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英文标题：
《Optimal Bookmaking》
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作者：
Matthew Lorig, Zhou Zhou, Bin Zou
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We introduce a general framework for continuous-time betting markets, in which a bookmaker can dynamically control the prices of bets on outcomes of random events. In turn, the prices set by the bookmaker affect the rate or intensity of bets placed by gamblers. The bookmaker seeks a price process that maximizes his expected (utility of) terminal wealth. We obtain explicit solutions or characterizations to the bookmaker\'s optimal bookmaking problem in various interesting models.
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中文摘要：
我们介绍了连续时间博彩市场的一般框架，在该框架中，博彩公司可以动态控制随机事件结果的赌注价格。反过来，庄家设定的价格会影响赌徒下注的速度或强度。收受赌注的人寻求一个价格过程，使他预期的终端财富（效用）最大化。我们在各种有趣的模型中获得了收受赌注者最优收受赌注问题的显式解或特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Optimal_Bookmaking.pdf (688.85 KB)

2022-6-24 06:41:33 上传

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关键词：Quantitative Mathematical Applications QUANTITATIV mathematica

最佳图书制作Matthew Lorig*Zhou Zhou+Bin Zou接受在《欧洲运营研究杂志》上发表第一版：2019年7月本版：2021年3月摘要我们介绍了连续时间博彩市场的一般框架，在该框架中，博彩公司可以动态控制随机事件结果的赌注价格。反过来，庄家设定的价格会影响赌徒下注的速度或强度。收受赌注者寻求一个最优的价格过程，最大限度地发挥其预期的（效用）终端财富。在各种有趣的模型中，我们得到了博彩公司最优bookmaking问题的显式解或特征。关键词：随机规划；泊松过程；体育博彩；随机控制；效用最大化利益声明：无。*美国华盛顿大学应用数学系，华盛顿州S eattle。电子邮件：mlorig@uw.edu.+澳大利亚悉尼大学数学与统计学院。电子邮件：zhou。zhou@sydney.edu.au.通讯作者。美国康涅狄格州斯托尔斯市康涅狄格大学数学系曼斯菲尔德路341号，邮编：06269-1009。电子邮件：bin。zou@uconn.edu.电话：+1-860-486-3921.1简介体育博彩业是一个大型且快速增长的行业。根据Zion（2018）最近的一份报告，2017年全球体育博彩市场价值约1043.1亿美元，预计到2024年将达到约1554.9亿美元。正如Street和Smith（2018）所指出的，由于最高法院2018年5月的裁决，美国国内的增长预计将特别强劲，该裁决认为《职业和业余体育保护法》（PASPA）违宪，从而为各州就体育赌博的合法性单独作出裁决铺平了道路。

在PASPA裁决后不到一年，11个州通过了体育赌博合法化法案，而在PASPA裁决前只有一个州（内华达州）。在撰写本文时，几个州已经起草了法案，使其境内的体育博彩合法化。在本文中，我们从博彩公司的角度分析体育博彩市场。Abookmaker为体育赛事（或一般的随机赛事）不同结果的赌注定价，从这些赌注中获得收入，并支付中奖赌注。通常结果是二元的（A队获胜或B队获胜）。但是，有些项目可能有两种以上的结果（例如，在联合足球赛中，一支球队可能赢、输或打成平局）。此外，结果不必相互排斥（例如，可以对A队获胜和球员Xscoring单独下注）。理想情况下，博彩公司努力以这样一种方式确定价格，即无论特定活动的结果如何，他都会收集足够的博彩收入来支付所有中奖赌注，同时也会获得一定的收益。然而，由于收受赌注者只控制赌注的价格，而不是对不同结果下注的数量，如果出现特定结果，他可能会在体育赛事上赔钱。例如，考虑一场只有两种互斥结果的体育赛事：a和B。假设收受赌注的人在结果A上的赌注比在结果B上的赌注多得多。如果出现结果A，那么收受赌注的人将在安永上失去m，除非他从结果B上的赌注中获得的收入足以支付在结果A上的赌注。因此，ifa收受赌注的人发现自己在结果A上的赌注比在结果B上的赌注多得多，他可以提高对结果a下注的价格和/或降低对结果B下注的价格。

这一策略将降低对结果a的下注需求，并增加对结果B的下注需求。因此，博彩公司将降低他遭受巨大损失的风险，但他这样做的代价是牺牲预期收益。传统上，博彩公司只会在体育赛事开始前接受B ets。在这种情况下，由于庄家收到了ETS，特定结果的概率将保持相当稳定。然而，最近，博彩公司开始将体育赛事作为赛事进行押注。在这些情况下，当庄家下注时，特定结果的概率会随时间随机变化。这使得博彩业者的任务更加复杂，他们还需要了解美国博彩协会的最新情况tionhttps://www.americangaming.org/research/state-gaming-map/.considering他对特定结果所下的赌注数量，还必须考虑到正在进行的体育赛事的动态。例如，在篮球比赛接近尾声时，当比分持平时，得分一分对比赛结果的影响要比在第一节时轻视一分大得多。而且，在协会足球比赛的上半场进球的影响要大于在篮球比赛的早期进球的影响。在本文中，我们提供了一个研究最优簿记的一般框架，该框架考虑了上述情况。在OUR框架中，结果的概率要么是静态的，要么是随时间随机演变的，对任何特定结果的押注可能以确定的速率或随机强度达到。这种比率或强度是庄家设定价格的递增函数，也是结果发生概率的递增函数。

在这种情况下，博彩公司可能会寻求最大化预期财富或财富的预期效用。我们提供了几个游戏内动力学的例子。并分析特定的优化问题，在这些问题中，庄家可以明确地获得最优策略。在随机控制的背景下，现有的关于最优博彩的文献似乎很少。霍奇斯等人（2013年）在现有少数关于这一主题的论文中，考虑了赛马的收受赌注者。在他们的论文中，一匹给定的马获胜的概率是确定的，而对一匹给定的马下注的数量是一个正态分布的随机变量，其均值与该马获胜的概率成正比，与博彩公司设定的价格成反比。在这一时期设置中，博彩公司试图设定价格，以最大限度地利用终端财富。与我们的论文不同，Hodges et al.（2013）不允许博彩公司在下注时动态调整价格，也不允许他们找到博彩公司最优控制的分析解决方案。据我们所知，我们的论文是第一篇为研究动态环境下的最优博彩提供一般框架的论文。与我们的工作类似，Divos等人（2018年）考虑了协会足球比赛期间的动态赌博。然而，他们并没有将赌博视为一个最优控制问题，而是使用套利复制参数来确定赌注的价值，该赌注的回报是两支球队各自得分的函数。作为“对冲资产”，他们考虑的是支付两支球队最终目标的赌注。相比之下，在我们的工作中，博彩公司没有用作对冲工具的基础资产。Grant等人还研究了足球博彩市场中的套利机会。

(2018).如上所述，我们研究了一个博彩公司的随机控制问题，该公司寻求最优设定赌注价格，以最大化其预期收益或效用。在我们的框架中，体育博彩系统从根本上不同于parimutuel博彩系统，在该系统中，所有中奖者共享池中的资金。Bayraktar和Munk（2017）研究了大赌徒和小赌徒在parimutuel下注活动中对房子的影响。请注意，Bayraktar和Munk（2017）将parimutuel下注建模为静态游戏，并假设该事件有两个相互排斥的结果。我们参考了Th aler和Ziemba（1988）、Hausch和Ziemba（2011）以及其中的参考资料，以进一步讨论parimutuel博彩。我们评论说，我们对最佳博彩的研究，从动机、问题和方法论的角度来看，与体育博彩中的统计建模工作有着根本的不同。在统计建模方面，大多数现有的论文试图建模，然后预测球员（或团队）的表现和随机（体育）事件的结果，并分析各种因素对个人或团队在体育运动中表现的影响。一些作品进一步应用已确定的模型来构建博彩策略，以利用机会，主要是从投注者的角度出发。例如，在早期的研究中，Dixon和Coles（1997）使用泊松分布的回归模型来拟合英国的足球（足球）数据，并获得带来正回报的改进策略。克拉森和马格纳斯（2003）提出了一种统计方法来预测网球比赛的胜利者。Bozóki等人（2016年）运用成对比较矩阵对顶级网球运动员进行排名。Song和Shi（2020）最近的一篇论文应用gamma过程对美国国家篮球协会（NBA）比赛的动态比赛得分进行建模。在其他相关领域，Müller等人。

（2017）运用多水平回归分析估计欧洲顶级联赛职业足球运动员的市场价值。我们参考调查文章Wright（2014）及其参考文献，全面回顾运筹学和分析在各种体育法律和规则中的应用。在某些方面，我们所考虑的最优做市问题类似于Avellaneda和Stoikov（2008）所考虑的最优做市问题；Guéant等人（2012年）；Adrian等人（2020年），Gatheral和Schied（2013年）分析了最优执行问题；Bayraktar和Ludkovski（2014）；Cartea和Jaimungal（2015年）。在这些文件中，做市商会限制买卖风险资产的订单，而风险资产的参考价格是一个随机过程。limitorders完成的强度是低于（高于）参考价格的递减函数。在这种情况下，做市商寻求最大化其预期财富或财富的预期效用，其中包括完成限额指令产生的现金和风险资产的任何持有价值。在某些情况下，做市商还寻求将其持有的风险资产减至最低。从某种意义上说，一个提供限价指令买卖风险资产的做市商就像一个在体育赛事中对相互排斥的结果下注的博彩公司。此外，做市商寻求最小化风险资产的持有量，类似于博彩公司寻求在相互排斥的结果上进行同等金额的赌注。最近的paperCapponi等人（2019年）整合了上述两种文献。他们认为，在连续时间Stackelberg博弈框架下，一个不知情的大型卖家想要最优地执行订单，并考虑一组有竞争力的做市商的反应。

大型卖家决定其销售强度，以最大化其预期净收益，而市场标记商决定其适当的买入/卖出金额，以最大化其预期总财富减去二次库存成本。在建模方面，Capponi et al.（2019）将清算出价和询价建模为做市商控制的功能（影响金额），然后影响最终用户的买卖强度和大卖家的销售强度。同样，我们将博彩强度建模为庄家控制（价格）的函数。卡波尼等人（2019）的做市商和我们论文中的收受赌注者都希望最大化他们的预期（效用）财富，但我们不考虑不同收受赌注者之间的竞争。我们注意到，本文所考虑的最优博彩问题从方法论的角度也与具有跳跃扩散动力学的仓促控制问题有关，因为两者都试图以最优的方式控制“跳跃事件”。Zou和Cadenillas（2014）研究了一家保险公司的最优投资和风险控制问题，该保险公司的风险过程由跳跃-扩散过程建模。Capponi和Figueroa-López（2014）研究了在制度转换的可违约市场中的最优投资，其中有额外的可违约债券可用于投资。Bo和Capponi（2016）考虑了一个电力效用最大化代理人，他投资于多个信用违约掉期（CDS）和货币市场，其中违约强度是连续跳跃到违约之间的分段常数b。Bo等人（2019年）进一步扩展了inBo和Capponi（2016年）的设置，通过应用差异过程来模拟连续d efault事件之间的默认强度。

除了问题表述的明显不同背景外，本文与上述论文之间存在着显著差异：本文中的jum强度是内生的，取决于控制（赌注价格），但是外生的，在上述论文中无法控制。本文的其余部分如下。在第2节中，我们提出了连续时间博彩市场的一般框架，陈述了博彩者的优化问题，并定义了他的价值函数。在第3节中，我们将博彩公司的价值函数描述为部分（积分）微分方程（PDE）的解。在第四部分中，我们研究了半静态环境下的收受赌注者的最优化问题。在本节中，结果的概率在时间上是不恒定的，但赌注的达成率取决于庄家设定的价格。第五章，我们研究了风险中性博彩公司的财富最大化问题。在第6节中，我们关注的是当庄家的偏好以指数形式的自性函数为特征时，庄家的优化问题。最后，在第7节中，我们提供一些总结。所有技术证明和结果都收集在在线附录中。2连续时间博彩市场的一般框架let us fix A概率空间(Ohm, F、 P）过滤F=（Ft）0≤t型≤T由P-null集完成，其中T<∞ 是一个有限的时间范围。我们认为，本文中介绍的所有随机过程和随机变量都在给定的过滤概率空间下得到了很好的定义和适应，这可能在后续的特定示例或模型中得到进一步描述。我们将P视为真实世界或物理概率，即在有限数量的子集（Ai）i上测量e.C∈Nn（其中Nn：={1，2，····，n}）的Ohm, 每个都是FT可测量的（即Ai∈ FTfor all i）。

我们可以将友邦视为一场体育赛事的一组特定结果，它在一定程度上结束了比赛。为了避免琐碎的情况，我们假设P（Ai）∈ （0，1）表示所有i。请注意，集合（Ai）i∈nn不必是的分区Ohm. 特别是，可能会有结果ω，使得ω/∈ ∪ni=1Ai。此外，集合可能重叠（即，我们可能有Ai∩ Aj6= 式中，i 6=j）。我们将用Pi=（Pit）0表示≤t型≤t人工智能的Ft条件可能性。我们有pit=EtAi，其中Et·：=E（·| Ft）表示条件期望。注意，根据条件期望的塔性质，π是a（P，F）-鞅。我们将用P=（P，P，···，Pn）表示条件概率的向量。一般来说，条件概率Pi是一个随机过程。然而，我们还将考虑假设Pitis是所有t<t的固定常数Pi的情况。让我们看一看体育赛事的一些例子，并展示我们如何用概率来描述它们。示例2.1。假设球员X在一场联盟足球比赛中的进球数是一个强度为u的泊松过程。考虑在游戏中以Ai=“玩家X将以准确的i个进球结束比赛”的形式对一组结果下注我们可以按如下方式对发生的条件概率进行建模。固定概率空间(Ohm, F、 P）设F=（Ft）0≤t型≤t泊松过程产生的强化过滤Nu=（Nut）0≤t型≤t强度u。然后我们得到Pit=Pin=0P（NuT- Nut=i- n） 1{nut=n}=引脚=0（i-n） 哦！e-u（T-t） [u（t- t） ]我-n{nut=n}，从中我们可以很容易地构建出“球员X将完成i和j目标之间的比赛（包括在内）”形式的结果条件概率例如，如果Aj=“球员X将至少取得一个进球”，则Pjt=1{Nut≥1} +1{Nut=0}（1- e-u（T-t） ）。Pjcan的动力学可以简单地推导为dPjt=1{Pjt-<1} e类-u（T-t） （dNut- udt），Pj=1- e-uT。