rt公司XoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T（3.55）逐项列出了一个等式，我们可以从中提取bλopt2，T以优化对偶。此外，bHηopt= E我ηoptZbνT，πTZbνT= X（3.56）观察（3.52）条线，如（3.34）所示，并选择最不利的完井方式。立根轴减小为符合所有Bλ2，t的立根轴∈ P、 因此，投资者无法有效地保护自己，使其免受Wt公司t型∈[0，T]，意味着这样一个下限。bβ2，t-bλ2，tZbνtY-1年至今-1确定我们能够从中提取唯一乘数ηopt=Y=bH的身份-1（X）。关于Stobey-toxoptt的最优投资组合规则=σSt>-1.Rt公司IY公司ηZbνT，∏T, ∏T-1Gx，t，t+1.- Rt公司我ηZbνT，∏T, ∏T-1.Gx、t、t+Rt我ηZbνT，∏T, ∏T-1λ1，t,（3.57）除toxf外，t=0m。提案3.3产生的其他条件仍然有效。

与（3.44）一致，xoptt=xm，optt+xZ，optt+x∏，optt保持，其中σSt>xZ，optt=-Rt1- RtE公司cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWQbνsi英尺（3.58）描述了随机偏差对冲的同一性，其中σSt>x∏，optt=-EcRt，TZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+bξt英尺（3.59）xm，opttRt-1σSt>-1λ1，t表示均值-方差组合。此外，套期保值系数readGx，t，t=RtE-cRt，T-ZTthDWt公司Rf，sds+bλf，sdWQbνs我英尺Gx，t，t=RtE-cRt，TZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+ ξ∏t英尺（3.60）推导（3.57）中的投资组合规则，其中DWtRf，s=DWtrs+DWtπs- DWtλ>sbξs.证明。（3.48）WD1,2（[0，T]）m×R+→R、 注意D1,2（[0，T]）m L(Ohm ×[0，T]）m.LetψT∈ D1,2（[0，T]）m，则：D{bβ2，T}W{ψT}=EVX公司YTBT，∏TYTBT公司-ZTbβ>2，tψtdt+ZTψ>tdWt= 0。（3.61）上述规定了弗里切特导数，应等于0。我们简化了{bβ2，t}W{ψt}=-E“ZTXoptTZbνTδ（ψt）- β> 2，tψtdt#= -中兴通讯ψ> tEhDWtXoptTZbνT-bβ2，tXoptTZbνTFti公司dt=0，（3.62）XoptTIB-1TYT，∏TZbνTB-1我们采用提案3.3中关于RTA和Rtalong以及CRT、TandcRt、TF的定义。bλf，t的最优性依赖于K的定义，因此是特定情况。因此，我们提供了证明。结果EDWtI公司YTBT，∏TYTBT公司-bβ2，tIYTBT，∏TYTBT公司英尺, ψtL(Ohm×[0，T]）=0。通过Riesz-Fréchet表示定理的virtueof，给定Rx，T：=IX（ηZbνT，∏T）ηZbνT，我们导出了bβopt2，T=EXoptTZbνT英尺-1EhDWtXoptTZbνTFti=EXoptTZbνT英尺-1×EhRx，T+XoptTDWtZbνT+IYηZbνT，∏TdMTDWtlog（πT）Fti（3.63）导致tobβopt2，t=-1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T+RtXoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T。乘数Yopt∈ R+诱导XoptT=I伯克希尔哈撒韦-1.十、Y-1YToptBT-1，∏T从…起-DYWκ=E我YZbνT，∏TZbνT- 十、κ=XoptTZbνT- 十、 κL(Ohm)= 0，（3.64）表示所有κ∈ R+。

然后，bβopt2，张力{bxoptt}t∈[0，T]∈bAXsuch ThatxOptts在受约束的市场M中既可行又最优，这归因于强二元性（3.49）。上述定理引出了与约束效用最大化问题的最优解有关的两个组成部分：（i）命题3.3中Bν2，tso的选择，以及（ii）BxtxtBνopt2，tbνopt2，t对偶的最优性标准。此外，它与（3.45）的等价性是明确的。对于最后一个元素，考虑到（3.37），我们观察到M中的静态问题服从于SUPXT∈L(Ohm)E[U（XT，∏T）]s.T.EXTZbνT≤ 十、 bν2，t=bνopt2，t.（3.65）前面的三个命题强调了在非交易风险的情况下，受约束的原始问题和无约束的行为规范之间的对偶性质。特别是对于每种选择的bνt∈ HBA到最佳值函数。充分减少双重因素，即选择最低价格，参见（3.45）。因此，我们随后概述了一种近似方法。4近似方法原则上，命题3.5是从插入{bβoptt}t发展而来∈[0，T]转化为命题3.3。利用定理3.1和命题3.3中的求解技术，得出命题3.5。对于不同于k=Rd×{0}m的限制，考虑例如Cuoco（1997）或Tepla（2000）。由于定理3.2中缺少闭式表达式，我们将可用Bβ的空间定义为一个闭凸集。然后，该过程存在于该定理提供的信息中，这样就可以得到真正最优投资决策的分析近似值。对偶原理产生了最优值函数的上下限，使我们能够衡量该方法的准确性。

我们附加了近似方法的蓝图和一个与第3.3.4.1节可行性策略投影相关的示例。我们从描述该方法开始，强调其子结构Bβ和凸集，P D1,2（[0，T]）n，它构成了将（3.45）投资组合规则激励到与控制P的有限空间一致的预先指定的可行区域bax的基石。此方法的根源在于不等式P{xt，ct}T∈[0，T]∈bAPXJL十、 {xt，ct}t∈[0，T]≤ infbβt∈HPA∩P、 Y型∈R+JU十、 Y，bβtt型∈[0，T], （4.1）其中，BAPX综合了所有与Bβt一致的可接受策略∈ HPbν∩ Pforbβt∈D1,2（[0，T]）n。此外，JLandJUdenote分别为原始（2.15）和双重（3.22）目标。定理3.2（4.1）当且仅当ifP=D1,2（[0，T]）norbβoptt时成立∈ pjoptarks jl和jualternate具有近似tobβt.P{bxt，ct}t的有效性∈[0，T]∈bAPXTo超越了解决（4.1）的LHS、Weaproximate terminal wealth XopttByx和一致消费流copttbyX的相应分析不可能性*T=X+ZTRf，tX*t型-bcP、opttdt+ZTprojbA0PXbxopt，>tbσtX*t型dWt+bλtdt, （4.2）我们发布ProJBA0px的地方：L(Ohm ×[0，T]）n→bA0PXbe是一个投影核，它与一个将任意n维状态方可积投资计划映射到{xt}t的算子相吻合∈[0，T]MbA0PXbcP，opttbcoptt/Xoptt|bβt∈HPbA公司∩军中福利社*TBCOPTTBXOPTTXOPTT定理3.2对偶中固有的最优控制。我们还注意到，基本财富X*Tdepends基于其过去的值，这些值可以通过X获得*T | T=T.bνtbβ远距。尽管如此，该方法的基础不会因bνt的障碍而改变。请注意，无约束bν中的最优性条件，即定理3.2中关于待定bβt的最优性条件，在分析上是可用的。

真正的最佳XOPTANDCOPTTFORbxoptt公司t型∈[0，T]bβtt型∈[0，T]该{bxt，ct}T∈[0，T]∈巴克霍尔德。因此，这些初始投资组合规则的可接受性受到Bβt唯一修改的影响。基本思想是，在保留1,2（[0，t]）ntoP的情况下，这些决定实际上等于定理3.2中未具体Bβt的决定∈ HPbA公司∩ 潘迪∈ R+。我们下一步努力tobxoptt | bβt∈HPbA公司∩p在投影操作符的帮助下满足可接受性标准。projbA0PXbxoptt、bcP、opttt型∈[0，T]对于anybβT∈ HPbA公司∩ P、 为了测定bβt，考虑dpbθL，*t、 bθU，*t型:= infbθU，*t型∈HPbA公司∩P×RJU十、bθU，*t型- supbθL，*t型∈HPbA公司∩P×RcJL十、bθL，*t型, （4.3）定义了与限制toPunderX相关的最小对偶间隙*Tin（4.2），其中我们分离了原始边bθL上的未指定近似控制，*t型=bβL，*t、 YL，*从双侧BθU上看，*t型=bβL，*t、 YL，*. 我们还将在插入projbA0PXbxoptt、bcP、opttt型∈[0，T]。最小二元间隙的量化以概述的近似值CJLProjba0pxbxOptBCP为条件，选择（4.3）中最右的项，通过连续的bθL完全确定，*t、 bθU，*t（4.2）X*T=X+ZTRf，tX*t型-bcP、optf、tdt+ZTdprojbA0PXbxopt，>tbσtX*t型dWt+bλtdt, （4.4）dprojbA0PXbxopt，>tprojbA0PXbxopt，>tbθL，*t=bθU，*tbcP、optf、tbcP、opttbθL，*t=bθU，*TXOPTCOPTTBβopttPcJLbθU，*tbθL，*t根据bθL，*t=bθU，*tin general仅适用于DPbθL，*t、 bθU，*t型= 这个等式具体地表明，在Bβ选择性地优化对偶的前提下，实际上相同的Theorem 3.2说明了xopttinmunmun。

在本分析中，我们利用这些等式计算未定义的bβt，类似于bxopttin Mbν。我们独家提及BxOPTT | bβt∈HbA∩Sphere，因为EBCTP选择不影响BXT的可接受性。近似原始参数和对偶参数伴随着三层最优性缺口。对偶差距减至零的例外情况是，当限制集P包含真正的最优影子价格Bβt时，或当我们让P与原始集1,2（[0，t]）n合并时。在所有其他情况下，DPbθL，*t、 bθU，*t型>0为真。因此，为了使（4.2）和（4.4）中两种近似的对偶间隙的大小都切实可见，我们计算了所谓的补偿变化。为此，我们检查X+CV，bθL，*t型= infbθU，*t型∈HbA×RJU十、bθU，*t型+ DPbθL，*t、 bθU，*t型, （4.5）其中，我们让JL，opt作为（4.3）中的主要目标，由两种近似模式中的一种产生，对应于初始禀赋x∈ R+。这里，我们用CV表示补偿变化∈ R+。前面的数量定义了必须添加毒素才能超过DP的资本量bθL，*t、 bθU，*t型. 从经济上讲，保护代理人不受{Wt}t不可分散性变化影响的VCV费用∈[0，T]。4.2逐步逼近路线我们继续描述P的近似方法 D1,2（[0，T]），在涉及蒙特卡罗的逐步例程中。尽管之前的近似toxoptt，但通常不会导出一个封闭式公式。考虑进一步可能的实际特征。让我们重写近似财富的等式，（4.2）或（4.4），如下所示*T） =日志十、+ZT公司Rf，t- c*t型-\'\'x>，*t'x*t型dt+ZT'x>，*t型dWt+bλtdt, （4.6）其中“x>”，*t=x>，*tbσ-1和C*t=bcP，opttX*t型-1，其中X*这近似于弓形虫病。因此，我们确保X*t> 0表示所有0≤ t型≤ T、 并消除依赖项x*TT=T，否则会影响模拟。

请注意，X*t来自RTt–coptt、udu+XoptTYoptt、TBt、T-1.英尺在定理3.2和thatbcP中，optt恢复事后事实c*德克萨斯州*t步骤1。方法初始化。我们初始化anN∈ N、 表示数字{Wt}t∈[0，T]ωi∈i、 ，Nwe fix anM公司∈ NrepresentingWt在[0，T]上的时间增量数。也就是说，我们将[0，T]划分为0=T<T<…<tM=Tsuch that我们请读者参阅de Palma and Prigent（2008）和de Palma and Prigent（2009）了解详细信息|ti公司- ti公司-1 |=T/Mfori≥0.总之，可以使用有限差分方法，根据N×M诱导的样本空间模拟状态变量。步骤2。财富动态。十、*德克萨斯州*tc公司*ticallog（X*T） 在（4.6）中。由此产生的过程配备了未指定的BθL，*t、 我们给状态相关过程赋以ωj-符号。近似值X*t然后同意log（X*T（ωj））=对数（X）+MXi=1Rf，ti-1（ωj）+x>，*ti公司-1（ωj）λ1，ti-1.- c*t（ωj）-\'\'x>，*ti公司-1（ωj）(R)x*ti公司-1（ωj）ti+MXi=1英寸x>，*ti公司-1（ωj）Wti（ωj）- Wti公司-1（ωj）（4.7）j，Ntiti公司- ti公司-1英寸x*tiweights隐含在Projba0pxbxOptOrdProjba0pxbxOptT中。我们模拟x的对数*Tso asto safeguardX*T> 0，参见（4.6）。前一规则“离散重复项”x*注意未指定的BθL，*t、 并遵循方程（3.31），作为状态变量的非线性变换。更多，X*tn取（4.7）中的和，直到n=1，M、 第3步。影子价格和乘数。然后，我们继续优化确定近似影子价格bβL，*t对应的拉格朗日乘数，*bθL，*t型∈ HPbA公司∩ P×r最大化由以下原始值函数cjl=NNXj=1MXi=1u确定的作业下限c*ti（ωj）X*ti（ωj），∏ti（ωj）ti+NNXj=1U（X*T（ωj），∏T（ωj）），（4.8）以上bβL，*t、 YL，*∈ HPA∩ P×R。

除了分析上不可操作的FOC之外，封闭式公式的不可用刺激了此类数值算法的使用。运行时间取决于例程，因此没有信息。很明显，我们在这一点上说我们拥有X*t对于每个Hn=1，M、 模拟X*tnprojbA0PXbxoptto对于projbA0PXbxoptt，应用初始化为bθL的（4.8）数值最大化，*t=bθU，*t、 o若为PROJBA0PXBXOPTT，我们设定θL，*t=bθU，*ta先验，这样就可以跳过步骤3。bθL，*tprojba0pxbxoptt添加了一个元素，该元素旨在通过在假定分析可用的双控制sbθU处初始化正在检查的方法来沉淀任何运行时间，*t、 第二个DProjba0pxbxoptt通过pre-fixedbθL描述了其完整的分析特性，*t=bθU，*t、 请注意，在这一步中，我们将cP、optto projba0pxbxoptt和cP、optf、ttodprojbA0PXbxoptt耦合在一起。第4步。绩效评估。机制的。定义DPbθL，*t、 bθU，*t型:=cJU（X）-\\JL，可选十、, 其中，cjuand，optar分别是近似解析对偶函数和近似估计初值函数。为了恢复CV，我们将数值上容易的根查找模式应用于JL，opt（X+CV）=Jopt+cDPbθL，*t、 bθU，*t型=cJU（X），（4.9），其中我们搜索所有CV∈ R+，这样这个等式成立。观察该CV∈ R+X*Tc公司*t严格增加效用函数a和u。该方程的LHS还包括BβL，*tYL公司，*根据技术；它只用于测量近似值的精度。我们在假设问题的两面给出对偶控制的解析表达式bθU的情况下，分析了逐步逼近例程，*和上限值函数JU。然而，由于dualK Rd+mdual controlsbθU，*t。