最佳收受赌注

请注意，上述PJI是一个鞅，这是必须的。示例2.2。被认为是美国国家篮球协会（NBA）的比赛。虽然NBA比赛的分数是整数值，但由于NBA比赛的分数大约为100，因此将得分的分数近似为R值过程是合理的。为此，让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）配备过滤器F=（Ft）0≤t型≤t眉毛运动W=（Wt）0≤t型≤T、 我们可以对点差异进行建模 = (t） 0个≤t型≤t在A组和B组之间作为带漂移的布朗运动t=ut+σw，其中u的符号和大小表示A队受到的青睐程度。现在，考虑在Ai=“团队a将以i分或更多的分数获胜”形式的一系列结果上下注那么我们有pit=P(T≥ 我|t） =1- Φ我-t型- u（T- t） σ√T- t型= Φt+u（t- t）- iσ√T- t型, （2.1）其中Φ是标准正态随机变量的累积d分布函数（c.d.f.）。我们可以通过dPit=Φ′（Φ-1（坑））/√T- t载重吨。观察π是一个鞅，这是必然的。我们已经看到了一些关于如何用概率来描述体育赛事的例子，现在让我们重点关注赌注的支付结构。在本文中，我们假设在一组结果上下注，在时间T时，当且仅当ω∈ Ai（即，如果发生Ai）。因此，我们有“在Ai上下注的payoff”=1Ai=PiT。（2.2）备注2.3。在美国，如果一家博彩公司对结果a的报价为+120，那么对结果a的100美元押注将支付120美元+100美元=220美元（如果a发生）。如果一家博彩公司在结果B中引用了-110的奇数s，那么在结果B中下注110美元将支付100美元+110美元=210美元（如果B出现）。使用我们的设置，在+120处下注的价格为100/220≈ 0.4545，下注价格为-110是110/210≈ 0.5238.

一般来说，报价为+x（x>100）相当于将pricetox+100设置为<0.5（体育博彩中处于劣势），报价为-x（x>100）相当于将价格设置为x+100>0.5（体育博彩中的最爱）。（2.2）中的支付只是一种方便的标准化，如果出现特定结果或一组结果，可以将其应用于支付固定（即非随机）金额的任何赌注。在我们的框架中，收受赌注者无法控制公众对一组结果直接帮助的赌注数量。然而，博彩公司可以设定在友邦保险上下注的价格，这将影响在友邦保险上下注的速度或强度。这种设置（即控制价格以影响需求）类似于运筹学文献中用于研究在不同行业销售季节性和风格商品问题的设置；例如，见Pashigian（1988）和Gallego及Van Ryzin（1994）。我们将用ui=（uit）0表示≤庄家设定的赌Ai的价格。价格向量将表示为u=（u，u，···，un）。在此阶段，引入一套可接受的定价策略A（t，t）将有所帮助，我们将其定义为A（t，t）：={u=（us）s∈[t，t）：u是逐步测量w.r.t.F和us∈ A：=[0，1]n}，（2.3）带t∈ [0，T）。请注意，我们在定义A（T，T）时不包括控制uTin，因为时间T的情况微不足道。在不丧失一般性的情况下，我们将所有i∈ Nn。让我们用Xu=（Xut）0表示≤t型≤t庄家和byQu产生的总收入，i=（Qu，it）0≤t型≤t在一组结果Ai上下注的总数。请注意，我们已经用上标表示了宣群博彩公司定价政策u的依赖关系。Xu，Quand u之间的关系是dXut=Pni=1 ITdqu，it。观察玄曲，艾莉∈ n为非递减过程。

通常，我们会有Xu≡ X=0和Qu，i≡ 所有i的Qi=0∈ Nn。但是，我们不要求这样做（考虑到收受赌注者可能在时间0之前下注）。在本文中，我们考虑了Qu的两个模型，即，在一个模型中，以单位时间的速率下注于一组结果，这是一个函数λi:a×a→由庄家设定的结果和价格u的条件概率P向量的R+。这里，A=[0，1]与'R+=R+∪{+∞}. 在此模型下，我们有连续到达：Qu，it=Ztλi（Ps，us）ds+Qi。（2.4）在另一个模型中，押注一组结果Aiarrive作为状态相关的泊松过程Nu，i=（Nu，it）0≤t型≤t瞬时强度为函数λi:a×a→由庄家设定的结果和价格u的条件概率P向量的R+。在这个模型下，我们有泊松分布：Qu，it=ZtdNu，it+Qi，EtdNu，it=λi（Pt，ut）dt。（2.5）在本文中，我们将把函数λ作为下注连续到达时的速率函数和下注到达时的强度函数作为状态相关的泊松过程。为了求和，我们在（2.4）中对bet到达Qu，ias进行了建模，在（2.5）中对其进行了建模，使其成为一个受控的确定性过程或一个受控的泊松过程。这种建模与生产定价文献中的需求过程相似；详情请参见Li（1988）和Gallego and Van Ryzin（1994），以及调查文章Elmaghraby and Keskinocak（2003）及其参考文献，以供一般性讨论。备注2.4。对于具有较大博彩兴趣的体育赛事（如超级碗、欧洲足球锦标赛联盟决赛等），由（2.4）给出的连续到达模型能够有效地捕捉到博彩到达的动态。

然而，对于博彩兴趣有限的体育赛事（如冬奥会、威斯敏斯特犬展等），博彩到达的动态更容易被（2.5）中的泊松到达模型所接受。虽然我们的框架具有充分的通用性，允许速率/强度函数λIto依赖于条件概率的整个向量P和价格u的向量，但λide依赖于条件概率计划和价格Ui的情况将特别有趣。在λi（Pt，ut）的情况下≡ λi（Pit，uit），其中i∈ N和t∈ [0，T]，我们期望λito是结果a的条件概率Pi的递增函数，也是收受赌注者设定的价格uiset的递减函数。速率/强度函数λi的示例：[0，1]×[0，1]→满足这些分析性质的R+包括λi（pi，ui）：=pi1- pi1项目-uiui，（2.6）λi（pi，ui）：=log uilog pi。（2.7）函数（2.6）和（2.7）具有合理的定性行为，因为（i）随着对结果Aigo的教唆价格Uit为零，赌注的强度变为实际的Uit→0λi（pi，ui）=∞ , （2.8）（ii）随着对结果的押注价格上升到1，押注的强度上升到零利美→1λi（pi，ui）=0，（2.9）和（iii）所有公平交易uit=pit具有相同的强度λi（pi，pi）=λi（qi，qi）。本文应考虑的另一个速率/强度函数λiwe是λi（pi，ui）：=κe-β（ui-pi），κ，β>0。（2.10）我们将看到，λiin（2.10）f的形式有助于优化定价策略的分析计算。Gallego和Van Ryzin（1994）[第2.3节]也使用了强度函数的指数形式（2.10），以获得封闭形式的最优定价策略。然而，请注意，λiin（2.10）不满足（2.8）或（2.9）。

我们提到，我们还可以将强度函数（2.6）和（2.7）乘以（2.10）中的正比例因子κ。让我们用Yutt表示收受赌注者在支付完所有中奖赌注后的总财富，假设他遵守政策u。那么我们有Yut=XuT-nXi=1PiTQu，iT=Xu-nXi=1PiTQi+nXi=1ZTuit公司- 矿井dQu，it，（2.11），其中Qu，由（2.4）或（2.5）给出。我们将用J表示庄家的目标函数。我们假设J的形式为J（t，x，p，q；u）=Et，x，p，qU（YuT），其中u:R→ R是身份函数或效用函数。这里，我们介绍了旋转Et，x，p，q·=E（··| Xut=x，Pt=p，Qut=q）。收受赌注者寻求最优控制或定价政策*问题：V（t，x，p，q）：=supu∈A（t，t）J（t，x，p，q；u），（2.12），其中容许集A（t，t）由（2.3）定义。我们将函数V称为收受赌注者的价值函数。当我们以U为身份函数时，庄家是风险中性的，h的目标是最大化预期的终端财富；参见Gallego和Van Ryzin（1994）等，了解相同的标准。当我们把U看作一个递增和凹的效用函数时，收受赌注的人是风险厌恶的，他的目标是最大化终端财富的预期效用。备注2.5。正如一位匿名裁判所指出的，收受赌注者和赌徒通常对事件发生的概率有不同的预测。在我们的框架中，（条件）概率P是博彩者对赌博结果的最佳预测。请注意，我们间接考虑到了这样一个事实，即投注者可能对结果的概率有不同的看法，并且可能有不同的目标函数。

这些都是通过值函数的λi.3 PDE表征以简化形式捕获的。我们用过程P的最小生成元M表示，并用t，X和QIP关于相应参数的部分导数运算符。对于任何u∈ A、 使用以下任一LU定义运算符：=nXi=1λi（p，u）（uix+qi）+M，（3.1）Lu：=nXi=1λi（p，u）（θxuiθqi-1） +M，（3.2），其中θqizi是变量qi中大小为z的移位运算符，即θqizf（q）：=f（q，…，qi+z，…，qn）。假设庄家将赌注价格固定在一个常数ut=u。那么Luas denedin（3.1）是（Xu，P，Qu）的生成器，假设连续到达模型（2.4）描述的四次方动力学，而Luas defined in（3.2）是（Xu，P，Qu）的生成器，假设泊松到达模型（2.5）描述的四次方动力学。作为随机控制理论的标准，我们在一般情况下提供了问题（2.12）的验证定理。我们请读者参考Fleming和Soner（2006）[第III.8节]和Yong和Zhou（1999）[第4.3节]的证据。定理3.1。设v:[0，T]×R+×A×Rn+→ R是一个实值函数，至少对所有参数和满足度都是唯一可微的xv>0和qiv<0，我∈ Nn。假设函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程tv+sup^u∈AL^uv=0，v（T，x，p，q）=EhUx个-nXi=1qiAiXuT公司-= x、 PT公司-= p、 QuT公司-= qi，（3.3），其中L^uis由（3.1）或（3.2）决定。那么v（t，x，p，q）=v（t，x，p，q）是问题（2.12）的值函数，最优价格过程u*= （u）*s） s∈[t，t]由U给出*s=arg max^u∈AL^uv（s，X*s、 Ps，Q*s） 。（3.4）备注3.2。（3.3）中对值函数和（3.4）中给出的最优过程的偏微分方程表征是在没有对函数U、到达率/强度函数λi或条件概率P进行任何假设的情况下获得的。

通过附加假设，我们可以将（3.3）和（3.4）简化为更易于处理的形式。例如，当Quis由连续到达模型（2.4）定义时，我们可以简化（3.4）并获得∈ Nnthatλi（Ps，u*s） +nXj=1uj，*s·uiλj（Ps，u*s）xV+nXj=1uiλj（Ps，u*s） ·qjV=0。（3.5）方程（3.5）减少了寻找最优价格过程的问题*以反馈形式求解n个方程组。我们将应用定理3.1的结果，在后续章节中以封闭形式获得价值函数和/或最优价格过程。4半静态设置分析在本节中，我们解决了半静态设置中的主要问题（2.12）。本节的长期假设如下。假设4.1。到达过程Qu，iis由连续到达模型（2.4）给出。条件概率向量是常数向量，即Pt≡ p∈ （0，1）对于所有t∈ （0，T）。效用函数U是连续且严格递增的。对于所有i，速率函数λi=λi（ui）是ui的连续递减函数∈ Nn。为便于注释，我们在本节其余部分将速率函数写成λi（uit），因为条件概率Pt≡ p为固定常数。根据假设4.1，我们从（2.11）中得出，收受赌注者的最终财富YuTis由YUT=Xt给出-nXi=1Qit·1Ai+nXi=1ZTtλi（uis）uisds-nXi=1ZTtλi（uis）ds·1Ai。（4.1）当λiis按假设4.1递减时，其逆λ-1存在。定义函数fibyfi（x）：=x·λ-1i（x），x>0，i∈ Nn，（4.2）我们可以重写YuTin（4.1）asYuT=Xt-nXi=1Qit·1Ai+nXi=1ZTtfi（λi（uis））ds-nXi=1ZTtλi（uis）ds·1Ai。用^fit表示fiin（4.2）的凹面包络，定义为^YuTby^YuT：=Xt-nXi=1Qit·1Ai+nXi=1ZTt^fi（λi（uis））ds-nXi=1ZTtλi（uis）ds·1Ai。（4.3）显而易见≥ Yutf适用于任何公共结冰政策。

我们现在准备介绍本节的主要结果。定理4.2。假设4.1成立，我们有v（t，x，p，q）=sup^u∈AEt、x、p、qUx-nXi=1qiAi+（T- t） nXi=1^fi（λi（^ui））- （T- t） nXi=1λi（^ui）1Ai！：=^V，（4.4）=sup∧∈DλEt，x，p，qUx-nXi=1qiAi+（T- t） nXi=1^fi（λi）- （T- t） nXi=1∧iAi！，式中，A=[0，1]与Dλ=（Dλ，Dλ，····，Dλn），其中Dλi是所有i∈ Nn。备注4.3。定理4.2中的结果有助于我们将原始问题（n维随机过程上的动态优化问题）简化为n维常向量上的静态优化问题。定理4.2的证明基于以下两个引理。引理4.4。假设4.1成立，我们有SUP^u∈AEt、x、p、qU^Y^uT= supu公司∈A（t，t）Et，x，p，qU^是的,其中，^YuTis由（4.3）定义，集合A（t，t）由（2.3）定义。证据作为“≤” 很明显，我们继续证明逆不等式也是正确的。让我们看看庄家采取的任何定价政策。当λiis连续时，存在一个常数u*Isuchtheλi（u*i） =T-tRTtλi（uis）ds。通过^fi的凹度，我们得到- tZTt^fi（λi（uis））ds≤^配合- tZTtλi（uis）ds=^fi（λi（u*i） ）。因此，我们有，x，p，qU（^YuT）≤ Et，x，p，qUXt-nXi=1Qit·1Ai+（T- t） nXi=1^fi（λi（u*i） （）- （T- t） nXi=1λi（u*i） 1Ai！≤ sup^u∈AEt、x、p、qU（Y^uT）。然后根据u.引理4.5的任意性得出结果。假设4.1成立，我们有v（t，x，p，q）≥ sup^u∈AEt、x、p、qU^Y^uT.证据对于任何ε>0，让uε=（uε，…，uεn）是（4.4）中^V的ε/2优化器。设δ>0足够小，以便Et，x，p，qU（^YuεT- δ） >Et，x，p，qU（^YuεT）- ε/2>^V- ε. 接下来选择vi、wi、ρi∈ [0，1]对于每个i∈ nn以便满足以下条件：ρi·λi（vi）+（1- ρi）·λi（wi）=λi（uεi）和ρi·fi（λi（vi））+（1-ρi）·fi（λi（wi））>^fi（λi（uεi））-δn（T-t） 。我们构造了一个定价策略▄u，由▄uis=vi·1{t≤s<t+ρi（t-t） }+wi·1{t+ρi（t-t）≤s≤T}。

（4.5）可以很容易地验证Y▄uT>^YuεT- δ、 这又意味着V（t，x，p，q）≥ Et、x、p、qUYuT≥Et、x、p、qU^YuεT- δ>^V- ε. 因此，预期结果如下。定理4.2的证明。结果来自引理4.4和4.5以及fi≤^fi。推论4.6。如果^u*= （^u*, ^u*, ··· , ^u*n） 是^V和fi（λi（^u）的优化器*i） ）=^fi（λi（^u*i） ），i∈ Nn，（4.6）然后^u*是V的优化器。也就是说，静态策略u=（us）s∈[t，t]，我们≡ ^u*, 是解决问题的最佳策略（2.12）。一般而言，（4.5）中定义的定价政策是V的ε-优化器。备注4.7。如果fi是凹的，（4.6）是满足的。例如，如果λiis由（2.6）给出，则是这种情况。然而，如果λiis由（2.7）给出，则fi通常不是凹函数。事实上，如果0<x<-对数pi，如果x>-记录pi。如Remark4.3所述，定理4.2允许我们将目标优化问题简化为一个更简单的静态优化问题，但最优常数向量^u的一般特征（无论是显式还是数值解）*to^V仍不可用。下面我们提供一个示例，其中优化器^u*由方程组给出。在这个例子中，我们选择由（2.6）给出的r ate函数，以及由推论4.6和r emark 4.7给出的静态策略u≡ ^u*是解决收受赌注者问题的最佳策略。推论4.8。假设4.1成立。进一步假设（i）集合（Ai）i∈Nnform a分区Ohm, （ii）速率函数λiis由（2.6）给出，（iii）U由U（y）=-e-γy，其中γ>0然后优化器^u*（4.4）中定义的^V，解出以下方程式pi·（^u*（一）- 1!· g（t，pi，qi；^u*i） =Xj6=ipj·g（t，pj，qj；^u*j） ，则，我∈ Nn，（4.7），其中函数g由g（t，pi，qi；ui）定义：=expγqi+γ（T- t） pi1项目- 圆周率用户界面- 1.,对于所有t∈ [0，T），pi∈ （0，1），qi∈ R+，和ui∈ (0, 1).

此外，如果我们用（i’）替换假设（i），则集合（Ai）i∈n独立，则^u*求出以下等式pi·（^u*（一）- 1!· expγ（T-t） pi1项目-pi^u*我- 1!!= 1.- 圆周率，我∈ Nn。（4.8）证明。方程（4.7）和（4.8）是给定假设下相应优化问题的一阶条件。4.1案例研究在本小节中，我们应用推论4.8的结果来研究两个案例，它们对应于两个不同的条件（i）和（i’）。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0图1：^u图*由（4.8）给出，作为p的函数，γ=2和T- t=1首先，我们研究独立集（Ai）i的情况∈Nnin花冠4.8。根据（4.8），对于固定γ和T-t、 最优价格^u*在集合上下注的概率完全由集合概率决定。在图1中，我们绘制^u*作为p的函数，给定γ=2和T- t=1。正如预期的那样，最终价格^u*是结果概率的递增函数。此外，^u*是p的凹函数，表明庄家的最优价格对小概率的变化更敏感。经济上的解释是，当一个事件的概率从0.1增加到0.2时，赌注的增加比从0.8增加到0.9时更为显著。换言之，s mall的变化概率比相同数量的变化（但概率很大）导致庄家账簿中的不平衡更多。因此，为了应对这种影响，图书制造商以较小的概率以更快的速度提高价格。0.50.20.40.50.50.40.30.40.6概率p0.3概率p0.20.80.20.10.10.50.20.40.50.40.40.6概率p0.3概率p0.20.80.20.10.1图2：^u的曲面图*和^u*γ=2时，T-t=5，q=（0，0，0）接下来，当集合（Ai）i∈Nnform a分区Ohm.