相关布朗运动的公共分解及其金融性质

（20） 收敛性质（20）和（19）从某种意义上揭示了X和Y与（B，W）的共同运动和反向运动之间的联系，并直观地解释了T和S被视为记录（B，W）正相关和负相关的时钟。3相关布朗运动的构造与模拟基于公共分解在上一节中，已经演示了两个相关布朗运动的公共分解。对于任意两个布朗运动B和W，我们可以找到一个三元组（X、Y、T）来通过时间变化方法来表示它们。在实践中，逆向问题也值得关注和研究。也就是说，是否有可能用公共分解方法从两个独立的布朗运动构造出两个具有所需依赖结构的布朗运动？在本节中，我们将重点讨论这个问题。此外，还给出了基于公共分解的仿真方法。3.1构造相关布朗运动的新方法在本节中，我们在某些条件下用普通分解方法构造相关布朗运动，并举例说明这种新构造方法的应用。定理3.1。设（X，Y）为二维标准布朗运动且{Tt}t≥0，{St}t≥0be时间随F变化。如果FYSt⊥ FXT公司∞|FXTt和FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt，然后{XTt}t≥0和{YSt}t≥0是关于FXT，YS的鞅。此外，如果T，S严格增加且Tt+St=T，t型≥ 0，然后是BT，XTt+YStand Wt，XTt-y关于FB，Wand[B，W]t=Tt的两个相关布朗运动-立即，我们有了一种方便的方法，从定理3.1构造相关布朗运动。推论3.1。假设T，S是满足Tt+St=T的严格递增过程，t型≥ 0和X，Y是独立的布朗运动。

如果X，Y，T相互独立，则bt，XTt+YStand Wt，XTt-y关于FB，Wand[B，W]t=Tt的两个相关布朗运动-接下来，我们考虑通过公共分解和体制转换模型来构造相关的布朗运动。制度转换是金融领域常用的模型，它很好地拟合了金融数据。例如，Schaller和Norden（1997）发现了非常有力的证据，证明股票市场回报中存在依赖于国家的转换行为。已经考虑了离散时间相关性的状态转换模型，例如Casarinetal.（2018）和Pelletier（2006）。因此，在下一个例子中，我们考虑区域切换模型，用公共分解方法构造相关的布朗运动。示例3.1。（区域切换模型）假设{Qt}t≥0是连续时间平稳马尔可夫过程，取有限状态空间{e，e，…，en}中的值，其中ei=（0，…，0 |{z}i-1, 1, 0, . . . , 0 |{z}n-i） 表示单位向量。马尔可夫过程{Qt}t≥0具有平稳转移概率矩阵P（t）=（pij（t））n×n，其中pij（t）=P（Qt+s=ej | Qs=ei）。均质发生器A=（aij）n×n存在，定义为asA，limt↓0P（t）- 这里我表示单位矩阵。然后我们得到dp（t）dt=AP（t）=P（t）A。解这个常微分方程我们得到P（t）=eAt。（21）设α=[α，α，…，αn]T，αi∈ (0, 1), i和tt=ZtαTQsds，St=t- Tt=Zt（1-α） TQSD。显然，{Tt}t≥0，{St}t≥0正在增加进程。设{Xt}t≥0，{Yt}t≥0be二维标准布朗运动与Qt无关。然后从推论3.1，我们有{XTt+YSt}t≥0和{XTt-YSt}t≥0是两个相关的布朗运动。3.2模拟相关布朗运动的新方法模拟也是构造相关布朗运动的重要部分。在这一节中，我们给出了一种用普通分解方法模拟相关布朗运动的新方法。

局部相关模型（local correlationmodel）从微观角度描述相关性，只关注当前的相关性；然而，从宏观角度来看，公共分解描述了整个时间段内的相关性。这两种方法的差异可能会带来新的模拟方法相对于局部相关模型模拟方法的优势。局部相关模型最常用的模拟方法之一是Euler-Maruyama方案，见Kloeden和Platen（2013）。首先，给定[0，t]的划分∏，letW∏t=Ztρ∏udBu+Ztq1- （ρ∏u）dZu=n-1.∑k=0（ρtkBtk+q1- ρtkZtk），（22）其中Btk=Btk+1- Btk，Ztk=Ztk+1- Ztkand{ρ∏u}0≤u≤定义为ρ∏u=ρti，ti≤ u<ti+1。其次，应用（22）模拟（B，W）。因此，模拟结果最终为（B，W∏），并且总是存在明显的模拟误差。在X、Y和T相互独立的条件下，表1和表2显示了在没有T分布的显式表达式时，使用通用分解方法进行模拟的具体步骤。作为比较，局部相关模型的Euler-Maruyama方案也显示在表1和表2的第二列中。（B，W∏）的公共分解表示为（X∏，Y∏，T∏）。从表1中可以看出，与Euler-Maruyama方案相比，常用分解方法的区别和优点如下：o如果不需要轨迹，并且我们只需要时间t的bt和wt，则常用分解方法可以减少模拟时间。如果ρ是一个随机过程，我们必须在正则Maruyama格式中模拟3n个随机数，即。Bti，Zti，ρti，i=0，1，n-然而，在常用的分解方法中，我们只需要模拟n+2个随机数，即T∏T，T∏T。

，T∏tn，X∏T∏tand Y∏S∏T.o如果我们有T分布的显式表达式，我们可以直接模拟tt，那么我们只需要模拟XTtand YSt，因此模拟可以减少到3倍。o只要可以控制T∏T的模拟误差，就可以控制模拟误差，因为| XTt- XT∏t |=E | Tt- T∏T |≤ （E | Tt- T∏T |）。因此，如果得到T分布的显式表达式，可以直接模拟T，然后用表1和表2中的类似步骤模拟XT和YS。那么T就没有模拟误差，因此我们可以准确地模拟（B，W），而这对于局部相关模型是不可能的。如果T分布的显式表示不明确，则两种方法的模拟误差相同，因为两种方法都模拟（B，W∏）。从表2中可以看出，如果需要轨迹，并且我们没有T分布的显式表达式，那么两种模拟方法之间的差别很小。表1：模拟给定t（未获得t分布的显式表达式）的（Bt，Wt）通用分解方法局部相关模型（Euler-Maruyamascheme）步骤1模拟t∏t，t∏t，T∏tnin顺序模拟ρT，ρT，ρtn-按顺序步骤2模拟X∏T∏和Y∏S∏T模拟英国电信，英国电信，Btn公司-1和Zt，Zt，Ztn公司-步骤3计算（Bt，W∏t）根据t∏t=t计算（Bt，W∏t）+∑n-1i=0ρtiti，模拟T∏T的复杂性，T∏T，T∏tn等于模拟ρT，ρT，ρtn-1、在T∏T条件下，X∏T∏和Y∏S∏分别为均值为零和方差为∏和∏S∏的独立正态分布。表2：模拟[0，t]中（B，W）的轨迹（未获得t分布的显式表达式）常用分解方法局部相关模型（Euler-Maruyamascheme）步骤1模拟t∏t，t∏t，T∏tnin顺序与表1步骤2模拟中的步骤1相同X∏T∏T，X∏T∏T。

, X∏T∏tn-1和Y∏S∏t，Y∏S∏t，Y∏S∏tn-1与表1步骤3中的步骤2相同，计算Bt，Bt，B和W∏t，W∏t，W∏tn计算Bt，Bt，B和W∏t，W∏t，W∏tn在T∏T，T∏T，T∏tn-1、随机变量X∏T∏T，X∏T∏T，X∏T∏tn-1.Y∏S∏t，Y∏S∏t，Y∏S∏tn-1是均值为零且方差为零的独立正态分布T∏T，T∏T，T∏tn-1.S∏t，S∏t，S∏tn-1分别。示例3.2。取以下参数，Q=[1，0，0]T，α=[0.3，0.6，0.9]T，A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1., t=1，ti=0.01，i、 （23）图2（a），图2（b），图2（c）显示了我们如何通过公共分解方法（未获得t分布的显式表达式）逐步模拟[0，t]中（B，W）的轨迹（a）步骤1：模拟Tt（B）步骤2：模拟XT和YSt（c）步骤3：计算Bt和Wt图2：通过公共分解方法（未获得t分布的显式表达式）模拟（Bt，Wt）我们考虑的区域示例3.1中的切换模型。由于（21），政权切换模型的模拟是可行的。采用与（23）中相同的参数，我们通过模拟（Bt，Wt）计算Bt+Wt的期望值，N=5000次重复。我们使用MATLAB2017b实现Monte Carlo方法，核心为i7 2.8GHZ CPU。表3显示，两种方法的标准偏差非常接近，因此其模拟误差非常小。

常用的分解方法比采用Euler-Maruyama格式的局部相关模型运行速度快得多。请注意，这里不需要模拟轨迹。表3：比较两种模拟方法SE（Bt+Wt）Std Dev运行时间公共分解方法（未获得T分布的显式表达式）-0.0034 1.8593×10-23.1868二次局部相关模型（Euler-Maruyama方案）0.0265 1.8561×10-211.4762秒4金融衍生品估值通过应用公共分解方法在前两节中，考虑了两个布朗运动的公共分解，其中依赖结构可能非常普遍。我们展示了如何将布朗运动（B，W）分解为三元组（X，Y，T），并回答了如何从给定的三元组（X，Y，T）构造两个相关的布朗运动。在本节中，我们将应用公共分解方法研究由两个相关布朗运动建模的一些典型双因素导数的定价问题。我们首先给出了两个例子，展示了公共分解三元组（X，Y，T）在协变量掉期、协变量期权和Quanto期权定价中的直接使用。然后我们将重点讨论双色彩虹期权的定价问题。双色彩虹期权有几个典型的例子，一个是期权债券，详见Stulz（1982）；此外，一种特殊的双色彩虹期权，即价差期权，在金融市场中无处不在，包括股票、固定收益、外汇、大宗商品和能源市场，Carmona和Durrleman（2003）概述了价差期权的示例和共同特征。为简单起见，我们假设X、Y和T在本节中相互独立，即ρ独立于命题2.2中的局部相关模型中的（B，Z）。这一假设并没有那么严格，以致于不符合事实。

例如，在Ma（2009a）中，当考虑具有随机相关性的外国股票期权的定价问题时，作者从实证角度说明了ρ、B和Z的独立性。4.1定价协方差掉期和协方差期权取决于汇率变动，例如以不同于基础货币的货币支付的期权，具有资产与汇率之间相关性的风险敞口。这种风险可以通过两种方式消除，一种简单的方法是Quanto选项，将在第4.2节中讨论；本节重点讨论的另一种方法是协方差选项或相关选项，详情请参见Swishchuk（2016）。通过组合方差和协方差期权，可以确定投资组合的已实现收益方差。Carr和Madan（1999a）指出，协方差掉期可以通过期权和期货构建，换句话说，期权可以通过协方差掉期和期货进行完美对冲。在接下来的部分中，我们将考虑所谓的协方差期权，该期权旨在应对两项基础资产的协方差风险。假设两项资产（S，S）的价格可以表示为dStSt=udt+σdBt，dStSt=udt+σdWt，（24），其中基础资产的漂移ui，i=1，2和波动率σi，i=1，2假设为常数。示例4.1（已实现收益协方差的掉期和期权）。考虑两种风险资产，其价格演变为（24）。然后，根据示例2.2，（S，S）可以在适当的条件下转换为dStSt=rdt+σdBt，dStSt=rdt+σdWt，其中B和W是风险中性度量Q下的布朗运动，r表示恒定的无风险利率。两项资产的连续复合收益率分别为ln（St/S）和ln（St/S）。

因此，两项标的资产的已实现收益协方差定义为ln（St/S）和ln（St/S）CovR（St，St），[lnSS，lnSS]t的交叉变量，然后是标的股权的协方差互换和协方差期权的收益和到期isCovR（St，St）-K、 andmax{CovR（St，St）-K、 0}，其中K表示执行价格。注意covr（St，St）=[lnSS，lnSS]t=Ztσd[B，W]t=σ（Tt-St）=σσ（2Tt-t） 协方差交换和协方差期权的价格仅取决于Tt的期望和分布。请注意，T在实际概率测度中是可观测的，根据示例2.2，在实际概率测度和风险中性概率测度下T的分布是一致的，因此我们可以很容易地从历史数据中获得T的分布和期望，然后获得协方差互换和协方差期权的价格。相关性交换和correlationoption的结果相似。4.2定价Quanto期权Quanto期权是一种著名的跨货币金融产品，在有组织的交易所以及场外交易中进行交易。其收益以一种货币计算，但以固定汇率以另一种货币结算。其目的是对冲将外国投资以本币进行的风险。因此，基础价格和汇率之间的相关性在定价中起着最终作用。通常，这种相关结构是由两个相关的布朗运动模拟的。在第2节中，我们已经证明了两个布朗运动的部分依赖性可以用公共分解中的T来描述。在下面的示例中，我们将展示T在欧式Quanto定价中的重要作用。示例4.2。考虑一下欧洲风格的Quanto。

假设在本币风险中性概率下，对外币基础权益S的价格和汇率R进行建模，如下所示：dSt=uStdt+σStdBt，dRt=uRtdt+σRtdWt，Quanto认沽期权的收益isRmax（K-St，0）。r，r分别表示本币和外币下的无风险利息。在本币世界的无套利假设下，任何贴现资产都应该是风险中性概率的鞅。因此，考虑外币的银行账户和股票账户，可以得到r=exp(-rt）E[膨胀（rt）rt]，（25）SR=膨胀(-rt）E【StRt】。（26）请注意，E【Rt】=Rexp（ut），E【StRt】=SRexp(u+ u-σ-σ） t型E[exp（σBt+σWt）]，在条件（C3）下，我们有E[exp（σBt+σWt）]=exp（σ+σ）tE经验值σσZtρudu.简单计算后，u=r-r、 u=r-u-tln E公司exp（σσZtρudu）.根据Van Emmerich（2006）和Teng等人（2016c），Quantos的价格isPQuanto=RKe公司-rtN公司(-d）-硒-（rt-rt+ln Ehexp（σσrtρudu）i）N(-d）,其中d=对数（S/K）+（r+σ/2）t-ln Ehexp（σσRtρudu）iσ√t、 d=d-σ√t、 请注意，ln Eexp（σσZtρudu）= ln E[exp（σσ（2Tt-t） ）]，那么Quantos的价格实际上是由Tt的拉普拉斯变换确定的，与例4.1类似，我们可以通过历史数据中t的分布来获得Tt的拉普拉斯变换。4.3定价2色彩虹期权在本节中，我们重点讨论一类多资产期权，即2色彩虹期权，该期权写在两种风险资产的最大值或最小值上。Margrabe（1978）和inStulz（1982）首次对这种期权进行了研究，作者展示了其在评估许多金融工具（如外币债券、期权债券、公司融资风险分担合同、担保债务等）时的广泛应用。在这一部分中，我们使用了与第4.1节相同的资产价格模型。

我们找到了不同彩虹选项价格的统一分析表达式。到期日为τ的彩虹期权的回报形式如表4所示（Ouwehand和West，2006）。我们将证明，所有这些类型的彩虹期权都可以通过统一的方法进行评估。表4:rainbow optionOption类型支付最佳资产或现金最大值（Sτ，Sτ，K）投入2和调用1最大值（Sτ-Sτ，0）调用max max（max（Sτ，Sτ）-K、 0）调用min max（min（Sτ，Sτ）-K、 0）施加最大最大值（K-max（Sτ，Sτ），0）置于min max（K）上-min（Sτ，Sτ），0）定义一个二维过程Mt=（XTt，YSt）>。与Carr和Wu（2004）研究的案例类似，表4中的支付额可以重新表示为（a+beθ>Mτ）1{c>Mτ≤k} {c>Mτ≤k} +（a+beθ>Mτ）1{c>Mτ≤k} {c>Mτ≥k} ，使用一些适当的参数ai、bi、ci、θi、ki、i=1、2和k。例如，考虑最大买入期权，其收益为max（max（Sτ，Sτ）- K、 0），参数为（i=1，2）ai=-K、 bi=Sie（r-σi）τ，θ=σσ, θ=σ-σ,ci=-θi，ki=-lnKbi，c=θ-θ、 k=lnbb。很容易检查{c>iMτ≤ ki}={Siτ≥ K} ，{c>Mτ≤ k} ={Sτ≥ Sτ}。现在，我们可以通过过程M为表4中的收益期权提供一种统一的估值方法。首先，对于给定的参数γ，γ∈ R、 γ，γ，γ∈ R、 一个中间赋值函数G:R→ R定义为asG（x，x；γ，γ，γ，γ，γ），EQh（γ+γeγ>Mτ）1{γ>Mτ≤x} {γ>Mτ≤x} i，（27）其中eq表示风险中性措施Q下的预期。很明显，arainbow期权的初始价格可以由G ase给出-rτhG（k，k；a，b，θ，c，c）+G（k，-ka、 b，θ，c，-c） i.（28）为简单起见，我们省略了参数γi，i=1，5、在函数表达式中没有混淆时。下面的命题给出了计算函数G的一般规则。命题4.1。假设X、Y和T相互独立。