有交易的金融市场中的近最优动态资产配置

类似于步骤3的双面应用程序会释放此假设，并产生tobθU的估计值，*和CJU，我们可以在第3.3节的经济设置和问题规范的背景下，在不完全市场的步骤3/4.4.3中使用近似值。重新调用该环境中的限制集由k=Rd×{0}msuch thateAppxHPBA生存{-λ1，t}×D1,2（[0，t]）mbβtPD1,2（[0，t]）d×RmPD1,2（[0，t]）密度β1，t=-λ1，t。相应地，根据定理3.2读取的近似对偶为fbβU，*2，t∈Rm，YU，*∈R+E五、YTB公司-1T，∏T+ YX，（4.10）该近似规则所涉及的剩余数值效应由步骤1和步骤4产生。步骤4的运行时间是多余的。第1步的差异，如维度，见Detemple等人（2006）。cP、opttcP、optf、TW在这里我们利用了HPBA∩ D1,2（[0，T]）d×Rm={-λ1，t}d×Rm。con-inentPbβU，*2，t实线rm上的值。通过这一调节，我们期望得到大约EBβopt2，t=-bλopt2，tin（3.55）的命题3.5中的一个常数，试图避免以简单的方式求解其前后向方程时的计算紧张。从两面来看，我们能够收集最佳BβU的分析结果，*2，t.具体而言，D{bβU，*2，t}cW{ψt}=-ZTEhψ>tnEhDWtXoptTZbνTi-bβU，*2，tEXoptTZbνToidt=0，（4.11）（4.10）bβU，*2、tcWbe（4.10）中的目标函数。因此，最优近似对偶控制必须遵循βU，*2，t=EXoptTZbνT-1E级DWtXoptTZbνT, 这等于Bβopt2的真FOCin命题3.5，t其初始化点在时间t=0。以同样的方式，于，*我于，*B-1TYT，∏T于，*-1B级-1年- 十、 bκL(Ohm)= 所有bκ为0∈ R+。总之，EhI于，*ZbνT，∏TZbνTi=X，和bβU，*2，t=1.- RG0，T- RtR公司-1G0，T（4.12）推动了一个由两个非线性方程组成的分析系统，我们能够为bβU求解，*2，tYU，*bθU，*tcJU（X）以封闭形式确定其定义。

该方法的两面在此帐户上，其特点是控件和值函数的闭合形式表达式。现在让我们转向原始的一面。为此，请考虑BxOptin命题3.3along和（3.36）中的艺术财富方程。我们通过抑制对xf，t的依赖性，将这个财富过程转化为一个可接受的类比，xf，t然后导致toX*T=X+ZTRf，t+xopt，*,>tσStλ1，t十、*tdt+ZTxopt，*,>tσStX*tdWt。（4.13）这里，xopt，*t包含未定义Bβt的BxOptin（3.39）的Firstd分析条目。这种贸易约束的实施保证了X的可行性*t、 0个≤ t型≤ T、 然而，bβT动力学。为了便于数值确定Bβt，我们定义了BβtHPbA∩ PP（4.10）β1，t-λ1，tbβ2，t∈ D1,2（[0，T]）m。该方法与第4.1节下的描述一致，即Jba0pxx=[xd，0m]>， x=[xd，xm]∈ L(Ohm ×[0，T]）d+m，（4.14）对于无约束P，即P=D1,2（[0，T]）d，我们根据命题3.4发现β1，T=-λ1，t，这是完全确定的。因此，没有理由定义β1，t的参数空间类似于β2，t。这表明xf，t=0m。考虑到如命题3.5所示，基线约束环境M中的实际最优投资组合权重XOPTTM由XOPTTBβopttxf、tmPAt组成，本阶段的程序与ProJBA0PXBXOPTTANDDPROJBA0PXBXOPTTT相同。toXoptTin命题3.5 byX的近似值*Tin（4.13）在预算上是可行的，并且是可以接受的，因为上述命题中的xopttin可用于bβopt2，t∈ D1,2（[0，T]）min（3.55），意味着对照组的D1,2（[0，T]）mtoRmrebβ2，T’s空间的减少不会妨碍xopt，*t=项目JBA0PXBXOPTT∈bAX公司。这些规则起源于gx，t，t=R2，*tE公司-dR2，*t、 t型-ZTthDWt公司Rf，sds+bλf，sdWQbνs我英尺Gx，t，t=R1，*tE公司-dR1，*t、 t型ZTt公司DWtπsds+DWtbξsdWs公司-bξsds+ ξ∏t英尺（4.15）xopt，*tσSt>-1.R1，*t型-1Gx，t，t-R2，*t型-1.Gx、t、TR2、，*t型-1λ1，t3.5.

独立于所选近似值，即projba0pxbxopt或projba0pxbxoptt，closedform表达式指定近似投资组合决策xopt，*t、 对于anybθL，*t型∈ HPbA公司∩ P、 与前一个投影相关，我们确定BβL，*2，tandYL，*通过数值最大化e[U（X*T、 ∏T）]，以完全识别xopt，*t、 处理DProjba0pxbxopttbθL，*t（4.12）xopt，*t用于完全识别。在这两种情况下，请选择（4.8）。在xopt中，*t、 我们以（3.44）的形式确认了提交toxZ、opt、，*t=σSt>-11- R2，*tGx，t，t和x∏，opt，*t=σSt>-1R1，*tGx，t，t（4.16）与分解xopt一致，*t=xm，opt，*t+xZ，optt+x∏，opt，*t、 其中均值方差有效投资组合规则符合toxm，optt=R2，*t型-1σSt>-1λ1，t。这些合规需求达到RRA系数，该系数包含与命题3.3中所述相同的非交易风险阴影价格的确定性常数：我们还观察到，DWTBλf，s=DWtλ1，s，d×m, 这意味着近似影子价格的确定性和完全独立性。5个数字说明，在明确的经济框架下，评估技术的准确性，预测取决于具体情况；e、 g.关于借款和卖空限制，参见TeplaKx个∈ Rn+| x>n≤ 1.projbA0PXxmaxn、 k级√xk公司-2Rnx0.8 1 1.2 1.4 1.6-1.5-1.-0.500.5K=1U=0XT/πT>KXT/πT≤ KDown StatesUp StatesXT/TUtilityCRRA Dual CRRAFigure 1。等弹性和双CRRA实用程序。该图描述了γ（γd，γu）（10，2）readsK=1（垂直虚线）的效用开发。

AtK=1，该个体绘制零效用，U=0（水平ω∈XT/T≤ Kω∈其中XT/πT>K与上升状态一致，由垂直虚线K=1分隔。对于不完全市场环境，我们在Brennan和Xia（2002）的环境中讨论了结果。本图的核心是我们的双重CRRA效用函数，它是对现有的依赖于状态的偏好条件的一种新的补充。该资格取代了当前经济大纲中的CRRA职能。5.1双重CRRA效用函数我们假设第3.3节中的代理考虑了基准K∈ R+，关于文本/文本/T≤ KKU其中双重CRRA函数包含两个等弹性性质UK（XT，∏T）=（K-1XT/πT）1-γd- 11- γdnXT∏T≤Ko+（K-1XT/πT）1-γu- 11- 风险规避系数γd，γu的γunXT∏T>Ko（5.1）∈ R+\\[0，1]放弃有限效用，参见Kramkovand Schachermayer（1999）。为了根据所描述的情况召开（5.1），我们假设γd≥ γu。因此，我们认为，下行状态对应于增强。该金融市场模型在第3.3节中作为受约束M的特例出现。关于获得外源基因的担忧。研究中的投资者保留了在T=0之前选择kante initium的完全灵活性，从而导致在整个[0，T]过程中基本上是外生的。在不丧失普遍性的情况下，我们将K=1标准化，这样，UK | K=1：=U就可以满足希望保持恒定购买力的个人的愿望。U（XT，∏T）xttb通过实例的可容纳分离。此外，我们发现UX=十、-γdT∏-1+γdT，ifXT∏T≤ 1台-γuT∏-1+γuT，ifXT∏T>1；我=十、-γdT∏1-γdT，ifXT∏T≥ 1台-γuT∏1-γuT，如果xt∏T<1（5.2），则在第一个参数及其逆参数中分别定义边际效用，这两个参数在xt=Tas时连续。

第一个参数中的二阶导数UXX直接遵循。请注意，在下一个方向上，使用是一次连续的差异。此外，边际效用的倒数是分段连续可微的，只有一个断点，即xt=πT。因此，双重CRRA规定的数学描述与第2.3节一致。最后，（5.1）中两个CRRA效用的分期出现了一个显示非常数RRA的定性：1- IY∏T=-XTUXXUX-1=γdnXT∏T≤1o+γunXT∏T>1o。（5.3）在图1中，我们举例说明了双重CRRA偏好的演变，其特点是γdγuγdγu（5.1）个体在“上升状态”（XT/πT>K）下的公用事业开发相对密集，而在“下降状态”（XT∏T>K）下的进展相对减弱≤ K） 函数的。因此，这种效用最大化的投资者对实现近亲状态有着不可或缺的担忧，而同一个人在上一状态下却大大减轻了他或她的焦虑。推论5.1。sup{xt}t∈[0，T]∈对于具有双重CRRA偏好（5.1）的投资者，（3.36）中隐含的bAXE[U（XT，πT）]。然后，XoptT=ηZbνT∏T-γd∏T{ηZbνT∏T≥1}+ηZbνT∏T-γu∏T{ηZbνT∏T<1}H（η）=η-γdEdMT1-γdXλγdηdMT≥ 1.+ η-γuEdMT1-γuXλγuηdMT<1,（5.4）其中xλγi~ 比较xλγi=EhdMT1生成的度量值-1/γii-1dMT1-1/γiforThis is not a necessable requirement，anyγd，γu∈ R+\\[0，1]确保（5.1）的规格正确。随后的细分关系到唯一的终端财富设置；我们将此分析限制在U.i∈ S：={d，u}。然后，适用的、可预见的RRA变换必须遵循RT=γdXλγdYoptT公司≥ 英国电信英尺XγdtXoptt+γuXλγuYoptT<英国电信英尺XγutXoptt，其中Xγit=η-1/γiEhdMT1-1/γiFti，Xoptt=EZbνt，TXoptT英尺, 和Zbνt，t=Zbνt-1ZbνT，（5.5），使Rt-1=Rt-1.- 1定义转换RRA的代理，用于所有∈ [0，T]。证据

这些陈述和相关的证据与命题3.5相比毫不起眼。推论5.1中的表达式在第（5.1）行中建立了最优性条件。就非交易风险的最优影子价格的恢复而言，可轻易获得最优投资组合OPTT和财富X PTT的市场公允价值。让我们通过检查下一个表达式bλopt2，t来实现这个数学难题Gt，T- Gt，T-1= 1 -Xoptt公司xi∈SγiXλγi（Ai | Ft）Xγit-1、（5.6）代表了我们可以从中获得影子价格的身份，我们使用T（Rt）-1.- RtAd{YoptT≥ BT}Au{YoptT<BT}MT{bλopt2，t}t∈[0，T]bλopt2，tbλopt2，tan区间随γ和γu之间的变化而发散。因此，fixingp=rm可提供稳定γd，γu的λopt2，T的平头近似值。让γ：=γd=γu覆盖标准等弹性框架，并提供xoptt=XEhdMT1-1/γidMT-1/γ∏T和bλopt2，T=（1-γ)Gt，T- Gt，T, （5.7）由此我们推断，影子价格仍然标记着一个麻烦的完全向前向后的方程，这是由有效的套期保值系数gt，TandGt，T推动的。因此，后一个等式不允许我们提取bλopt2，tin闭合形式。在πtandrafwt可测量且ξ∏tde为常数的补充前提下，如Brennan和Xia（2002），最优影子价格也将表征常数：bλopt2，t=（1- γ） ξ∏t.因此，最优决策xoptte明确地植入了两基金分离原则，并分解为xoptt=γσSt>-1λ1，t+1.-γσSt>-1.Gx、t、t- Gx、t、t, （5.8）根据定理3.2，我们使用Y-1B级-1tYt=Zbνt。此外，yoptt嵌入{bλopt2，s}s∈[0，t]。（5.6）中的公式表明，bλopt2，t∈[(1- γd），（1- γu）]（Gt，T+Gt，T）大致适用于所有ω∈ Ohm 和t∈ [0，T]。

显然，γd→ γu有助于减小该近似间隔的大小。0.9 1 1.1 1.2 1.300.30.60.91.2Xt/πt>KXt/πt≤ KDown StatesUp StatesK=1Xt/πt财富比例t=0.1 t=0.5 t=0.9图2。优化库存分配。该图描述了与实际财富相关的最佳投资组合需求。为此，该图依赖于双CRRA代理的降低经济设置，其特征为（γd，γu）=（10，2）和参考水平k=1（垂直虚线）。该经济体包含一个一维库存，对于λ1，t=0.343，σSt=0.158，其中inrt=πt=0，∏t=1，soXt/tXtTγd-1λ1，t/σStγu-1λ1，t/σt，其中gjx，t，t，j=1,2由于bλopt2，t的分析存在而被完全阐明。这种数学上的方便为支持P D1,2（[0，T]）m。让我们回到一般的双重CRRA情况，其中γd，γu∈ R+\\[0，1]。重温γd，γUbxOptxOptT≤ t型≤ 潮汐同步，我们将分析限制在均值-方差对冲需求：xm，optt=γdσSt>-1λ1，tXλγd（Ad | Ft）XγdtXoptt+γuσSt>-1λ1，tXλγu（Au | Ft）XγutXoptt。（5.9）由于XOPTT的相互包含，这些决策改变了财富依赖动态，当且仅当γd=γu时，才可以避免。加权和插值分离CRRA要求γdσSt>-1λ1，tandγuσSt>-1λ1，具有可预见条件概率的塔龙。明确地说，对于世界的下行状态Ad，相切规则in（5.9）赋予γdσSt更多的权重>-1λ1，tso，通过执行谨慎的投资策略，防止投资者进一步不满。在up州，Au，converseis是正确的，XT说明了一个不那么谨慎的策略，因为实现了K=1的收购。绝对连续性推断γd（σSt）>-1λ1，t，γu（σSt）>-1λ1，从Xλγd开始→ 1，Xλγu→ 1.xOPTT策略和波动系数。

该图适用于由γd=10和γu=2表示的药剂。我们提供了与Xt/πt相关的分配，可从xopttzbνt=Xi中推断∈Sη-1/γiEhdMT1-1/γiFtiXλγ（Ai | Ft）（5.10）K=1，类似于根据kt从谨慎到不那么谨慎的投资行为的转变→ T、 随着投资者对theAkin的关注和和谐的快速预期增加，虽然“更模糊”，但形状适用于更一般的多维实例。5.2 Brennan和Xia环境为了便于数值说明，这证实了近似技术的精度，并依赖于Brennan和Xia（2002）的经济环境，我们介绍了他们的模型设置，并在第4节的精神中提出了一致的近似最优性条件。为了对齐符号，我们保留了第2.1节中的概率模式，其中我们用R值bzt=[zt，zu，t]>替换Wt=[Wt，Wt]>。此外，引入RT=κ（(R)r- rt）dt+σrdzr，t，r∈ R+dπt=α（(R)π- πt）dt+σπdzπ，t，π∈ R+（5.11）作为瞬时实际利率的两个单因素Vasicek过程，并将其引入rt，πtin第2.1节的通用金融模型构建。Rzt[zs，t，zr，t，zπ，t]>因此，zu，tre是一个不可分散的风险源。相应地，我们引入了∏t=∏tπtdt+ξ>zt+ξudzu，t, ∏=1dMt=Mt-rtdt+φ>dzt+φudzu，t, M=1，（5.12）作为简化价格指数和实际SPD，其中ξ=[ξs，ξr，ξπ]>∈ Randφ=[φs，φr，φπ]>∈ r表征ZT上的恒定因子载荷。与这些动力学一致，我们让dZbλut=Zbλut[-Rf，tdt- λ> dzt公司-bλu，tdzu，t]，Zbλu=1，其中ZbλutγdσSt）>-1λ1，tγuσSt）>-1λ1，txopttin在图2的经济中。然而，在极限情况下，投资组合收敛到这些极值。表示内生USBλu，t的专用标称SPD∈ D1,2（[0，T]）。

这里，Zt独立于Zu，内部相关，由相关矩阵ρ表示∈ [-1，1]3×3，其行等于（1，ρs，r，ρsπ），（ρsr，1，ρsπ），（ρsπ，ρs，r，1）。zt=Mt/πtand的实际名义定价核曲面部分推动名义利率Rf，t=rt+πt- ξ>λ - ξuλu。资产菜单由St=St[（Rf，t+λsσs）dt+σsdzs，t]，s=1dPi，t=Pi，t组成Rf，t- υ> t，TibσPλPdt公司- υ> t，TibσPdbzPt, Pi=1，（5.13），分别指定了一支股票和两支面值债券，这两种债券的到期时间为两倍Ti∈ R+，i=1,2。在这些随机微分方程中，我们定义了（bσP）=[σr，，，，σπ]，λP=[λr，λπ]>，和νt，Ti=[σr（1- e-κ（T-t） ），σπ（1）- e-α（T-t） ）]>。此外，市场结构要求金融风险的恒定价格服从λ=[λs，λr，λπ]>=ρ（ξ- φ） λu=ξu- φu.最后，在∧t=∑tλ：dXt=Xt的条件下，我们介绍了以下两个动力学过程Rf，t+x>t∧tdt+x>t∑tdzt, 十、∈ R+，dP3，t=P3，tRf，t+σP，tbλu，tdt+σP，tdzu，t, P3,0=1。（5.14）XTRFTXT仪器。这里，我们假设投资组合权重满足x>t∑t∑>txt∈ L（[0，T]），T∈ R3×3ztxtXt≥t型∈ [0，T]分配给xu，tof XT。徐的可采性与xt的可采性持平。5.2.1近似对偶优化bλu，tPR D1,2（[0，T]）对偶问题生成解析解，从而得出推论5.2。推论5.2。考虑infbλu，t∈R、 η∈R+E[V（ηZbλuT，πT）]+ηXforbλu，T∈ P、 那么，Xi∈SXγ英寸dMi0，T= 十、 &bλU，*u、 t型=1.- 二十一∈Sγ英寸dMi0，TXγi！-1.ξu，（5.15）由于构造，出现了名义债券：Pi，t=E[Z-1tZTi | Ft]，Ti≥ t、 BtRf，tBtt，BStPi，tIn接下来，我们用N（·）表示一个单变量标准正态随机变量的CDF。forbφ=φ, -bλU，*u+ξu>使得bλu，t=：bλu，*u、 t。

因此，值函数同意JU，opt（X）=ηXγd1- γdNdMd0，T+ηXγu1- γuN-dMu0，T+ H（γd，γu），（5.16），其中H（γd，γu）=N（d）1-γd+N(-d） 1个-γu，对于d=σMT-1.日志ηU，*+ u公吨, 和uMi0，T=（\'r- r） σrB0，T-\'\'r- ξuλu-bλU，*u+bφ>bρbφT型+1.-γiσMTσMT=bφ>bρbφT-σr2κσrB0，T- T+ σ-2rκB0，T-2σrκe>ρφT-σrB0，T（5.17）一∈ SBt，Tσrκ1.- e-κ（T-t）bρbztdMd0，T=σMT-1.日志ηU，*+ uMd0，T和dMu0，T=-σMT-1.日志ηU，*+ uMu0，T. 此外，Xγi=ηU，*经验值(1 - 1/γi）uMT+2-1σMT（1- 1/γi）, 我∈ S、 （5.18）证明。uMTuMi0，T--/γiσmtt得出的推论5.1 fort=0适用于所研究的金融市场。因此，通过（5.15）中的方程组可以得到封闭形式的近似解。Tobλoptu，tbλU，*u、 t（5.15）Gt，t-ξuGt，Ta可预见过程，根据推论5.1个季度{bλoptu，s}s∈[t，t]asGt，t=RtE“XoptTZbλuTEXoptTZbλuT英尺R-1x，TZTtDzutbφoptu，sdzu，s-ZTtDzutbφoptu，sds英尺#。（5.19）bφoptu，tξu-bλoptu，trisk，与xoptzbλuTandR-1x，t任意环积分bλoptu，tγdγudet，t的依赖性，t影子价格的整个路径是无可争议的。根据最优影子价格bλoptu，立即遵循（5.6）的类似规定，并且应该遵循bλoptu，tGt，T+ξu-1= 1 -XtXi公司∈SγiXλγi（Ai | Ft）Xγit！-1，（5.20）γd，γu∈ R+\\[0，1]γdγupath依赖关系。换言之，bλoptu，仅可用于CRRA偏好，γd=γu。让我们注意到，例如xoptt以及ηopttare在这种情况下在推论5.1中潜在。Gt，Tinbλoptu，t=（1- γ） ξu；CRRA投资者的近似值为准确的undp=rf。对于任何γd，γu∈ R+\\[0，1]，我们发现大致bλopt2，t∈ [(1 -γd），（1- γu）]Gt，T+ξu. 基于这些理由，考虑到近似的目的，让P=R是合理的。5.2.2近似原始最优1,2（[0，T]）toP=Ron的抑制双侧列出了完全解析表达式，其中值函数Ju（X）的上界。