相关布朗运动的公共分解及其金融性质

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英文标题：
《Common Decomposition of Correlated Brownian Motions and its Financial
  Applications》
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作者：
Tianyao Chen, Xue Cheng, Jingping Yang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper, we develop a theory of common decomposition for two correlated Brownian motions, in which, by using change of time method, the correlated Brownian motions are represented by a triplet of processes, $(X,Y,T)$, where $X$ and $Y$ are independent Brownian motions. We show the equivalent conditions for the triplet being independent. We discuss the connection and difference of the common decomposition with the local correlation model. Indicated by the discussion, we propose a new method for constructing correlated Brownian motions which performs very well in simulation. For applications, we use these very general results for pricing two-factor financial derivatives whose payoffs rely very much on the correlations of underlyings. And in addition, with the help of numerical method, we also make a discussion of the pricing deviation when substituting a constant correlation model for a general one.
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中文摘要：
本文发展了两个相关布朗运动的公共分解理论，其中，利用时间变换方法，相关布朗运动用三重过程$（X，Y，T）$表示，其中$X$和$Y$是独立的布朗运动。我们给出了三重态独立的等价条件。讨论了公共分解与局部相关模型的联系和区别。讨论表明，我们提出了一种构造相关布朗运动的新方法，该方法在模拟中表现良好。在应用中，我们使用这些非常普遍的结果为双因素金融衍生品定价，其收益在很大程度上依赖于基础的相关性。此外，借助数值方法，我们还讨论了用常相关模型代替一般模型时的定价偏差。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Common_Decomposition_of_Correlated_Brownian_Motions_and_its_Financial_Applications.pdf (877.65 KB)

2022-6-24 07:48:32 上传

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关键词：布朗运动 Applications Mathematical Constructing correlations

关联布朗运动的公共分解及其金融应用陈天耀，薛成，杨景平，2020年11月10日摘要本文发展了两个关联布朗运动的公共分解理论，其中，利用时间变化方法，关联布朗运动由三个过程（X，Y，T）表示，其中X和Y是独立的布朗运动。我们给出了三重态独立的等价条件。我们讨论了公共分解与局部相关模型的联系和区别。讨论表明，我们提出了一种构造相关布朗运动的新方法，该方法在模拟中表现良好。在应用中，我们使用这些非常普遍的结果为双因素金融衍生品定价，其收益在很大程度上依赖于基础的相关性。此外，借助数值方法，我们还讨论了用常相关模型代替一般模型时的定价偏差。1简介资产之间的相关性在融资中起着重要作用。每当我们遇到涉及两个随机因素的问题时，相关风险是不可避免的。问题可能来自资产配置、对价交易、风险管理以及多资产衍生品定价等领域。在金融衍生品的定价中，有很多机会遇到处理两个随机因素的情况。例如，在随机波动率模型中，风险价格和随机波动率是两个因素；在跨货币衍生品中，两种货币的演变是由不同的随机因素驱动的；在双资产或多资产衍生产品中，价格变动可由两个随机过程等建模。

一般来说，在金融建模中有两种方法可以诱导资产之间的依赖关系，一种是通过copula，另一种是在SDE模型中，通过假设驱动模型的过程的相关结构。因此，通过两个布朗运动对随机因素进行建模是一种常用的方法，参见Heston（1993）、Dai等人（2004）和Hurdan Zhou（2010）。在大多数情况下，从实际角度来看，这两个随机因素（因此这两个布朗运动）应该相互关联。由于布朗运动是最常用的驱动过程，源于巴赫尔，布朗运动之间的相关性在后者中至关重要。为了表述相关的布朗运动，许多模型采用了恒定的局部相关假设，即对于布朗运动B和W以及恒定的ρ∈ R、 然而，越来越多的实证研究证明，金融因素之间的依赖性随着时间的推移而变化，并取决于经济状况，例如，Bahmani Oskooee和Saha（2015）针对交叉货币衍生品，Engle和Sheppard（2001）针对多资产，Benhamou et al.（2010）针对随机波动率模型。其他经验证据如下，Chiang等人（2007）发现，危机后的美国市场、Syllignakis和Kouretas（2011）以及Junior和Franca（2012）之间的相关性显著增加，在欧洲和全球市场上得到了类似的结果，Xiong et al.（2018）发现了中国政策指数与股票回报之间的时变相关性，Balcilar et al.（2018）发现了油价与南部非洲通货膨胀之间的动态相关性。可能出于这个原因，近年来有越来越多的文献将动态局部相关性应用于金融问题。

由于局部相关性的值，即上面引入的ρ，必须在[-1，1]，这些文献选择了各种技术来确保这一点。Osajima（2007）和Fern'andez et al.（2013）将ρ建模为SABR模型时间t的有界确定性函数，而Teng et al.（2015）在几何布朗运动模型中采用了相同的思想，并将其应用于Quanto期权的定价。注意，在这些模型中，ρ是动态的，但不是随机的。对于随机ρ，Van Emmerich（2006）、Langnau（2010）、Teng et al.（2016c）和Carr（2017）将ρ表示为一些随机状态过程的有界函数，并将其应用于衍生品定价问题。一些文献直接用有界随机过程建模ρ。例如，有界Jacobi过程是一种由布朗运动驱动的有界扩散过程，被引入到ρ模型中，用于期权定价和资产管理，包括香草期权（Teng et al.，2016b）、相关性掉期（Meissner，2016）、Quanto（Ma，2009a）和多资产期权（Ma，2009b），以及投资组合选择和风险管理（Buraschi et al.，2010）。Hull等人（2010）将局部相关性建模为一个阶跃过程，其中每个阶跃都是贝塔分布随机变量。M'arkus和Kumar（2019）对几种随机局部相关模型进行了比较。此外，制度转换模型是一种广泛使用的金融模型，其中包括ρ在内的所有参数都可以由一个共同的连续时间有限状态平稳马尔可夫过程驱动，从而提供了另一种建模随机局部相关性的方法，例如Zhou和Yin（2003）。Wishart过程可以直接建立随机协方差，由协方差矩阵得到的局部相关性也是随机的。Da Fonseca等人。

（2007）讨论了多资产期权定价的Wishart过程，发现在最大型期权上存在相关杠杆影响。Double-Heston模型还允许资产和随机波动率之间存在一种特殊的局部相关性，详情请参见Costabile et al.（2012）和Christoffersen et al.（2009）。除了相关布朗运动外，还有其他方法来构造相关随机过程。Wang（2009）通过具有常数相关化合物的布朗运动获得了相关方差gamma过程。Mendoza Arriaga和Linetsky（2016）以及Barndorff Nielsen et al.（2001）通过具有相依L'evy从属项的独立背景随机过程描述了相关随机过程。Ballotta和Bon figlioli（2016）提出了利维过程的因子模型，每项资产都由一个系统组件和一个特定组件控制。本文的重点是提出一种新的方法，我们称之为公共分解，用于一般相关布朗运动依赖结构的表述和分析。通过引入时变过程，两个相关的布朗运动可以分解为两个独立的布朗运动，其中两个独立的布朗运动描述了原始两个相关布朗运动的共同运动和反运动。因此，两个原始布朗运动依赖结构的关键是时间变化过程。与局部相关性相比，公共分解的一个重要优点是可以观察到时间变化过程，而局部相关性通常是不可观察的。时间变化是一种构建随机过程的成熟技术（Barndorff-Nielsen和Shiryaev，2015），广泛应用于数学金融（Carr et al.，2003；Geman et al.，2001b）。

然而，据我们所知，很少有人将时变技术应用于相关布朗运动的建模。有趣的是，我们发现常见的分解是在适当条件下改变度量后的不变性。相反，我们也考虑如何通过公共分解构造相关的布朗运动。与局部相关模型的Euler-Maruyama方法（Kloeden和Platen，2013）相比，我们发现普通分解方法可以更快地模拟相关的布朗运动。在某些条件下，常用的分解方法不存在局部相关模型的Euler-Maruyama方法所不可能存在的模拟误差。在构造相关布朗运动后，我们将我们的方法应用于金融衍生品定价，如量子、协方差和相关掉期、2资产期权等。对于2资产期权，很难直接获得闭合形式，因此我们提供了基于傅立叶变换的解析解。期权定价中的傅立叶变换方法由Carr和Madan（1999b）提出，最近的论文研究了傅立叶变换方法对多资产期权进行定价，例如Hurd和Zhou（2010）对价差期权，Wang（2009）对rainbow期权，Leentvaar和Oosterlee（2008）对多资产期权给出了一种无显式表达式的数值方法。通过Fourier方法，我们找到了2资产期权价格的统一分析易处理表达式。通过数值实验研究了2资产期权的常相关模型和随机相关模型之间的定价误差。数值结果表明，对于大多数非货币期权，恒相关模型表现不佳，而恒相关模型在货币期权和非货币期权中表现良好。本文的组织结构如下。

在第2节中，我们给出了公共分解的定义，并讨论了公共分解得到的随机过程的独立性。此外，我们还考虑了常用分解方法与局部相关模型之间的关系。在第3节中，我们提供了构造相关布朗运动的充分条件，并比较了公共分解和传统方法之间的模拟效率。第4节给出了衍生产品定价的金融应用。数值结果见第5节。本文的证明在第6.2节两个相关布朗运动的公共分解中给出。在这一节中，我们考虑了称为两个相关布朗运动的公共分解的新方法。首先，我们提出了两个相关布朗运动的公共分解的定义，并给出了一些符号。其次，我们研究了由公共分解得到的随机过程的分布和独立性。最后，我们研究了两个相关布朗运动的公共分解和局部相关之间的联系。在金融市场中，如果观察资产价格的时间间隔趋于0，则观察资产价格的已实现方差趋于资产价格的二次方差。

注意，连续局部鞅的二次变分[·，·]与可预测的二次变分h·，·i相同（Revuz和Yor，2013，ChapterIV，定理1.8），本文涉及的随机过程都是连续局部鞅，因此如果没有混淆，我们将h·，·i替换为[·，·]。2.1完整概率空间公共分解的定义(Ohm, F、 P），我们考虑了两个相关的布朗运动，{Bt}t≥0和{Wt}t≥0，关于相同过滤F={Ft}t≥假设0满足通常条件。定义，t+[B，W]t，St，t-[B，W]t，（1）其中[B，W]t表示B和W的交叉变化。注意，B和W是布朗运动，因此[B，B]t=[W，W]t=t。因此[B+W，B+W]t=（[B，B]t+[W，W]t+2[B，W]t）=Tt，这意味着t是B+W的二次变化。同样，S是B的二次变化-W、 通过直接计算，当s<t时-t+s=-[B，B]t-[W，W]t+[B，B]s+[W，W]s≤[B，W]t-[黑白]s≤[B，B]t+[W，W]t-[B，B]s-[宽，宽]s=t- s、 （2）hence0≤ Tt- Ts≤ t型- s、 0个≤ St公司-不锈钢≤ t型- s、 （3）因此，Tt和Stare递增过程的Tt+St=t，因此它们对于t都是绝对连续的。然后根据Radon-Nikodym定理，Tt和Stare对于t是可导的。示例2.1。如果B和W的相关系数ρ为常数，即，[B，W]t=ρt，则Tt=1+ρt，St=1-ρt.特别是，当B和W完全正相关时，则[B，W]t=t，Tt=t和St=0当B和W完全负相关时，[B，W]t=-t、 Tt=0，St=t；o当B和W彼此独立时，则Tt=St=t。我们将在第2.3节中解释，t和S可被视为特殊的“计时器”，用特殊的相关信息记录时间。接下来，设τt=inf{u:Tu>t}，t=inf{u:Su>t}，t型≥ 0

（4） 根据定义，{τt}t≥0和{t}t≥0是过滤F的时间变化，相反，T是{FτT}T的时间变化≥0和S是{Ft}t的时间变化≥0、当τt<∞ 和t<∞ 对于任何t>0的情况，本文中所谓的公共分解可以通过时间变化的过程进行。LetXt，Bτt+Wτt，Yt，Bt-Wt.（5）如果τTt=t，则根据（5）可以明显看出XTt=Bt+wt。如果t<τTt<∞, 对于任何u∈ [t，τTt]，我们通过t的连续性和τ的定义得到了Tu=Tt。注意，T是B+W的二次变化，henceBu+Wu=任何u的Bt+Wt∈ 【t，τTt】根据Revuz和Yor（2013）。因此，XTt=BτTt+WτTt=Bt+Wt。如果St<∞, 通过类似的方法，我们得到了YSt=Bt-总而言之，如果τTt<∞ 和St<∞, 我们有BT=XTt+YSt，Wt=XTt-YSt公司。（6） 因此，我们通过三个新定义的过程X、Y和T获得了（B、W）的表示（它总是要求St=T- Tt）。我们称（6）为（B，W）的公共分解，公共分解的三元组用（X，Y，T）表示。请注意，常见分解的概念是由Chen等人（2018）首先提出的。时间变化C是一个家族Cs，s≥ 0的停止时间，使地图→ Csare a.s.增加和右连续（Revuz和Yor（2013），第五章，定义1.2）。对于相关随机游动。在这篇文章中，我们关注相关布朗运动中的常见分解。给定ω∈ Ohm,T∞（ω） ，李木→∞Tu（ω），S∞（ω） ，李木→∞Su（ω）。每当T∞（ω） 是有限的，对于t，Xt（ω）没有很好的定义≥ T∞(ω). 例如，如果B和W是完全负相关的，那么[B，W]t=-t、 对于任何t，Tt=0≥ 0，且τt=∞. S和Y也是如此。为了克服这一限制，我们采用了与Revuz和Yor（2013年，第五章）相似的方法来修改X和Y的定义。

我们假设概率空间(Ohm, F、 P）足够丰富以支持独立于已知布朗运动和F的布朗运动∞.Revuz和Yor（2013年，第五章，提案1.8），X∞, 限制→∞Bt+WT存在于{T∞< ∞}; 类似地，Y∞,限制→∞英国电信-WT存在于{S∞< ∞}. 假设{Xt，~Yt}t≥0是独立于f的二维布朗运动∞. 我们修改了{Xt}t的定义≥0和{Yt}t≥0如下：X（t，τt），（Bτt+Wτt，如果t<t∞十、∞+Xt-T∞, 如果t≥ T∞, Y（t，t），（Bt-Wt，如果t<S∞Y∞+年初至今-S∞, 如果t≥ S∞. （7） 在下文中，当没有混淆时，X（t，τt）和Y（t，t）将缩写为Xtand yt。如果Tt<T∞,注意{Tt<T∞} = {τTt<∞}, 因此，我们从前面的讨论中得到了XTt=BτTt+WτTt=Bt+wt；ifTt=T∞, 因为T是b+W的二次变化量，所以我们得到了XTt=X∞=Bt+WT根据（7）和Revuz和Yor（2013年，第四章，提案1.13）。因为Tt≤ T∞对于任何t≥ 0，对于任何t，我们有XTt=Bt+WT≥ 通过类似的证明，我们得到了YSt=Bt-WT适用于任何t≥ 因此，在修改了X和Y的定义后，通用分解（6）适用于任何t≥ 0、备注2.1。（~X，~Y）的选择只能影响（X，Y）的定义，但对B和W的分解没有影响。更具体地说t型≥ 0，如果Tt<T∞, 根据定义，xtdo不依赖于X；如果Tt=T∞, thenXTt=XT∞= 十、∞, 也不依赖于▄X。对于Y也是如此。在下面的例子中，假设（X，Y，T）和（X，Y，T）都满足（6），那么tt=[XT，XT]T=[B+W，B+W]T=[XT，XT]T=Tta。s、 ，这意味着T在几乎确定的意义上是唯一的。因此，根据τ的定义，如果τt<∞,Xt=Bτt+Wτt=Xt，a.s。。注意{τt<∞} = {T∞> t} ，表示X在区间[0，t]中是唯一的∞). 类似地，Y在[0，S]中是唯一的∞).