最佳收受赌注

根据定理4.2，优化器^u*解决（4.4）中给出的静态问题，然后是与时间t相关的n维标度向量。它似乎从（4.7）th at^u*可能取决于t到功能。然而，注意到λiin（2.6）的定义，我们有q^u*,是-Q^u*,it=pi1- pi^u*我- 1.（s）- t） 和g（t，pi，Q^u*,它^u*（一）≡ g（s，pi，Q^u*,是^u*i） ，依次显示^u*实际上与时间t无关。要求解（4.7），我们考虑一个具有三个互斥结果A、A和A的示例。我们考虑p、p∈ （0，0.5）并求解（4.7），数值给定γ=2，T- t=5，q=（0，0，0）。最优价格的曲面图^u*和^u*如图2所示。对于固定p（分别为p），最优价格为*（分别为^u*) 是结果概率p（分别为p）的严格递增和凹函数。根据（4.7），在分配参数固定的情况下，我们得到 ^u*我qi>0。为了可视化该结果，我们将模型参数固定为0 0.5 1 1.5 20.10.20.30.40.50.60.70.80.9最优价格u*u*0.5 1 1.5 20.220.240.260.280.30.320.340.360.380.4最差情景下的最优终端财富图3：左面板绘制了最优价格u*i（=^u）*i） ，i=1，2，3。右图描绘了在最优价格策略u下支付中奖赌注后的bookma ker\'sterminal财富*在最坏的情况下。在两个面板中，x轴是当前在结果A上累积的赌注数量Qa，剩余模型参数设置为（4.9），初始财富x=0。以下p=，p=，p=，q=q=0，γ=2，T-t=1，（4.9），但允许当前对结果Ato的累计赌注在0到2之间变化。回想一下，QI是指在初始时间之前对结果AI的当前累计赌注。然后，我们绘制最优价格^u*i、 其中i=1，2，3，在图3的左侧面板中。很容易看出，最优价格^u*onoutcome是其累计下注数量q的递增函数。

这种递增关系符合我们的直觉，即如果收受赌注者在事件A中下注过多（过少），收受赌注者应该增加（减少）账面余额的价格。在f法中，图3还揭示了收受赌注者应该同时降低相互排斥结果A和A的价格，这进一步有助于保持账面平衡。^u的单调关系*iw。r、 图3中的概率Pi也证实了我们在图1和图2中的发现。在图3的右图中，我们绘制了在最坏情况下（即min Y^u）支付中奖赌注后，博彩公司的最终财富（pro fit*T=X^u*T-最大值=1,2,3{Q^u*,它}）针对inventoryqon结果A，初始财富设置为0。在这里，由于结果AHA是三种结果中概率最大的一种，因此它在最后时刻T的赌注总数也是最大的。因此，对庄家来说，最糟糕的情况是在时间t出现结果，即min Y^u*T=X^u*T-Q^u*,1吨。如图3右面板所示，无论赌博的最终结果如何，庄家都会从投注者那里获得正收益。5财富最大化在本节中，我们考虑当U（y）=y时的问题（2.12）（即，庄家的目标是最大化其预期终端财富）。从今以后，我们将把这个问题称为财富最大化问题。我们用三种不同的方法求解财富最大化问题，并得到定理5.1和推论5.3、5.5和5.6.5.1方法中问题（2.12）的解。以下定理将庄家的动态优化问题转化为静态优化问题。定理5.1。假设U（y）=y，对于所有i，下注到达过程Qu，iis由（2.4）或（2.5）给出∈ Nn。

那么我们有v（t，x，p，q）=x- p·q+Et，x，p，qZTtsup^u∈AnXi=1λi（Ps，^u）（^ui- Pis）ds，（5.1），其中p·q=nPi=1个IQI。证据作为Qu，iis由（2.4）或（2.5）给出，我们得到了dqu，它=λi（Pt，ut）dt，EtAi=Pit，因此，V（t，x，p，q）=x- p·q+supu∈A（t，t）Et，x，p，qnXi=1ZTtuisdQu，is- Qu，iTAi！=x个- p·q+supu∈A（t，t）Et，x，p，qnXi=1ZTtλi（Ps，us）（uis- Pis）ds！=x个- p·q+Et，x，p，qZTtsup^u∈AnXi=1λi（Ps，^u）（^ui- Pis）ds，其中最后一个等式可以通过可测量的选择参数来表示（seeWagner（1977））。备注5.2。由于U（y）=y的假设，（5.1）中获得的价值函数几乎依赖于当前财富x和当前账面q。准确地说，我们有V（t，x，p，q）x=1>0和V（t，x，p，q）qi=-pi<0，我∈ Nn，它验证了定理3.1中的导数条件。对于任何ε>0，uε=（uεs（p））t≤s<T=（uε，1s（p），uε，ns（p））t≤s<t可测量地选择Nxi=1λi（p，uεs（p））·（uε，is（p）-pi）≥ sup^u∈AnXi=1λi（p，^u）（^ui- pi）-ε, p∈ Ais是值函数V的ε-优化器。根据理论5.1，我们能够显著降低财富最大化问题的复杂性。如上所述，Theorem5.1允许我们转换一个动态优化问题（通过u∈ A（t，t））转化为静态优化问题（超过^u∈ A） ，并表明这两个问题的值函数是相同的。在一般设置下，（5.1）中的特征不足以使我们获得最优价格过程u*明确地然而，当（2.6）或（2.7）给出了速率或强度函数λiis时，我们能够找到u*以封闭形式；请参见下面的推论。推论5.3。

假设U（y）=y，所有i的到达过程Qu，iis由（2.4）或（2.5）给出∈ Nn。（i） 如果比率或强度函数λiis由（2.6）给出，则财富最大化问题的最优价格过程为u*= （u1，*t、 u2，*t、 ····，联合国，*t） t型∈[0，T），其中ui，*由UI给出，*t=qPit，我∈ Nn。（5.2）如果我们进一步假设Pt≡ p∈ （0，1）对于所有t∈ [0，T），则最优价格过程u*isui，*t型≡√圆周率，我∈ Nn，（5.3），值函数V由V（t，x，p，q）=x给出- p·q+（T-t） nXi=1pi1- pi（1-√pi）。（5.4）（ii）如果（2.7）给出的比率或强度函数λiis，则财富最大化问题的最优价格过程为u*= （u1，*t、 u2，*t、 ····，联合国，*t） t型∈[0，T），其中ui，*这是（e）上的唯一解决方案-1，1）到方程式r（1+对数r）=坑，我∈ Nn。（5.5）证明。根据Theorem5.1，我们有ui，*t=arg max^ui∈[0,1]1-^ui^ui^ui- 矿井, 当λiis给定时（2.6）；和ui，*t=arg max^ui∈[0,1]日志（^ui）（^ui- Pit），当λiis由（2.7）给出时。其余的都顺其自然。如果λiis由（2.6）和Pt给出≡ p、 我们得到了（5.4）中的值函数，从中我们可以很容易地看到五、x=1和五、qi=-Remark5.2中的pias。此外，我们还有五、t=-nXi=1pi1-pi（1-√pi）<0，五、pi=-气-pi+√圆周率- 1.1 +√圆周率, 我∈ Nn。由于五、t<0，我们得出结论，在所有条件相同的情况下，尽早开始下注总是一个更好的决定。简单的演算表明，ν（pi）：=pi+√圆周率-1(1+√pi）是一个递增函数，取值为(-1, 1/4). 当pi>((√5.- 1)/2)≈ 38%或当qi>1时，我们有五、pi<0。设U：（0，1）→ （e）-1，1）是（5.5）的解决方案函数，即ui，*t=U（凹坑）。我们很容易验证0<U（z）z=2+对数U（z）∈, 1.和U（z）z=-1U2+对数U（z）< 因此，f函数U是递增的和凹的。

因此，最佳价格ui，*在结果集上，当条件概率Pi增大时，Sai增大；当条件概率Pi较小时，增长率较大。5.2方法II（动态规划方法）现在，我们使用庄家价值函数的PDE特征（Theorem3.1）来解决连续到达模型（2.4）下的财富最大化问题。我们首先为值函数V建立一些分析性质。提案5.4。让U（y）=y代表所有y∈ R、 如果值函数V（t，x，p，q）相对于t，x和q是可微的，我们有tV（t，x，p，q）<0，xV（t，x，p，q）=1，和qiV（t，x，p，q）=-圆周率，我∈ Nn。证据回顾YuTin（2.11）对任何价格过程的定义∈ A（t，t），我们得到Et，x，p，qYuT=Et，x，p，q“x+nXi=1ZTtuisdQu，is-nXi=1PiTqi-nXi=1pitttdqu，is#=x-nXi=1piqi+Et，x，p，qnXi=1ZTt（uis- Pis）λ（Pis，uis）ds。很明显，对于最优价格过程u*, 我们有ui，*s-所有s的PI>0∈ [t，t]和我∈ Nn。这样，预期的结果就显而易见了。我们现在给出了财富最大化问题的显式解决方案。推论5.5。假设U（y）=y，赌注根据连续到达模型（2.4）到达。（i） 如果比率函数λiis由（2.6）给出，则最优价格过程u*由（5.2）给出。（ii）如果（2.7）给出了利率函数λiis，则最优价格过程u*是（5.5）证明的解决方案。（i） 在具有速率函数（2.6）的连续到达模型（2.4）下，我们从（3.4）中得出十五-用户界面，*s-2·qiV=0，我∈ Nn。结合命题5.4的结果，我们得到∈ [t，t），该ui，*s=q-qiV公司/十五≡QPI∈ (0, 1), 我∈ Nn。（ii）在带有速率函数（2.7）的连续到达模型（2.4）下，我们从（3.4）得出（1+log ui，*t）十五+qiV/ui，*t=0，我∈ Nn。

然后获得所需的结果。5.3方法三首先，我们利用定理4.2的结果来解决财富最大化问题。推论5.6。假设假设4.1成立，并假设U（y）=y。如果内部优化器∧*在M4.2存在时，我们有^f′i（λ*i） =pi，我∈ Nn。特别是，如果λiis由（2.6）给出，我们得到∧*i=pi1-圆周率√圆周率- 1.和^u*我=√圆周率，我∈ Nnand如果λiis由（2.7）给出，则p∧*ii（1+λ）*ilog pi）=piand^u*i（1+对数^u*i） =pi，我∈ Nn。证据第一个一般结果是直接感谢定理4.2和假设U（y）=y。正如Remark4.7所指出的，如果λiis由（2.6）给出，我们得到fi=^fi。如果λiis由（2.7）给出，对于0<x<-记录pi。5.4三种方法的比较就模型的通用性而言，通过方法I获得的理论5.1是最通用的理论，因为（I）条件概率P可以由任何取值为（0,1）的随机过程建模，（ii）到达过程由连续到达模型（2.4）或泊松到达模型（2.5）给出。当连续到达模型（2.4）给出到达过程时，方法II的推论5.5成立。方法III的第5.6条进一步限制为P常数。就适用范围而言，方法一是最受限制的方法，因为它只适用于财富最大化问题。方法II和III都是为了解决一般函数U的主要问题而开发的，因此可以应用于解决凹效用最大化问题（例如，参见推论4.8）。方法I的定理5.1和方法III的定理4.2都为价值函数提供了明确的特征，但没有为最优价格过程提供明确的解决方案。方法II（动态规划方法）提供了价值函数和最优价格过程的特征。

然而，在方法II中求解HJB方程（3.3）往往是一项艰巨的任务。从计算角度来看，方法I（见（5.1））或方法III（见（4.4））中的静态优化问题很容易解决，而在反馈策略（3.4）下找到HJB方程（3.3）的数值解可能在计算上很困难。5.5硬币示例的数值分析在本小节中，我们考虑一个简单的抛硬币示例，该示例有两个相互排斥的事件a={正面}和a={反面}。假设Pt≡ ^p∈ （0，1）对于所有t∈ [0，T），然后≡ 1.- ^p.我们根据到达过程的两个模型进行分析*,i–连续到达模型（2.4）和泊松到达模型（2.5）。速率或强度函数λiis由（2.6）给出。此外，我们应假设收受赌注者在时间t=0时没有下注，初始财富为零：Pt=（^p，1- ^p），t<t，X=0，Qi=0，我∈ Nn。在这种情况下，庄家的最优策略*由（5.3）给出。在下面的内容中，我们分析了当庄家遵循最优价格过程时，他获利的概率，用P（Y）表示*T> 0）。案例1：λigiven为（2.6）的连续到达模型（2.4）。在这种情况下，庄家的基本财富*由Y给出*T（头）=ψ（^p）·T和Y*T（尾）=ψ（1- ^p）·T，其中函数ψ由ψ（^p）定义：=^p1- ^p2.-p^p-√^p+1.- ^p^p（1-p1级- ^p），^p∈ (0, 1).可以看出，ψ是（0，1）上具有lim^p的递减函数→0ψ（^p）=和lim^p→1ψ（^p）=0。因此，无论抛硬币导致人头的可能性有多大，博彩公司都可以通过遵循（5.3）中给出的最优价格政策来确保获利。如果^p=0.5（硬币是公平的），博彩公司的利润是y给定的常数*T=ψ（0.5）·T≈ 0.171573·T。情况2。泊松到达模型（2.5），λigiven为（2.6）。

在这种情况下，庄家的最终财富是*由Y给出*T（水头）=（p^p- 1） ·Qu*,1T+p1- ^p·Qu*,2T，Y*T（尾）=p^p·Qu*,1T+（p1- ^p- 1） ·Qu*,2T，其中正面和反面的赌注总数*,它（i=1，2）是独立的泊松随机变量，期望值为λ*i·T=√pi（1-√pi）1-pi·T，其中p=^p和p=1- 请计算P（Y*T> 0），收受赌注者获得利润的概率。我们有p（Y*T> 0）=P（头）PQu*,1吨<√1.- ^p1-√^p·Qu*,2T！+P（尾部）PQu*,2吨<√^p1-√1.- ^p·Qu*,1T！=^p∞Xj=1e-λ*T（λ*T）jj！M（j）Xi=0e-λ*T（λ*T）ii！+(1 - ^p）∞Xi=1e-λ*T（λ*T）ii！M（i）Xj=0e-λ*T（λ*T）jj！，其中M（k）是小于√1.-^p1-√^p·k和M（k）是小于√^p1-√1.-^p·k，所有k=0，1，····。P（Y）的上述表达式*T> 0）允许我们计算P（Y*T> 0）以有效的方式进行数值计算。例如，给定^p=0.5，我们计算tep（Y*T> 0）=33.67%（T=1）；54.43%（T=2）；76.82%（T=5）；86.49%（T=10）。（5.6）5.6扩散示例的数值分析在本节中，我们考虑一个扩散示例，其中条件概率由扩散过程给出，博彩到达由泊松模型给出（2.5）。假设到达密度λiis采用（2.6）中的形式。你的主要重点是调查收受赌注者的最终报酬*T、 支付中奖赌注后，当他遵循最优价格策略时*由（5.2）给出。特别是，我们遵循示例2.2中的设置，并考虑在NBAgame上下注的利差，它提供了三种下注结果：a={主队赢3分或更多}，a={主队赢3分以下}，以及a={客队赢}。

结果如此悬殊的原因是，主场优势在体育文献中得到了充分的记录和实证检验，最新主场优势在2019-2020年NBAseason期间为每场2.33分。允许 = (t） 0个≤t型≤t记下主队的得分减去Awaytem的得分，并从示例2.2中回忆一下t=ut+σWt。我们有pt=EtA=P(T≥ 3|t） ，Pt=EtA=P(T≥ 0|t）-Pt，Pt=1- P(T≥ 0|t） ，其中P(T≥ n个|t） 由（2.1）给出。我们通过u=2.33，σ=10，x=0，q=（0，0，0），T=1，κ=10000，（5.7）设置模型参数，其中κ是（2.6）中强度函数的比例因子。如果我们将T正规化为1，则κ=10000的系数预测，如果该概率为0.5且价格设置为√0.5. 我们认为，我们的目标是获得定性而非定量的结果，因为真实的市场数据是商业机密，我们无法获得。这些发现在任何正比例因子κ下都是稳健的。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间0.10.20.30.40.50.60.70.80.9-14-12-10-8-6-4-2TPTPTT图4：点差异的模拟路径 条件概率Pi，i=1，2，3，t∈ [0, 1]. 左边的y轴是概率，而右边的y轴是点差异. 参数在（5.7）中设置。我们首先绘制一条点差异的模拟样本路径 并计算i=1，2，3随时间t变化的条件概率Pit∈ 图4中的[0，1]。在这条特定的路径中，积分差（黑色实线）最终变为负值，这意味着客队赢得了比赛，而结果就是获胜的赌注。

因此，我们观察到条件概率PtSee统计量herehttps://www.usatoday.com/sports/nba/sagarin/.（红色虚线）和Pt（蓝色虚线）收敛到0，Pt（粉红色虚线）收敛到1。召回u*,it=qPit，条件概率的动态变化意味着博彩公司确实应该动态调整价格，以考虑t、 沿着图4中的关节路径，我们计算*T=5471，Q*,1T=2356，Q*,2T=2032，Q*,3T=4323，表明收受赌注者的最终收益为Y*T=X*T- Q*,3T=1148>0。接下来，我们使用蒙特卡罗方法，重复相同的模拟过程N次（wetake N=10000）。我们报告了Y的描述统计数据*Tin表1。关键的发现是，无论哪一个结果最终是赢家，当遵循最优动态价格政策时，博彩公司都能够取得积极的收益*. Y的中值*Tis 3134，大于平均值2433，表明分布是左偏的。将此示例与第5.5节中考虑的硬币示例进行比较，我们看到了动态调整价格对收受赌注者的重要性。在硬币的例子中，条件概率保持不变，庄家的最优价格策略是一个不变的策略。在这种情况下，可行性概率严格小于1；见（5.6）。然而，在这里考虑的例子中，点差异的动态移动导致条件概率的动态变化。然后，博彩公司以动态的方式调整其对赔率的影响，并能够通过遵循最佳策略实现严格的稳定性。平均s.d.最小Q25%中值Q75%最大2433 1048 163 1400 3134 3322 4035表1：博彩公司利润的描述性统计*T、 这里，s.d.是标准偏差，Q25%和Q75%分别指25%和75%分位数。