相关布朗运动的公共分解及其金融性质

此外，由于相对误差始终低于0.5%的水平，因此其图在此省略，因此，对于穿戴式Minoption来说也很小。和以前一样，所有其他系数都应该被准确地知道。初始值取ρ=0。步长设置为| 0.01/L（0）|，其中lde表示L的一阶导数。当| L（ρ）|小于10时，梯度下降法终止-4.（a）相对误差（校准ρ=-0.3190）（b）隐含相关性图4：Q=[1，0，0]>，ω=[0.3，0.6，0.9]>（a）相对误差（校准ρ=-0.3177）（b）隐含相关性图5：使用Q=[1，0，0]>，α=[0.3，0.6，0.9]>（a）相对误差（校准ρ=0.4940）（b）隐含相关性图6：使用Q=[0.2，0，0.8]>，α=[0.3，0.6，0.95]>的最小选项，以查看这是否是一个共同属性，我们将初始制度转换模型更改为一个新模型，参数Q=[0.2，0，0.8]>和α=[0.3，0.6，0.95]>，并重复校准定价过程。对于Callon Max、Call on Min和Put on Max，结果与前面的一组参数非常相似，我们省略了这些参数。但对于Put-on-Min，结果与前一个不同，如图6所示，对于现金外期权，相对误差可能超过10%，这也是不容忽视的。另一方面，对于隐含相关性，我们可以在图3（b）-6（b）中看到，对于非货币情况，隐含相关性总是变化剧烈，而对于货币情况，隐含相关性变化轻微，这与校准ρ相似。对于最大期权的看涨期权，虽然只有很小的定价错误，但隐含的相关性会随着不同的击数发生很大的变化。图7再次研究了最大认沽期权，到期日视为τ=0.5。

与图5相比，我们可以在图7中发现，校准误差较小，隐含相关性变化较小。但它们的主要特征相似，这意味着成熟度对我们的发现几乎没有影响。我们将在下一节第5.2节中对4种彩虹选项的不同性能进行合理解释。此外，我们还将解释为什么校准后的期权价格在货币期权和货币期权中表现良好，但在货币期权之外表现糟糕，以及为什么Callon Max似乎与其他期权不同。5.2误差分析本部分进一步分析了由于将基础原木价格的动态随机相关性设定为常数而产生的定价误差。该分析是从理论角度进行的，但借助于数值模拟。通过这一分析，我们试图解释第5.1节中发现的现象。现在我们考虑收益为V（Sτ，Sτ，τ，K）的期权，然后期权的价格为-rτV（Sτ，Sτ，τ，K）i=等式-rτVSe（r-σ） τ+σBτ，Se（r-σ） τ+σWτ，τ，Ki、 注意，以前的数值模拟中考虑的所有收益都是这样的（a）相对误差（校准ρ=-0.2431）（b）隐含相关性图7：推出τ=0.5的最大期权，其中Q表示风险中性概率度量。当局部相关过程为常数ρ时，因为（Bτ，Wτ）~ N(0, 0), τ1 ρρ 1, 期权价格是ρ的函数，ρ在下文中表示为价格C（ρ）。对于ρ为随机过程的更一般情况，我们首先回顾平均相关系数ρt=tRtρudu这一术语，通过公共分解，可以将其重写为ρt=Tt-Stt。

（37）因为在FTτ的条件下，（Bτ，Wτ）=（XTτ+YSτ，XTτ- YSτ）~ N(0, 0), τρτρτ, 在常数ρ情况下的讨论之后，期权价格（以定价表示）等于定价=EQhEQ[e-rτV（Sτ，Sτ，τ，K）| FTτ]i=等式[价格（(R)ρτ）]。如果价格是ρ的一个函数，即。， a、 b类∈ R、 价格C（ρ）=aρ+b，我们已经定价=等式[价格C（(R)ρτ）]=等式[价格a¨ρτ+b]=价格C（等式[(R)ρτ]）。（38）换言之，当常数ρ模型下的期权价格在ρ中呈线性时，一般动态相关模型下的价格与常数相关系数EQ[(R)ρτ]下的价格完全相同。否则，对于一般的Pricec，通过泰勒展开，我们可以得到以下近似公式，Priced=EQ[Pricec（(R)ρτ）]≈ 价格C（等式[°ρτ]）+VarQ（°ρτ）价格Cρ（等式[(R)ρτ]）。（39）（38）和（39）表明，常数相关模型和动态相关模型之间定价误差的主要原因是Pricec（ρ）的非线性特性。接下来，基于上述分析，我们试图探索第5.1.1节中定价错误较大的原因以及第5.1.2节中发现的两种现象：（i）在应用常数相关模型时，货币期权的定价错误似乎更为显著；（ii）最大看涨期权的定价错误似乎比其他类型的期权都要小。我们首先考虑价格C（ρ）和ρ之间的关系，即最大认沽期权的货币内、货币内和货币外情况。示例5.1。

选择参数r=0.05、τ=0.25、S=100、S=120、σ=0.2、σ=0.3，我们绘制了Strike=150（货币内）、Strike=120（货币内）和Strike=90（货币外）时的价格C（ρ）图，并在图8中列出。（a） Strike=150（b）Strike=120（c）Strike=90图8：在常数相关模型中设定最大期权价格示例5.1表明，对于货币和货币情况，价格c（ρ）与ρ呈强线性关系，除非ρ接近1。但对于缺钱的情况来说，这是非常非线性的。对于最大看涨期权、最小看涨期权、最小看涨期权和最大看涨期权，我们用不同的参数进行了相似的图解，得到了相似的结果。回想一下近似值（38）和（39），上述结果解释了为什么恒量相关模型在货币期权和货币期权方面总体表现良好，但在货币期权方面表现不佳。我们可以在图3（b）、4（b）、5（b）、6（b）、7（b）和表6中发现，当罢工发生在货币中且发生在货币中时，每个期权的隐含相关性非常接近于E′ρτ；相反，当strike缺钱时，隐含的相关性会急剧变化，并且远离E′ρτ。

这与前面的结论是一致的。表6：预计ρττ=0.25τ=0.5α=[0.3，0.6，0.9]，Q=[1，0，0]-0.3177-0.2488α=[0.3，0.6，0.95]，Q=[0.2，0，0.8]0.5784 0.5298对比第5.1.1节中的数值实验和表6中的数据，我们发现历史局部相关系数和未来相关系数的预期之间存在很大差异，这解释了第5.1.1节中的定价错误。现在，我们转向最大看涨期权，其在第5.1.2节中的校准性能似乎与其他模型有很大不同，即校准后的常数相关模型始终表现良好，即使是在资金不足的情况下。图9：K=130，τ=0.25的常数相关模型中的最大看涨期权价格。请注意，如前所述，我们已经获得了此类选项的图表，这些图表与其他选项具有类似的线性或非线性形状，我们没有将其包含在正文中。一个有趣的问题是，既然缺钱情况下价格c（ρ）的形状看起来明显是非线性的，为什么它仍然很接近真实价格？除τ=0.25外，我们选择了与之前相同的参数，并在图9中绘制了最大看涨期权的价格（ρ）图，在罢工=130的情况下（不含现金）。该图看起来仍然很非线性，但值得注意的是，在图9中，价格c（ρ）只是从3.97变化到3.995。换言之，当ρ在其全范围内变化时，价格仅变化约0.6%，这意味着对于看涨期权，基础资产之间的相关性对期权价格的影响很小，几乎可以忽略不计。相反，考虑从期权价格校准ρ，价格的微小偏差可能会导致隐含ρ的巨大变化。

这一结果一方面解释了最大看涨期权的隐含相关性波动的原因，但校准后的常数相关性模型始终表现良好，另一方面表明，当数据来自最大看涨期权的现金外看涨期权时，相关系数校准可能不合适，因为隐含相关性对价格过于敏感。6证明6.1准备工作首先，我们给出一些引理作为准备。第6.2节中经常使用的下列引理给出了一种特殊的随机过程是鞅的充分条件。引理6.1。假设{Mt}t≥0是关于{Ft}t的连续局部鞅≥如果{φt}t≥0是一个F-ProgressiveLymeasured过程，因此E经验值Ztφud【M】u< ∞, t型≥ 0，（40）thenZt，expZtφudMu-Ztφud【M】u, t型≥ 0是关于F.Proof的鞅。第一个注意事项EZtφud【M】u< E经验值Ztφud【M】u< ∞, t型≥ 0，因此φudMu，t型≥ 0定义良好。根据It^o引理，{Zt}t≥0显然是一个局部鞅。因此，有一系列的停止时间{τn}n≥1满足τ<τ<···<τn<···，limn→∞τn=∞ 安兹特，Zt∧τn，t型≥ 0是鞅。因此，E[Znt | Fs]=Zns，t型≥ s、 观察Zn，n≥ 1始终为正，则为[Zt | Fs]≤ Zs，t型≥ s根据Fatou引理，即Z是一个超鞅。根据（40）和Karatzas and Shreve（2012）[第3章，命题5.12]，我们得到e[Zt]=1，t型≥ 0，这意味着Z是一个鞅。在继续之前，我们首先介绍条件（E）如下：（E）对于任何FT渐进可测过程{φt}t≥0和{φt}t≥0担保对象经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞, （41）我们有经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu英尺∞= 经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu.接下来，我们通过Emma 6.2建立了条件（E）与X、Y和T的独立性之间的等价关系。

然后在第6.2节中，我们通过条件（E）完成定理2.2和命题2.1的证明。此外，引理6.2还给出了X、Y和T独立的另外两个必要条件，分别用于推论3.1和定理2.2的证明。引理6.2。假设（Xt，Yt）t≥0是二维标准布朗运动和{Tt}t≥0，{St}t≥0是Tt+St=t的两个递增进程，t型≥ 如果X，Y和T相互独立，那么我们有以下结果：（i）条件（E）成立；（ii）FXT∞⊥ FYSt | FXTt和FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt；（iii）{XTt}t≥0和{YSt}t≥0是关于{FB，WtWFT的鞅∞}t型≥此外，如果（X，Y，T）是公共分解的三元组，即定理2.1中的条件成立，则陈述（i）也足以证明X，Y和T的独立性。我们首先证明陈述（i）、（ii）和（iii）。（i） 设τ和为（4）中定义的T和S的倒数，φ、φ为任何逐步可测量的过程（41）。定义Φua和Φuas如下，Φu，Φτu{u≤T∞}, Φu，φu{u≤S∞}.ThenZ公司∞（Φu）du=ZT∞（φτu）du=Z∞（φu）dTu，Z∞（Φu）du=ZS∞（φu）du=Z∞（φu）dSu，（42）和by（41），EZ∞（Φu）du+Z∞（Φu）du=EZ∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu≤E经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞.亨瑟∞ΦudXuandR∞ΦudYuare定义良好，Z∞ΦudXu=ZT∞φτudXu=Z∞φudXTu，Z∞ΦudYu=ZS∞φudYu=Z∞φudYSu。（43）观察X和Y是关于{FXtWFYtWFT]的鞅∞}t型≥0通过X、Y、T和E exp的独立性R∞（Φu）du+R∞（Φu）du< ∞ 根据（41）和（42），引理6.1，经验值ZtΦudXu+ZtΦudYu-Zt（Φu）du-Zt（Φu）dut型≥0是鞅。随后的碱液经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu-Z∞（Φu）du-Z∞（Φu）du英尺∞= 1.

（44）将（42）和（43）替换为（44），我们有经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu-Z∞（φu）dTu-Z∞（φu）dSu英尺∞= 1、注意expR∞（φu）dTu+R∞（φu）dSu可通过FT测量∞, 期望的结果立即成立。（ii）首先注意，当X、Y、T独立时，根据前一个结果，条件（E）为真。作为条件（E）的直接结果，fxtt和fysti是条件独立的给定FTt，t型∈ [0, +∞]. 因此，对于第一个可测随机变量η，E[η| FXTtWFTt]=E[η| FTt]。此外，根据真相FTt FXTt，t型∈ [0, +∞] , 我们有E[η| FTt]=E[η| FXTt]，t型∈ [0, +∞]. （45）证明本部分的结果，即FYStand FXT∞如果给定FXTt，条件独立，则足以证明对于满足（41）的任何FT渐进可测量过程φ，以下等式成立经验值ZtφudYSuFXT公司∞= E经验值ZtφudYSuFXTt公司.按（45），E经验值ZtφudYSuFXT公司∞= E经验值ZtφudYSu英尺∞= 经验值Zt（φu）dSu.其中第二个等式直接来自条件（E）。自exp起Rt（φu）dSu∈ FTt，再次应用（45），我们有经验值ZtφudYSuFXTt公司=E经验值ZtφudYSuFTt公司= 经验值Zt（φu）dSu=E经验值ZtφudYSuFXT公司∞,这是理想的结论。通过类似的证明，我们得到了FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt公司。（iii）给定英尺∞, 对于任何n，m∈ N和0≤ t型≤ ··· ≤ 田纳西州≤ t、 0个≤ s≤ ··· ≤ sm≤ t、 我们可以得到XTu+t的特征函数- 根据条件（E）分别用一些特殊φ和φ表示XTt，{XTt，…，XTtn}和{YSs，…，YSsm}。此外，条件（E）还给出了它们的联合特征函数，这意味着XTu+t的相互独立性- XTt，{XTt，…，XTtn}和{YSs，…，YSsm}。根据为ti选择的任意值，1≤ 我≤ n和sj，1≤ j≤ m、 我们有XTu+t- XTt、FXT和FYStare相互独立。因此，EhXTu+t- XTt | FXTt\\U FYSt\\U FT∞i=EHXt+t- XTt |英尺∞i=0。观察FXTtWFYSt=FB，W，因此xtt是一个带有FB，WtWFT的鞅∞.

YS也有相同的参数。下面，我们证明，如果定理2.1中的条件成立，那么条件（E）是X、Y和T独立的充分条件n、 m级∈ N、 0=t<t<···<tn，0=s<s<···<sm，我们认为{Xt，…，Xtn，Ys，…，Ytm}的联合分布以FT为条件∞通过计算“exp（n∑i=1θi（Xti- Xti公司-1） +百万∑j=1θj（Ysj-Ysj公司-1))英尺∞#, （46）式中θi，θj∈ R、 i=1，2，n、 j=1，2，m、 定义Φu=n∑i=1θi{ti-1.≤u<ti}，Φu=m∑j=1θj{sj-1.≤u<sj}。验证很容易∞ΦudXu=∑ni=1θi（Xti- Xti公司-1） ，R∞乌杜=∑mj=1θj（Ysj-Ysj公司-1） 安第斯山脉经验值Z∞（ΦTu）dTu+Z∞（ΦSu）dSu< ∞, E经验值Z∞（Φu）du+Z∞（Φu）du< ∞.通过X和Y的定义（为简单起见，我们设置∞T∞T时ΦudXu=0∞= ∞), 我们有∞ΦudXu=ZT∞ΦudXu+Z∞T∞ΦudXu=Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu，（47）Z∞ΦudYu=ZS∞ΦudYu+Z∞S∞ΦudYu=Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYu。（48）ThusE经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞=E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu+Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYu英尺∞=E进出口商品Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu+Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYuFXT公司∞_财政年度∞我英尺∞=E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞ΦSudYSuEhexp（Z∞Φu+T∞dXu+Z∞Φu+S∞dYu）FXT公司∞_财政年度∞我英尺∞. （49）不难验证NRTΦu+T∞dXu+RtΦu+S∞d▄尤特≥0是一个具有reservtonft的连续局部鞅∞WFXT公司∞WFYS公司∞WF▄XtWF▄Ytot≥0和EhexpR∞（Φu+T∞)du+R∞（Φu+S∞)杜邦i<∞. 然后根据引理6.1，nexpRtΦu+T∞dXu+RtΦu+S∞dYu-Rt（Φu+T∞)杜邦-Rt（Φu+S∞)杜邦加班费≥0是鞅。因此，Ehexp（Z∞Φu+T∞dXu+Z∞Φu+S∞dYu）英尺∞_FXT公司∞_财政年度∞i=经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦. （50）将（50）替换为（49），我们有经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞= 经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞ΦSudYSu英尺∞.在本节和第6.3节的证明中，经常使用（47）和（48）等随机积分的时间变化公式。

如果随机积分定义良好，且被积函数可逐步测量，则随机积分的时间变化公式可用，其中条件非常宽松。有关更多详细信息，请参阅Karatzas和Shreve（2012）[第3章，提案4.8]orRevuz和Yor（2013）[第五章，提案1.5]。然后根据条件（E），我们得到经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞= 经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦经验值Z∞（ΦTu）dTu+Z∞（ΦSu）dSu= 经验值{ZT∞（Φu）du+ZS∞（Φu）du+Z∞T∞（Φu）du+Z∞S∞（Φu）du}= 经验值Z∞（Φu）du+Z∞（Φu）du.根据Φ和Φ的定义，前面的方程式为“exp（n∑i=1θi（Xti- Xti公司-1） +百万∑j=1θj（Ysj-Ysj公司-1） ）|英尺∞#= exp（n∑i=1（θi）（tk-tk公司-1） +百万∑j=1（θj）（sj-sj公司-1） ），这意味着X和Y是独立的，FT∞不影响{Xt，Yt}t的分布≥因此，{Xt}t≥0，{Yt}t≥0和{Tt}t≥0相互独立。注意，在定理2.1的条件下，条件（E）实际上与X、Y和T的独立性等价。引理6.3是Girsanov定理的推广，它可能在命题2.1的证明中有用。引理6.3。假设{Xt}t≥0是布朗运动且{Tt}t≥0是与{Xt}t无关的非减量随机过程≥0、给定{φt}t≥0和{θt}t≥0，可通过{FTt}t逐步测量≥0andE经验值Zt（φu）dTu< ∞, E经验值Zt（θu）dTu< ∞, t型≥ 0，letXφt=Xt-Ztφτudu，τt=inf{u:Tt≥ u} 。那么我们有经验值Zt公司∧TtθτudXφu经验值Zt公司∧TtφτudXu-Zt公司∧Tt（φτu）du|英尺∞= 经验值Zt公司∧Tt（θτu）du.证据给定t，fromE expZs公司∧Tt（φτu）du≤ E经验值ZTt（φτu）du= E经验值Zt（φu）dTu< ∞,引理6.1我们有nexp卢比∧TtφτudXu-卢比∧Tt（φτu）du操作系统≥0是关于{FXsWFT]的鞅∞}s≥0.LetdQdPFXs\\u英尺∞= 经验值Zs公司∧TtφτudXu-Zs公司∧Tt（φτu）du.注意，X是关于{FXsWFT]的布朗运动∞}s≥0，然后根据Girsanov定理，~Xφs，Xs-Zs公司∧Ttφτudu，0≤ s≤ t、 是具有{FXsWFT的布朗运动∞}s≥0在概率测度▄Q下。