相关布朗运动的公共分解及其金融性质

在公共分解（6）中，X和Y仅与时间间隔[0，T]中的值相关∞)和[0，S∞) 因此，公共分解是唯一的。为了方便起见，我们在这里引入了一些符号：oFXt：随机过程的自然过滤{Xt}t≥0.oA⊥ B | C:A和B在给定C时是条件独立的。值得注意的是，FTt=σ（Tu:u≤ t） =σ（Su:u≤ t） =FSt。2.2公共分解的主要理论在上一节中，我们介绍了所谓的布朗运动B和W的公共分解（X，Y，T）。在这一部分中，我们给出了分解的一些基本性质。证据见第6节。我们的第一个结果说明了X、Y的分布和T的路径性质。定理2.1。给定布朗运动{Bt}t≥0和{Wt}t≥0关于F，其常见分解表示为das（X，Y，T），以下语句适用。（i） {Xt}t≥0是过滤{Fτt}t的布朗运动≥0，{Yt}t≥0是过滤{Ft}t的布朗运动≥0，X安迪是独立的；（ii）{[B，W]t}t≥0相对于t可导，且tt=t+Rtρudu，St=t-Rtρudu，其中ρt，d[B，W]tdt。（8） 在（8）中，ρ被称为B和W的局部相关过程。关于局部相关和公共分解的进一步讨论见第2.3节。根据定理2.1，公共分解将B（resp.W）表示为两次变化布朗运动的和（resp.difference）。B和W的依赖结构体现在T以及T和两个新定义的布朗运动X和Y之间的依赖关系中。因此，为了清晰和方便，X、Y和T的独立性值得研究。在下面的定理中，给出了它们相互独立的充分必要条件。定理2.2。

在定理2.1中的条件和符号下，公共分解三元组X、Y和T是相互独立的当且仅当：（C1）FB∞⊥ 英尺∞|FB、WT和FW∞⊥ 英尺∞|FB，Wt。作为理解条件的示例，当B和W具有常数相关性时，例如，ρ，（C1）是满足的，因为Tt=1+ρt和FT∞是一个平凡的σ-代数。更一般的情况将在后面讨论。上述两个定理对公共分解给出了更直观的解释。在两个布朗运动的运动过程中，有时它们的运动似乎正相关，有时则相反。这些“共同的”或“相反的”移动时间被挑选出来，形成新的“时钟”t或St，它们的转数根据新的时钟进行分解。根据定理2.1，在新时钟下，它们保持其布朗运动特征，并且这些特征在两个时钟下是独立的。从而分离出原始相关布朗运动的依赖结构和布朗特征。根据定理2.2，如果它们满足条件（C1），则它们的依赖信息只包含在T中，分解是非常完整和清晰的。在这种情况下，如果我们想研究两个相关布朗运动的依赖结构，我们可以关注公共分解中的过程T。下面的命题从另一个方面给出了（C1）的等价条件。提案2.1。假设定理2.1中的假设成立。那么条件（C1）与下面的语句等价。（C2）给定两个过程{φt}t≥0和{φt}t≥0，可通过{FTt}t逐步测量≥0和满意度经验值Zt（φu）dTu+Zt（φu）dSu< ∞, t。

（9） LetDφt，expZtφUdxut+ZtφudYSu-Zt（φu）dTu-Zt（φu）dSu, t型≥ 0，则Dφ是一个鞅，dqdp | Ft=DφT定义了一个概率度量，使得（XφT，YφS）Qd=（XT，YS）P，（10），其中XφTt=XTt-RtφudTu，YφSt=YSt-RtφudSu。这个命题将分解三元组的独立性与类似于Girsanov定理的条件联系起来。毫无疑问，考虑其在金融建模中的应用可能会引起我们的注意。示例2.2。在金融模型中，Girsanov变换通常用于改变建模价格的扩散漂移部分。考虑两个漂移布朗运动，Ztθudu+Bt，Ztθudu+Wt，其中θi，i=1，2有界，可通过{FTt}t逐步测量≥根据定理2.1，B和W可以分解为（X，Y，T）。因此，两个漂移布朗运动可以表示为Ztθudu+XTt+YSt，Ztθudu+XTt-YSt公司。设λ和u表示T和S的密度，λT，dTtdt，uT，dStdt，并假设inf{λT（ω），uT（ω）| T≥ 0, ω ∈ Ohm} > 那么φ=（φ，φ）满足（9），其中φt=θt+θt2λt，φt=θt-θt2ut。如果（B，W）满足条件（C1），则从命题2.1，两个漂移布朗运动可以转换为Ztθudu+Bt=XφTt+YφSt：=Bφt，Ztθudu+Wt=XφTt-YφSt：=Wφt.（11）在命题2.1中定义的概率Q下，值得注意的是，通过（10），（B，W）Pd=（Bφ，Wφ）Q，（12），因此漂移部分在概率测度改变后消失。考虑（Bφ，Wφ）的公共分解，表示为（Xφ，Yφ，Tφ）。从（11）中，我们得到了T=TφT，t型≥ 0。（13）此外，从（10）我们有（{Tt}t≥0）Pd=（{Tt}t≥0）问题（14）备注2.2。方程（13）和（14）揭示了T在测度变化下的不变性。

从应用的角度来看，这意味着在改变数值后的财务建模中，常用的分解方法仍然有效。从实证角度来看，我们可以从真实概率测度估计参数，并直接应用于风险中性测度。例如，Ballotta和Bon figlioli（2016）将根据观察到的资产价格（真实概率测度）估计的相关矩阵直接引入期权定价模型（风险中性概率测度），我们展示了成功的理论基础。这对于缺乏公共数据的衍生品定价非常方便。这也表明，通过改变测度，我们可以简化两个具有漂移的相关布朗运动，并保持原过程的依赖结构。2.3公共分解和局部相关模型在本节中，我们通过局部相关过程对公共分解进行了新的研究。我们考虑了常用分解方法和局部相关模型之间的区别和联系。与之前一样，可以在第6.2.3.1节常见分解和局部相关模型之间的关系中找到证明。首先，让我们回顾一种使用广泛的分解方法，该方法将相关布朗运动表示为基于ρ的独立布朗运动的线性组合。假设Z是独立于F的布朗运动∞然后我们定义Zt，Zt{ρu6=±1}p1- ρu（dWu-ρudBu）+Zt{ρu=±1}dZu。（15） 特别是，如果t、 ρt6=±1，a.s.，然后zt=Ztp1- ρudWu-Ztρup1- ρudBu。验证[B，Z]t=0并不困难，t型≥ 0，因此{Zt}t≥0是独立于{Bt}t的布朗运动≥0，Z和W的局部相关性为q1- ρt。通过定义Zt，我们得到了基于局部相关性的分解（B，W），（Bt，Wt）=（Bt，ZtρsdBs+Ztq1- ρsdZs）。

（16） 如果我们从方程的右侧开始，即从独立的布朗运动B，Z和局部相关过程ρ开始，我们就得到了构造相关布朗运动（B，W）的常用模型。作为比较，通过本文中的常见分解，（B，W）具有表示（Bt，Wt）=（XTt+YSt，XTt-YSt）。类似地，如果我们从右侧开始，即从独立的布朗运动X，Y和时间变化过程t开始，并进行构造，那么（B，W）在某些条件下是相关的布朗运动。很明显，Z的第二部分定义得很好。考虑第一部分{ρu6=±1}√1.-ρu（dWu- ρudBu），let Mt，Wt-RtρudBu，[M]t=t+Rtρudu- 2Rtρud[B，W]u=Rt（1- ρu）du。对于任何0<t<∞ ,Rt{ρu6=±1}1-ρud【M】u≤Rtdu=t<∞, 这意味着第一部分也很明确。通过该程序，我们可以得到一种新的施工方法（B，W）。我们将在第3节进一步讨论相关布朗运动的这种新构造方法。备注2.3。从上面的比较中可以看出，这两种方法背后的不同观点很清楚：局部相关方法从空间角度描述布朗运动的依赖性，而普通分解方法从时间角度描述布朗运动的依赖性。ρt表征了时间t时B和W之间的相关性，但tt表征了时间段[0，t]内的相关性。也就是说，ρt表示局部相关性，但tt表示整个时间段内的相关性[0，t]。下一个命题给出了基于局部相关性的分解和公共分解之间的联系。在考虑完全独立分解时，这两种方法具有相同的等价条件。提案2.2。

在定理2.1所述的条件下，X、Y和T相互独立当且仅当下列条件成立：（C3）局部相关模型（16）中的ρ、B和Z相互独立。备注2.4。假设{Mt}t≥0，{Nt}t≥0是关于Ftand[M，M]t=[N，N]t的两个连续局部鞅，t、 那么定理2.1可以直接推广，其中tt=[M，M]t+[M，N]t，St=[M，M]t-【M，N】t和Xt，Y的定义与第2.1节类似。定理2.2和命题2.1仍然有效，如果我们在条件（C1）和（C2）中用FT代替FT。此外，如果[M，M]t=[N，N]相对于t是绝对连续的，那么根据马丁格尔表示定理，我们可以将（Mt，Nt）重写为（Mt，Nt）=（ZtθudBu，ZtξudBu+ZtηudZu），其中B和Z是两个独立的布朗运动，θu≥ 0，ηu≥ 0, u、 很明显，FT，S=Fθ，ξ，η。因此，如果ρ替换为FT，S，命题2.2仍然正确∞在条件（C3）下。特别是{Xt}t的等价条件≥0，{Yt}t≥0和{Tt}t≥0在一维情况下是相互独立的，即Ocone鞅，如Kallsen（2006）和Vostrikova和Yor（2000）所示，是Mt=Nt的特例。Oconemartingale已广泛应用于金融数学，如Carr et al.（2005）和Geman et al.（2001a）。2.3.2关于T和ρ的进一步讨论从设置中，我们可以看到T在公共分解中起着重要作用。因为X和Y是独立的，所以T与公共分解三元组中（B，W）的依赖结构相关。特别是，在X、Y和T相互独立的完全分解的情况下，T包含所有依赖信息。另一方面，如果我们将T视为一个特殊的计时器，一个“时钟”，很明显，这个时钟的运动受到（B，W）的相关性的影响。

在本节中，我们通过ρ进一步讨论T，以更好地理解公共分解。首先，根据定理2.1，（T，S）和ρ的连接如下：Tt=Zt1+ρudu，St=Zt1- ρudu，在布朗运动情况下，FT=FT，Sin，其中，1+ρ实际上是局部相关ρtand之间的距离-1, 1 - ρ是ρtand+1之间的距离，分母2是-1和+1。因此，可将被积函数视为（B，W）相关性偏离完全相关性的归一化。例如，图1显示了ρ的路径，其中阴影部分表示S，光部分表示T。请考虑ρ始终接近1且远离-1，则“时钟T”的运行速度比S快，“时钟T”侧重于正相关。图1：局部相关路径ρ考虑T和S的值，在任何时间T，它们满足ytt+St=T，Tt-St=Ztρudu。也就是说，两个时钟的读数之和表示日历时间，而它们之间的差值表示（B，W）到时间t的累积相关性。平均相关系数过程定义为？ρt=tZtρudu，（17），也可以用t和S表示，？ρt=Tt-Stt=Tt-T和ρ之间的另一个主要区别是可观测性。T总是可以通过二次协变量观察到，而ρ通常是不可观察的。在统计学中，我们只能估计一段时间内的相关系数，也就是说，统计中ρ的估计实际上是ρ，而不是ρ本身。因此，如果局部相关性是动态的，统计学可以帮助我们更好地研究T。考虑双因素衍生产品的金融定价。当这两个因素的局部相关性随时间随机变化时，总是很难获得期权价格。

在这种情况下，平均相关系数过程（ρ）通常起着重要作用。例如，外国股权期权的价格是由马（2009a）中的ρ矩近似得出的，Van Emmerich（2006）和Teng等人（2016c）表明Quanto的价格是由ρ的拉普拉斯变换确定的。在我们的方法中，(R)ρt=2Ttt-1，这是表明在财务建模中使用常见分解方法的优势的原因之一。我们将在第4节中进一步讨论这一点。在下一部分中，我们将使用一个简单的示例来揭示上述概念。示例2.3。假设B和W是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1, 1). 然后通过局部相关法，（Bt，Wt）=（Bt，ρBt+q1- ρZt），其中Z已在（15）中定义。在这种情况下，命题2.2中的条件是满足的，因此公共分解三元组X、Y和T的过程是相互独立的。它们可以精确计算，Tt=1+ρt，St=1- ρt，Xt=B1+ρt+W1+ρt，Yt=B1-ρt-W1级-ρt，且（B，W）的分解为（Bt，Wt）=（X1+ρt+Y1-ρt，X1+ρt-Y1级-ρt）。在本例中，我们总结了以下三条语句。（i） T和S符合任何时间段中“日历时间”的分解。它们由根据（B，W）的相关结构挑选出的特殊“时间点”组成。它们可以被视为只在特定时间移动的特殊时钟。（ii）如果ρ>0，则时钟T的运行速度快于时钟S，反之亦然。（iii）考虑C={αB+（1）- α） W |α∈ R} ，B和W的广义凸组合族。C中每两个过程与参数α和β的相关系数为ρα，β=（1- ρ)[(2α -1)β - α] + 1.如果α=，ρα，β=ρ+1>0，β ∈ R、 否则，我们有ρα，β≤ 如果α>β，则为0≤ (α -1.-ρ)/(2α -1） 或α<，β≥ (α -1.-ρ)/(2α - 1).

换句话说，B+WI是C中唯一与C中任何其他进程严格正相关的进程。请注意，该进程实际上是时钟T下的X，因此X代表B和W中的常见结构。类似地，Y表示B和中的公共结构-W、 也就是说，X和Y是两个极端情况，它们是通过公共分解从B和W中提取的。事实上，集合C的背景来自一个财务示例。假设B和W代表两种资产的收益，那么αB+（1- α） W代表这两项资产的投资组合回报。α<0或α>1表示资产卖空。备注2.5。实际上，如果B和W的局部相关性不是常数，那么示例2.3中的三个语句仍然有效。对于（i）和（ii），结果保持不变。对于（iii），我们可以证明cov（αBt+（1- α） 重量，βBt+（1- β） Wt）=（1- Corr（Bt，Wt））[（2α-1)β - α] +1，其中Cov和Corr分别表示协方差和相关性。通过类似的讨论，B+Wis是唯一一个与B和W的任何凸组合严格正相关的过程inC。2.4通过离散化的公共分解说明上一节中的示例演示了公共分解中的过程是什么样子，以及当ρT≡ ρ ∈ (0, 1). 在本节中，通过离散ρ，从分布角度对一般情况进行类似分析。在这一部分中，我们还从两个具有局部相关过程ρ的相关布朗运动B和W开始，并遵循前面章节中定义的所有其他符号。给定t≥ 0，设∏是[0，t]的一个分区：0=t<t<t<····<tn=t，写|∏| |=max{ti-ti公司-1： i=1，n} 。

给定ρ，用于ω ∈ Ohm, 呼吸∏（ω）=n-1[i=0（ti，ti+1+ρti（ω））ti]。注意，通过A∏的构造，随机过程{1{u∈A∏}}0≤u≤tand{1{u/∈A∏}}0≤u≤皮重可预测。设置▄X∏s，Zs{u∈A∏}dBu、~Y∏s、Zs{u/∈A∏}dBu，s∈ [0，t]，即▄X∏与A∏中的B保持一致，并在其他时间保持静止，而▄Y∏则相反。设▄W∏s，▄X∏s-Y∏s=Zs{u∈A∏}dBu-Zs{u/∈A∏}dBu。（18） 那么∧W∏是一个布朗运动，在a∏中与B共同运动，在[0，t]\\a∏中与B相反。和▄X∏和▄Y∏表示B和▄W∏的共同运动和反向运动。在任何时候s≤ t、 时间周期[0，s]分为两部分：共同运动周期A∏t[0，s]和相对运动周期[0，s]\\A∏，其总长度可分别计算为（假设ti<s≤ ti+1）~T∏s（ω），m[0，s]∩ A∏（ω）=ti公司+∑ik=0ρtk（ω） 塔卡+米（ti，s）∩ A∏（ω）,~S∏S（ω），m[0，s]\\A∏（ω）=ti公司-∑ik=0ρtk（ω） 塔卡+米（ti，s]\\A∏（ω）,其中m（·）表示R上的勒贝格测度。显然，lim |∏||→0T∏s=s+Rsρudu=Ts，lim |∏||→0S∏S=S-Rsρudu=Ss，s∈ [0，t]。（19） 以下命题考虑了分布中▄W∏的极限性质。提案2.3。假设模型设置中的假设和命题2.2中的条件成立。对于任何给定的0≤u<u<···<英国<∞, 0≤ v<v<···<vL<∞, 同于| |∏| |→ 0，我们有（Bu，Bu，…，BuK，～W∏v，～W∏v，～W∏vL）d-→ （Bu，Bu，…，BuK，Wv，Wv，…，WvL）。A∏（ω）的选择不是唯一的。A∏（ω）可以是任何Borel集，只要mA∏（ω）∩（ti，ti+1）=1+ρti（ω）ti，i、 其中m（·）表示R上的Lebesgue测度。命题2.3保证as | |∏| |→ 0，则（B，~W∏）的任何有限维分布在分布意义上收敛于（B，W）。为简单起见，我们用“f”表示过程的有限维分布收敛。d、 d。---→”. 因此，（B，~W∏）f。d、 d。---→ （B，W），因此，（▄X∏，▄Y∏）=（B+▄W∏，B-W∏）f。d、 d。----→||Π||→0（XT，YS）。