有交易的金融市场中的近最优动态资产配置

这两个方面极大地扩大了Bick等人（2013）的普遍性。十、η ∈ R+LL(Ohm) ×L(Ohm ×【0，T】×R+→ R从这里开始，让ξ∈ L(Ohm), ξ∈ L(Ohm ×[0，T]）以及ξ∈ R+。我们导出xtl（XT，{ct}，η）ξ=DUX（XT，πT）- ηZT，ξEL(Ohm)= 0，D{ct}L（XT，{ct}，η）{ξ}=De-RtβsuX（ct，∏t）- ηZt，ξEL(Ohm×[0，T]）=0，（3.6）DηL（XT，{ct}，η）ξXTZTRCTZTT-十、 ξL(Ohm)DXTLL(Ohm) →R、 D{ct}L：L(Ohm ×【0，T】）→ R、 和DηL:R+→ R、 参见定义A.1。因此，UX（XT，∏T）- ηZT=0，和e-RtβsuX（ct，∏t）- ηZt=0。（3.7）注意dxt，XTL{ξ，ξ}=hUXX（XT，πT），ξiL(Ohm)<0和d{ct}，{ct}L{ξ，ξ}=De-Rtβsu{ct}，{ct}（ct，∏t），ξEL(Ohm×[0，T]）<0 ξ ∈ L(Ohm), ξ∈ L(Ohm ×【0，T】）矿石【U（XT，πT）】≤ E[V（ηZT，πT）+ηZTXT]=E[U（I（ηZT，πT），πT）- η（I（ηZT，∏T）ZT+XTZT）]≤ EU我H-1（X）ZT，∏T, ∏T= EUXoptT，∏T,（3.8）和类似的EHRTE-Rtβsdsu（ct，∏t）i≤ EhRTe公司-Rtβsdsucoptt，∏t我 （XT，ct）∈cL，验证对的最优性XoptT、coptt（3.7）中固有的。然后，让我们通过推导最优投资组合规则来前进。从地铁，x> tbσt-bλ>tXopttZt>= E载重吨XoptTZT+ZTtcoptsZsds英尺（3.9）必须保持，因为XoptTZλT+RTcopttZtdt∈ D1,2 L(Ohm) 是一个P-鞅。定义，u：=ZutDWtπs- DWtbξs·bξsds+ZutDWtbξsdWs+bξt，u≥ tGt，u：=-ZutDWt公司Rf，s+DWtbλs·bλsds公司-ZutDWtbλsdWs，u≥ t、 （3.10）对于WTRF，s=DWtrs+DWtπs- DWtbξ>tbλt，带r-1c，u=-uX（coptu，∏u）/uXX（coptu，∏u）coptu，R-1X=-用户体验XoptT，∏T/UXXXoptT，∏TXoptT公司-1、最佳xopttemerge给定nexm，optt=EZTtR公司-1c、ucoptuZt、udu+R-1XXoptTZt，T英尺（3.11）带R-1c，u=eIYeRuβsdsH-1（X）Zu，∏uMuand R-1X=IYH-1（X）ZT，∏TMT.DXTLkUX（XT，∏T）kL(Ohm)< ∞XTI（重量，∏T）所有重量∈ L(Ohm) 满足此条件；XoptT公司∈ L(Ohm) 因此服从。

这将传递到uX（ct，πt）。考虑到无约束经济是真实经济，我们将定理3.1分解。为了消除（3.3）中公式的超灵活性，我们注意到，在凸对偶的应用中，这种技术发挥了突出的作用。公式本身构成了著名的身份，大量文献为其提供了经济直观的含义；例如，Karatzas和Shreve（1998）。xoptt公司Xoptt、copttt型∈（3.2）中的[0，T]被积函数，指示给定的Xoptt，T：=B-1TXoptT+RTtB-1 Coptudu ThatxOpt公司=B-1tXopttbσ>t均衡器DWtXoptt，T- Xopt0，TZTtDWtbλsdWQs英尺. （3.12）XOPTT沿着Detemple和Rindesbacher（2009）中分解演习的路线。这些套期保值需求的分离提交了toxoptt=xmt+xZt+x∏t，其中xmtxoptt-1exm，opttbσ>-1tbλtSee Merton（1969），用于符合CRRA偏好的类似权重。剩下的两个需求分别是价格指数和名义上的浮动对冲，它们回答tox∏，opt=bσ>-1tXoptt-1E级ZTtR公司-1c、uGt、uZ-1tdu+R-1XGt，TZ-1吨英尺xZ，opt=bσ>-1tXopttE公司ZTt公司1.- R-1c，uGt、ucoptuZu、tdu+1.- R-1台Gt、TXoptTZT、t英尺.（3.13）（3.10）鉴于“R”术语与分类相对风险价格对冲或利率对冲的数量相互依存，参见Detemple（2014）的类似规则。首选项服从U（x，y）=（1- γ)-1.（x/y）1-γ- 1.对于x，y∈ R+，γ>1。因此-用户体验XoptT，∏TUXXXoptT，∏TXoptT公司-1=γ，和IYηoptZT，∏TMTXoptT=1.-γZT，（3.14），其中ηopt：=H-1（X），由此推断R-1X=（1- 1/γ）XoptTZTandR-1X=1/γ。提前发现-1c，u=（1- 1/γ）coptuZuandR-1c，u=1/γ。在这两种情况下，weZTB-1TdQdPQ~ PWQtWtbλTTQ显示了等式，从而解开并澄清了定价措施Q对xoptt的影响。观察RRA结构之间的相似性，R-1台=- R-1台XoptTZTandR-1c，u=- R-1c，u科普图祖。

无法保证这种接近程度会超过此示例；我们将其概括为伴随通货膨胀风险的需求的一部分。假设u和r-1台=- R-1台XoptTZTandR-1c，u=-R-1c，ucoptuZuhold，最优投资组合构成xopttin（3.5）转化为xoptt=bσ>-1tXopttE公司ZTtR公司-1c，ucoptuZt，ubλtdu+R-1XXoptTZt，Tbλt英尺+ E“ZTt1.- R-1c，uXi=1Git、ucoptuZu、tdu+1.- R-1台Xi=1Git，TXoptTZT，t英尺#！，（3.15）其中，CT的RRA和XT的RRA的两个基金分离原则是明显可见的。也就是说，我们根据-1c，u-R-1c，ucopttR-1台-R-例如，XXX优先权适用于双重CRRA规定。在Brennan和Xia（2002）中，作者为效用最大化的CRRA投资者详细解释了这一现象。3.2凸对偶应用本节将凸鞅对偶应用于m{xt}t中的动态资产配置问题∈[0，T]bax这在很大程度上是受到罗杰斯（2001）的启发，目的是将原始与双重相结合。我们将显式最优性陈述放在下一节。Mwealth dynamics通过K适应一般投资限制。因此，sup{xt，ct}t∈[0，T]∈bAXE公司中兴通讯-Rtβsdsu（ct，∏t）dt+U（XT，∏t）s、 t.dXt=-ctdt+XthRf，t+x>tbσtbλt对于givenX，dt+x>tbσtdWti，（3.16）∈ R+详细描述了约束投资组合选择问题。由于这些约束的存在，鞅方法无法将静态问题等效为（3.1）。尽管如此，在应用对偶模式后，产生的对偶意味着活跃的市场Mbν，其中出现了静态无约束问题。XTB公司-1T=X-ZTctB公司-1tdt+ZTXtB-1tx>tbσtdWt+bλtdt（3.17）Mbν那些在无约束基线M中的。理解后者对于前者是必要的。这种基于数字的方法中的外生货币市场账户B不影响最优性条件，参见。

罗杰斯的专著（2013）。在{Yt}t之后∈[0，T]Y∈ R+，作为动态相对财富（3.17）过程中的状态拉格朗日乘数，让dYt=YtαY，tdt+bβtdWt. 然后，E[XTB-1TYT]必须等于toXY+DB-1年月日，x> tbσtbλt+bβt+ αY，tXt公司- ctEL公司(Ohm×[0，T]），（3.18）考虑到部分结果的积分，其中平方可积随机积分Tbβ>t+x>tbσt期望中的dWtvanishes。在制定拉格朗日（3.16）（3.18）松弛度（CS）时，对Yt的漂移和扩散系数提出了限制。这个双重问题依次出现并涉及{Yt}t上的最小化∈[0，T]。或者，我们可以以普通方式将重写的动态约束（3.17）强制为一个格兰奇乘数。因此，我们得到了期望值atDYT，δx> tbσtbλtXtB-1吨+ 像素(Ohm)+DYTB公司-1吨，-ct+x>tbσtbλtXtEL(Ohm×[0，T]），（3.19）EYTRTXtB公司-1tx>tbσ行波管ERTXtB-1tx>tbσtEYTDWtlogYT英尺t型依赖于Malliavin核的Hermitian伴随算子。这种方法实际上与Rogers（2001）和（3.18）中采用的技术完全相同，并强调了零件配方的集成。然后，让我们转向基于拉格朗日乘子过程的对偶结果，如随后在定理3.2中所述。定理3.2。考虑（3.16）中的约束动态分配问题。引言Yt=YtαY，tdt+β>1，tdWt+β>2，tdWt, （3.20）对于未指定的∈ R+，其中kβ1，tkL（[0，T]）d，kβ2，tkL（[0，T]）m∈ D1,2。此外，letbβt=[β1，t，β2，t]>并定义漂移项αY，t∈ D1,2（[0，T]）包含在YTA中-αY，t=δbβt:= sup{xt}t∈[0，T]∈bAX公司bλt+bβt>bσtbxt, &eAPX：=nbβt |δbβt< ∞o、 （3.21）让HPbA：=bβt | kδ（bβt）1/2kL(Ohm×[0，T]）<∞n=m+d，则对偶体附着于infBβt∈D1,2（[0，T]）n，Y∈R+EZTv公司YtB公司-1t，∏tdt+VYTB公司-1T，∏T+XYs。t、 bβt∈ HPbA，（3.22）在下一个定理3.2中，半鞅找到了其技术上精确的定义。

观察到，如果我们在无约束环境M中沿着这些线进行追踪，我们会得到Yt=dQdPFtH公司-1（X）。v、 VR+×R+→ 重新-RtβsdsuUbβopttsolves（3.22）和δbβoptt=bλt+bβoptt>bσtxoptt。最佳XT和ctthen符合OPTT=eIeRtβsdsYopttB-1t，∏t和XoptT=IYoptTB公司-1T，∏T, （3.23）其中，可从下一个等式bh获得最佳拉格朗日乘数Yopt公司= Yopt公司-1E级ZTcopttYopttBtdt+XoptTYoptTBT= X（3.24）YoptbH-1（X）xOPTT分解为bxm，optt+bxZ，optt+bx∏，optt，对于bxm，optt=-bRf，1，tXoptt-1bσ>-1tbβopt包括Bx∏，opt=bσ>-1tXopttE公司ZTtcR公司-1c、ucGt、uBtYoptt-1du+cR-1XcGt，待定-1选项英尺bxZ，opt=bσ>-1tE“ZTtcGt，u-cGt、ucRc、u！¨coptt、uXopttdu+cGt、T-cGt，TcRX！¨Xoptt，T英尺#（3.25），其中br-1f、t、t=-呃RTtcR-1c、ucoptuYoptt、uBt、udu+cR-XXX选择PTT、TBt、TFti，¨coptt，u=coptuYoptt，uBt，u，¨Xoptt，T=XopttXoptTYoptt，TBt，T。最后，Xoptt=EhRTtcoptuYoptt，uBt，udu+XoptTYoptt，TBt，TFti和随后的SUP{xt}t∈[0，T]∈bAXZT公司EhbSTYTBT公司-1.Fti公司- 东[年初|英尺]StBt-1.>dXtxt文件 S-1t<∞. （3.26）成立，意味着Y-1B级-1在受约束的基线市场中引入SPD证明。让我们介绍问题（3.16）的拉格朗日，并用它的引理L=E重写它ZTu（ct，∏t）eRtβsdsdt+U（XT，∏t）+XY- XTYTBT公司-1.-中兴通讯-1dt+ZTnx> tbσtbλt+αY，t+x>tbσtβtXtYtBt公司-1吨+x> tbσt+bβtXtYtBt公司-1dWto.（3.27）XT方向和{ct}t的最小化∈[0，T]-L屈服方向dXTLζ=EUX（XT，∏T）- YTB公司-1吨ζ=0D{ct}Leζt= EZT公司e-RtβsdsuX（ct，∏t）- YtB公司-1吨eζtdt= 0，（3.28）对于所有ζ∈ R+andeζt∈ L(Ohm ×[0，T]），获得（3.23）中的最优性条件。我们参考定理3.1关于涉及Fréchet导数的类似恒等式（FOCs）的证明，将copttand XoptTback插入L，我们得到了直到{xt}t的对偶目标函数∈[0，T]∈bAXEhZTXtYtBt公司-1x>tbσtbλt+αY，t+bβtdti。（3.29）在{xt}t上优化后∈[0，T]∈bAX公司。

CS随后产生（3.21）和（3.26）。Cvitani'c和Karatzas（1992）表明bβopttensuresxoptt∈bAX公司。根据定理A.1：x> tbσt+bβ>tXopttYtoptBt-1=E载重吨XoptTYToptBT-1+RTtcoptuYuoptBu-1件英尺>. LetcGt，u：=ZutDWtπs- DWtbξs·bξsds+ZutDWtbξsdWs+bξt，u≥ tcGt，u：=-ZutDWt公司Rf，s+δbβt+ DWtbβs·bβsds+ZutDWtbβsdWs，u≥ t、 （3.30）其中WTRF、sfors≥ 这在定理3.1中给出。此外，所有CRTERM与RTERM等效，包括（3.23）而不是（3.3）。相应地，xoptt=bσ>-1tXoptt–xm，opttbβt+BtY-1tEZTtcR公司-1c、ucGt、udu+cR-1XcGt，T英尺+ EZTt公司1.-cR公司-1c，ucGt、u–coptt、udu+1.-cR公司-1台cGt、TXoptTYt、TBt、T-1.英尺!（3.31）其中–xm，optt=-ERTtcR-1c、u–coptu、tdu+cR-XXX选择PTT、TBt、T英尺,cRc，u=eIYeRuβsdsYoptuBu，∏ucMu，cRX=IYYoptTB公司-1T，∏TdMT，其中我们定义为B-1tYoptt∏t t型∈ [0，T]。上述定理揭示了为约束基线奠定基础的两个最重要方面。从这两个方面来看，根据Cvitani'c和Karatzas（1992），让我们在第2.2节中讨论整个活跃市场。为了实现这一点，参数Bβt=-bλt- bσ-1tbνt对于某些bνt∈ D1,2（[0，T]）d+m，并重写-αY，t=δbνt:= sup{bxt}t∈[0，T]∈bAPX-bν>tbxt, witheAPX：=eAX=bνt |δ（bνt）<∞. （3.32）漂移项αY，用inyt圈起来的十，因此会变成mbν中支持函数的负对应项，因此相应的势垒锥也会变成mbν的类似物，参见（2.9）。类似地，可行的双重控制集shpabecomesxopttytb-1tERTTCoptuuxoptyopttbt-1.英尺Yt，TY-1tYTBt，TB-1tBTYoptis可获得，类似于H-定理3.1中的1（X），以及\'’ 表示阿达玛积。HbA，我们需要∈ HbA，符合双重约束（3.22）。

然后让我们观察-1本术语适用于所有∈ [0，T]可分离asYbB-1tdQbν/dPFtorlikewise asYZbνt，其中B为实际货币市场账户，Zbνt为艺术SPD，QbνMbνB-1tytwereinbbt作为货币市场账户，bstin（2.10）作为风险资产。在艺术市场中，投资者对投资组合规则的选择不受限制∈[0，T]，表明鞅方法是适用的。因此，sup（XbνT，bct）∈cLE公司ZTeRtβsdsu（bct，∏t）dt+UXbνT，πTs、 t.EZTbctZbνtdt+XbνTZbνT≤ 十、 对于bνt∈ HbA（3.33）（3.16）XbνT（2.12）{bct}T∈[0，T]Zbνtequates玩具-1年至今-1t和Bνt∈ HBa未具体说明。因此，最佳Xbν，optTIbηoptZbνT，Tbcoptt=eIbηopteRtβsdsZbνt，∏t, 其中，匹配规则bxoptt等于toxoptin（3.31），拉格朗日乘数bηopt∈ R+是静态约束绑定的结果。备注1。LetLbνt，t=RTe-Rtβsdsu（bct，∏t）dt+UXbνT，∏T, 和ηbν∈ R+应确保预算约束（3.33）具有约束力。那么，（3.22）中的规范与jopt（X）=infbνt相同∈HbAsup（XbνT，bct）∈cLE公司Lbνt，t- ηbνZTctZbνtdt+XbνTZbνT- 十、. （3.34）Xbν，optTbcopttin定理3.2。因此，双重目标与选择最坏情况下的市场相协调。类似地，对于anybνt∈ HbA，则（3.33）中的目标提供了上限（3.22）。由于强烈的二元性，这一最不利的选择拉拢了受约束的金融市场基线，其中COPTT、BXOPTT符合BAX所附的可接受性要求。从SPD（2.11）可以明显看出bν与经济情景之间的联系。3.3不完全市场中的最优性本节通过说明定理3.2中关于非交易风险的主要发现得出结论。我们使用一个终端财富框架，在δ（bνt）的约束下对经济进行适度调整=-bν>txtforbνt∈ HbA，Y-1年至今-1T用作SPD inM。

如果不满足此条件，则恢复{xt}t∈[0，T]inMfails，但{bxt}T成功∈[0，T]inMbν。最优决策{bxoptt}t∈因此，对于每一个bνT，实际中的[0，T]Mbν在M中可能不被允许∈ HbA。完成此操作，重新考虑，设置σSt：=σSt，m×d>,σSt：=d×m，σSt>, 并通过K限制STDWTSTRESTRICTION Rd+m，按K=Rd×{0}m计算：WT不交易。在fictiousmbν中，支撑函数和势垒锥变为δ（bνt）=0<∞, 对于bνt∈eAX：={0}d×D1,2（[0，T]）m，与vνT相同∈ HbA={0}d×D1,2（[0，T]）mbνTbν1，t，bν2，t>Mbνbν1，t=0和bν2，t∈ D1,2（[0，T]）mhold。艺术非交易资产遵守DDTDT=Rf，tm+σStλ2，t+bν2，tdt+σStdWt，D=1m，（3.35），其中，vν2“自由”实现1,2（[0，T]）m的整体值，其与tst{Wt}T结合∈[0，T]σStd+m×mbν1，tdBt=bbt由于δ（bνT）=0而继续生活在mbν中，并且我们分组bst=[St，Dt]>。bxtbxt[xt，xf，t]>xt在真正的市场M和xf中，投资于Dt的财富比例。那么，dXbνt=XbνthRf，t+x>tσStλ1，t+x>f，tσStbλ2，tdt+x>tσStdWt+x>f，tσStdWti，（3.36）描述了艺术财富过程，其中我们将λ2，t=λ2，t+σStdWti-1bν2，t为简洁起见。此外，我们禁止将消费过程包括在内，因为为了稳定性，我们将分析定义为仅从地平线财富中获得效用的投资者。艺术环境中纺织品的可采性MBν继承了（2.13）Mxf，Tm的定义。最终，我们观察到，实际的动态分配问题读作assupXbνT∈L(Ohm)EUXbνT，∏Ts、 t.EXbνTZbνT≤ 十、 （3.37）在应用于之前的设置时，我们继续分解乘法器过程中调用的定理3.1Mbν。最后一个命题保留了M命题3.3中的最优性。考虑（3.37）中的问题。

然后，最优地平线财富遵循xoptt=E我H-1（X）ZbνT，∏TZbνt，t英尺,  0≤ t型≤ T（3.38）实际上，K=Rd×{0}确定了{∏T}T的部分套期保值性∈[0，T]。Msup{xt}∈bAXE[U（XT，πT）]s.T.XtXtRf，tx>tσStλ1，ttx>tσStWt其中ηopt：=bH-1（X）表示乘数。最佳投资组合从BXOPTT上升=ZbνtXopttbσ>t-1nEDWtZbνTXoptT英尺+bλtEZbνTXoptT英尺o、 （3.39）然后，确定已转换RRA（代理）asRt的预测我ηoptZbνT，πT, ∏T-1= -E“ZbνTE[XoptTZbνT | Ft]UXXoptT，∏TUXXXoptT，∏TFt#RtIY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1= -EhE公司XoptTZbνT英尺-1 YηoptZbνT，πTdMT公司Fti，（3.40）RtRtIY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1 TRT公司我ηoptZbνT，πT, ∏T必要时，t确认Rit=E临界值，T英尺对于i=1，2。然后，xoptf，t保持自身toxoptf，t=σSt>-1.Rt公司IY公司ηoptZbνT，πT, ∏T-1Gt，T+1.- Rt公司我ηoptZbνT，πT, ∏T-1.Gt，T+Rt我ηoptZbνT，πT, ∏T-1bλ2，t.（3.41）最优BxOpt中的套期保值系数为nbλf，t=λ1，t，bλ2，t>等于toGt，T=RtE-cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWs+bλf，sds我英尺Gt，T=RtE-cRt，TZTt公司hDWtπs- DWtbξs·bξsids+DWtbξsdWs+bξt英尺,（3.42）其中gt，T=Gt，T，Gt，T>andGt，T=Gt，T，Gt，T>. 因此，bxoptt源自xoptf，t的分析：用bσt替换σst，并分别用Gt，Tand Gt，t证明术语Gt，Tand Gt，tb。结果和相应的证明来自定理3.1。命题3.3总结了实际终端财富（3.37）的最佳解决方案，与后两者的最优解决方案相去甚远。然而，有三个方面与艺术市场不同，包括未明确的影子价格bνt∈ HbA：（i）明确依赖于bν2，t的最优控制，（ii）如（3.13）中所述的改变分解，以及（iii）bν2，t的休眠存在，即xotf，t=0m。

关于第（i）项：bxoptt=B-1tXopttbσ>t-1EQbνDWtB-1TXoptT- B-1TXoptTZTtDWtbλf，sdWQbνs（3.43）此处，bH:R+→ R+从bh（η）=E开始我ηZbνT，∏TZbνT, 和Zbνt，t：=Zbνt-1ZbνT.将括号中的forGt、TandGt、Tin（3.42）分别替换为（RTtDWtπsds+ξ∏T）和(-RTt（DWtRf，sds+DWtbλ2，sdW2，Qcλs））生成最佳有效分配xOTPTF，tto Dt。这让人想起（3.12）最优投资组合决策取决于度量值qbνbBtMbνbν2，t该度量值qbν的非唯一性表明bxopttis受制于潜在的bν2，talter bxoptf，t。对偶问题利用该性质来推测xoptf，t=0m。关于第（ii）项，我们模拟了用于获取（3.13）的分解程序，该程序命令bxoptt可分离为bxoptt=bxmt+bxZt+bx∏t，其中bxZt=-bσ>-1tRt1- RtE公司cRt，T-ZTthDWtRf，sds+DWtbλf，sdWsi英尺bx∏t=-bσ>-1tEcRt，TZTt公司hDWtπs- DWtbξs·bξsids+DWtbξsdWs+bξt英尺,（3.44）规则涉及普通相切平均方差系数portfoliobxmt=Rt（bσt>）-1bλt.bν2，t{bλf，t}t∈[0，T]嵌入{bν2，T}T∈[0，T]，以及可预见的RRA系数。最后，注意到Bλ2，t的内生性，或同等的Bν2，t的内生性，在bxoptt命题3.3的表达式（3.41）中，我们发现Bλ2，tbλ2，t的下一个恒等式=1.- Rt公司XoptT，∏TGt，T- Rt公司XoptT，∏TRt公司XoptT，∏T-1Gt，T（3.45）根据（3.41）免费废除任何分配toDt：取决于bν2，tobeying（3.45）xoptf，tm{bλ2，T}T∈[0，T]（3.45）bλ2，ta全后向-前向方程，类似参数见Detemple（2014）。由于这种收集bλ2的方法是暂时的，我们接下来将讨论对偶概念。提案3.4。考虑基线市场M中（3.37）中投资组合选择问题的约束模拟。