相关布朗运动的公共分解及其金融性质

设G（x，x），（x，x）∈ Rbe如（27）所示，Lt表示Tt的拉普拉斯变换。那么Mτ的特征函数如下所示，ΦMτ（z，z）=e-τzLτ(-（z）-z） ）。（29）此外，G（x，x）的广义傅立叶变换表示为^G（λ，λ），表示为^G（λ，λ）=-γλλΦMτ（λγ+λγ）-γλλΦMτ（λγ+λγ-iγ），（30），其中Imλ，Imλ>0。特别是，如果ρt=ρ是常数，则Lt（z）=exp（1+ρtz）和^G（λ，λ）可从（29）和（30）中获得。给定命题4.1，可以通过反演公式和数值方法计算函数G（x，x；γ，γ，γ，γ），然后从（28）中得出彩虹期权的价格。备注4.1。对于无法像以前那样表示收益的一般情况，建议4.1不可用。但我们仍然可以将傅里叶变换方法直接应用于定价泛函。对于给定参数（S，τ，r，σ，σ），将期权收益改写为V（y+Bτ，y+Wτ），其中yi=（rσi-σi）τ，i=1，2。用f（b，w）表示Q下bτ和wτ的联合概率密度，那么V（y+bτ，y+wτ）的价格isC（y，y）=Z∞-∞Z∞-∞V（y+b，y+w）f（b，w）dbdw。根据Leentvaar和Oosterlee（2008），C（y，y）的傅里叶变换为^C（λ，λ）=Z∞-∞Z∞-∞Z∞-∞Z∞-∞eiλy+iλyV（y+b，y+w）f（b，w）dbdwdydy=^V（λ，λ）方程-iλBτ-iλWτi，其中^V表示V的傅里叶变换。通常，^V没有显式表达式，因此通常通过数值计算。当B和W的相关系数为常数时，公式e-iλBτ-iλWτ可以显式计算，公式-iλBτ-iλWτi=exp-(λ+ λ+ 2ρλλ)τ.在这种情况下，Leentvaar和Oosterlee（2008）提出了一种计算^V的数值方法。当B和W的相关系数不是常数时，我们仍然可以通过公共分解使用Leentvaar和Oosterlee（2008）中的类似方法。

继续使用之前的概念，我们有-iλBτ-iλWτi=ΦMτ(-λ-λ, -λ+λ）=e-(λ-λ） τLτ(-2λλ).因此，^C（λ，λ）=^V（λ，λ）e-(λ-λ） τLτ(-2λλ). （31）因此，当TTI的拉普拉斯变换LTO已知时，可通过傅立叶逆变换公式获得价格。在前面的讨论中，我们考虑了如何计算彩虹期权的价格。实际上，按照命题4.1中概述的类似方法，我们可以给出计算希腊语的傅立叶变换方法。下一个推论给出了这方面的一个例子。推论4.1。考虑表4所列最大买入期权的稳定部队增量，其表示为（S） 。经过计算，我们有（S） =秒Gx（k，k；a，b，θ，c，c）+Gx（k，k；a，b，θ，c，c）-Gx（k，-ka、 b，θ，c，-c）+ e（r-σ)τGγ（k，k；a，b，θ，c，c）：=g（k，k）+g（k，-k） ，其中g（k，k）=S(Gx个+Gx） +e（r-σ)τGγ!（k，k；a，b，θ，c，c），g（k，-k）=-SGx！（k，-ka、 b，θ，c，-c） 。ghas的Fourier变换是一个显式表达式asiaS（λ+λ）ΦMτ（λc+λc）+（ibSλ-e（r-σ） τλ）ΦMτ（λc+λc- iθ）和gis的傅里叶变换表达式-iaSλΦMτ（λc-λc）-ibSλΦMτ（λc-λc- iθ）。（S） 可以通过傅里叶逆变换公式得到。其他希腊人也可以按照同样的程序推导出来。从本节前面的内容中，我们知道，由于采用了常见的分解方法，为了计算彩虹期权的价格和价格，我们只需要找出Tt的拉普拉斯变换。我们在以下示例中考虑了TTI的一些特定模型，以给读者提供更直观的见解。示例4.3。考虑例3.1中给出的状态切换模型，由Buf fington和Elliott（2002）中的引理A.1得出，TtisLt（z）=Ezettt=1>e（A+zdiagα）tQ的拉普拉斯变换，其中diagα=α0 ··· 00 α··· 0............0 0···αn, A=（aij）n×nis Qt的发生器。然后，通过命题4.1，我们可以从Lt（z）得到期权价格。

例如，如果选项样式为调用最大值，则^G（λ，λ；a，b，θ，c，c）=Kλλe-(λσ-λσ）τ>e（A-2λλσσdiagα）τQ-Sλλe（r-σ-（λσ+iσ-λσ）τ>e（A-2（λ+i）λσσdiagα）τQ。在下一个例子中，{Tt}t≥0通过一些随机过程的有界函数和PDE给出的TTI的拉普拉斯变换进行特定建模。示例4.4。假设f是一个值为（0，1）的有界函数，而ν是一个满足以下条件的扩散过程：νt=u（t，νt）dt+σ（t，νt）dZt，其中{Zt}t≥0是布朗运动，u（t，x），σ（t，x）是确定函数，因此SDE具有唯一解。设Tt=Rtf（νs）ds。利用费曼-卡克公式，给出了Tt的拉普拉斯变换-对于条件νs下的固定t，用L（s，νs；t，z）表示，满足以下PDE：Ls+u（t，ν）Lν+σ（t，ν）Lν+z f（ν）L=0，（32），终端条件L（t，νt；t，z）=1。（32）的解与Sturm-Liouville问题有关，详情请参见Polyanin（2002）1.8.6.5和1.8.9。特别是，Teng等人（2016a）考虑的随机相关模型等效于特例f（x）=1+tanh（x）。Ma（2009a）中讨论的模型等价于f（x）=1+x，ν是有界的Jacobi过程dνt=κ（θ-νt）dt+σνq（h- νt）（νt-l） dZt。当k（θ）为有界Jacobi过程时，其边界为[l，h]- l） >σν（h- l） ，κ（h- θ） >σν（h- l） 。有时，金融衍生品不存在封闭形式的解，所以需要蒙特卡罗方法。通过公共分解的模拟方法已在第3.5节数值结果中进行了说明。在研究两个资产衍生品定价问题的文献中，模型由两个布朗运动B和W驱动，通常使用的假设是B和W的局部相关性为常数，即对于某些ρ∈ [-1, 1]. 然而，正如我们之前提到的，这一假设与实证研究不一致。

例如，根据来自世界各地不同市场的数据，Chiang等人（2007）、Syllignakis和Kouretas（2011）以及Junior和Franca（2012）都发现相关系数随时间而变化，经济形势也随之变化。然后很自然地会问，当实际的相关系数是动态和随机的时，如果我们仍然应用常数相关模型，它会对定价误差产生多大的影响？在这一部分中，我们以双色彩虹选项的价格为例。我们通过数值实验研究了在恒定相关性和动态相关性下期权价格的差异，并试图总结出这种差异是可忽略的还是不可忽略的。由于我们关注的是基础资产的相关性，为了简单起见，我们假设除局部相关性外，基础资产的所有系数都是常数。因此，假设基础价格满足（在风险中性概率下）dStSt=rdt+σdBt，dStSt=rdt+σdWt。对于（B，W）的依赖结构，我们在本节中应用了实施例3.1和实施例4.3中介绍的区域切换模型。假设市场具有由有限状态空间马尔可夫过程{Qt}t描述的三种不同状态≥0具有初始值Qa和转移率矩阵a。因此，B和W的局部相关过程如下，ρt=2α>Qt-注意，d[对数S，对数S]t/dtσσ=ρt，因此α∈ （0，1）表示对数价格局部相关系数的切换状态。例如，如果α=[0.3，0.6，0.9]>，则在任何时间t，ρt在-0.4、0.2和0.8（根据市场条件）。在本节的其余部分，除非另有规定，否则参数如下，r=0.05，S=100，S=120，σ=0.2，σ=0.3A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1..

（33）考虑第4.3节中的双色彩虹期权，注意，在上述模型下，如果ρ被视为一个常数，期权价格可以如Stulz（1982）所述以闭合形式给出。而对于制度转换ρ的实际情况，我们可以应用命题4.1来推导真实价格。按照命题4.1中的符号，通过反演傅立叶公式，我们得到g（x，x）=Z∞+iλi-∞+iλiZ∞+iλ1i-∞+iλ1ie-iλx-iλx^G（λ，λ）dλdλ，（34），其中λi，λ1表示λ和λ的虚部。由于^G（λ，λ）仅适用于严格正虚的λ，λ，我们在接下来的数值实验中选择λ1i=λi=1。注意，（34）对于任何λ1i，λi>0仍然有效。我们近似（34）byG（x，x）≈N∑j=-NN型∑k级=-Neλ1ix+λix-i（jηx+kηx）^G（jη+iλ1i，kη+iλi）ηη，其中我们设置N=N=1000，η=η=0.1。假设期权的合同期限为τ=0.25，行权为K=90。设α=[0.6，0.6，0.6]>，则体制转换模型退化为常数相关模型。我们验证了这组参数足够准确，从Stulz（1982）和命题4.1获得的期权价格差异小于-在下一小节中，我们将Stulz（1982）中常数ρ模型得出的期权价格与（28）中制度转换ρ模型给出的价格进行比较。由于我们假设政权更迭的情况是实际的，后者可以被视为“真实”价格。因此，比较结果将表明，当我们用一个常数代替原来的非常数ρ时，定价误差会有多大。为清楚起见，我们在理想情况下进行比较，即投资者完全了解除ρ以外的其他系数。5.1彩虹期权定价的数值实验在第5.1.1节中，我们从理论上比较了常数相关模型和动态相关模型。

我们假设投资者根据观察到的股票价格历史估计ρ。本节的数值结果表明，两种模型的价格可能存在较大差异。在第5.1.2节中，我们采用了一种实证方法，可以观察到无风险利率r，并且可以从普通期权中精确校准σ、σ。更接近实际程序的方法。我们假设投资者根据观察到的期权价格（根据制度转换模型计算）校准常数相关模型。然后使用校准模型进行定价。结果表明，使用常相关模型会产生较大的定价误差，尤其是对于资金不足的期权。这与Costin等人（2016）关于CDS期权的结果一致。5.1.1彩虹期权定价中常数和非常数相关性的数值分析在本节中，我们根据制度转换模型给出的历史数据估计常数相关系数ρ，然后计算由此ρ得出的期权价格。通过将这些期权价格与直接从制度转换模型得出的期权价格进行比较，我们可以大致了解在实际相关系数是动态和随机的情况下，应用常数相关模型时会产生的误差。为了结果的稳健性，我们考虑了不同情况下不同向量αs的比较。由于我们假设可以精确获得所有其他参数，投资者实际上可以通过观察标的资产的价格来获得（B，W）的数据。假设投资者已获得这些长期且频率相对较高的历史数据，如（Bti，Wti），i=0，1，n、 其中0=t<t<···<tn=t。

根据定义，基于截至时间t的数据估计的常数相关性为^ρ，∑n-1i=0Bti公司Wtit。注意，设置t=最大{ti+1-ti | i=0，n} ，我们有∑n-1i=0Bti公司WtitP---→t型→0[B，W]tt=tt-Stt=tZt（2α- 1） >Qsds，并根据马尔可夫过程的遍历定理，limt→∞tZtQsds=π，其中π表示马尔可夫过程Qt的平稳分布。因此，只要我们假设这些数据是长期的，且频率相对较高，我们总是会得出^ρ≈tZt（2α- 1） >QSD≈ 2α>π -1.（35）在这种情况下，无论相关系数随时间的变化有多剧烈，投资者可能会从长期历史数据中得到类似的估计。因此，根据这些估计计算出的期权价格可能与“真实”价格有很大偏差。我们将通过定义为相对误差=具有常数ρ的价格的相对误差来显示这些价格的偏差-制度转换价格ρ制度转换价格ρ。（36）我们在备注2.2中说明，直接将历史数据中的估计^ρ应用于期权定价是可行的。注意，平稳分布π满足以下方程A>π=0，π1>=1，其中A表示Q的发生器。在我们的数值实验中，A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1., 然后π=[0.2636，0.4273，0.3091]>。在数值实验中，对于每种情况，我们模拟（B，W）的路径以呈现历史数据，其中我们选择t=20和ti=0.05，i、 为了进行一致性比较，我们随机选择5个不同的α，它们都满足条件2α>π-1 = 0.2. 也就是说，根据（35），根据估计系数计算的期权价格是相似的，因为在所有情况下^ρ≈ 0.2.

相反，我们将看到，从原始模型计算出的价格彼此相差很大。我们在表5中列出了数值结果，其中第二列显示了根据原始制度转换模型计算的“真实”价格，第三列显示了根据“历史数据”估计的^ρ，第四列显示了通过具有^ρ的常数相关模型获得的价格，而最后一列显示了如（36）所定义的相对误差。表5：具有所有历史数据的期权定价α真实价格ρ相对误差ρ价格[0.7665，0.7551，0.2436]>37.2642 0.2377 35.2623-5.37%[0.8068，0.8772，0.0404]>38.2361 0.2103 35.3671-7.50%[0.6824，0.6178，0.5051]>35.9230 0.2436 35.2398-1.90%[0.5559，0.4063，0.9054]>33.8134 0.1911 35.4403 4.81%[0.6，0.6，0.6]>35.4064 0.2177 35.3388 0.19%.从表5可以明显看出使用从历史数据中验证的常数相关系数时，可能会出现较大的定价错误。在这个数字示例中，虽然假设所有其他系数都是零误差，但定价的相对误差可能会上升到不可接受的水平。几乎可以肯定，这些高误差是由^ρs代替真实动态随机ρs引起的。作为验证，我们考虑α=[0.6，0.6，0.6]>的情况，其中状态转换模型退化为常数相关模型。结果显示在表的最后一行。我们可以看到，只有一个很小的相对误差，即0.19%，这是技术误差，而不是将常数相关性替换为动态相关性。更具体地说，我们可以看到，在所有情况下，估计的^ρs约为0.2，因此产生的期权价格约为35.3，而实际价格从高达38.2到低至33.8。

如果投资者应用常数相关模型对这些期权进行估值，并将这些价格作为其投资的指导，将出现巨大的意外损失。5.1.2根据动态相关性模型给出的数据校准常数相关性模型在本节中，我们通过更实际的方式研究了常数相关性模型和动态随机相关性模型下期权价格之间的差异。首先，在实践中，在考虑衍生品定价时，投资者通常不使用根据历史数据估计的系数。更常见的是，他们观察一类衍生品的市场价格，并根据观察到的价格校准理论模型。在我们的案例中，“市场价格”应该由制度转换模型给出，而投资者持有的“理论模型”应该是常数相关模型。“理论模型的校准”减少为“确定最佳ρ以适应市场价格”，因为这被认为是理论模型的唯一未知参数。另一方面，就像“隐含波动率”的概念一样，每个观察到的期权价格都可以推导出一个“隐含相关性”，即ρimp。ρimp随罢工的变化也可以表明常数相关模型给出的期权价格与基于动态相关性的实际价格之间的偏差。数值模拟按照以下步骤进行。首先，我们给出了到期日τ=0.25，罢工K=80，90，…，的期权价格，140在区域切换模型下采用傅立叶变换方法。

这些将在我们的数值实验中扮演“初始市场数据”的角色。然后基于这些数据，我们将常数相关模型校准到合适的ρ。这是通过梯度下降法最小化以下累积平方误差函数来实现的，L（ρ）=∑n价格常数（ρ）- 价格动态.然后，将校准的相关系数应用于K=82、84、…、的期权定价的常数相关模型，88, 92, 94, . . . , 98, . . . , 132, 134, . . . , 138、所得价格将与体制转换模型下的价格进行比较。为了查看隐含相关性的变化，我们将Da Fonseca et al.（2007）给出的ρimp定义（满足价格=价格常数（ρimp）），应用于更具冲击K=80、82、84等的制度转换模型给出的价格，140.在下文中，我们对最小看涨期权、最大看涨期权、最大看涨期权和最小看涨期权的定价程序进行了校准，考虑了它们的相对误差，如（36）所述，并分别计算了隐含相关性。结果如图3-6所示。在每个图中，虚线将曲线分为两部分，即货币外情况（在图中，左边部分表示看跌期权，右边部分表示看涨期权）和货币内情况。接口在钱箱处。（a） 相对误差（校准ρ=-0.3190）（b）隐含相关性图3：Q=[1，0，0]>，α=[0.3，0.6，0.9]>的最小看涨期权在第一次尝试时，我们选择参数Q=[1，0，0]>和α=[0.3，0.6，0.9]>来生成制度转换模型。立即观察到的是，最大看跌期权和最小看涨期权的价格存在巨大误差。相对误差达到70%以上，如图3（a）和图5（a）所示。而对于Call-onMax选项，相对误差不超过0.1%，如图4（a）所示。