限额订单簿中的多级订单流不平衡

因为RMSE的单位是“价格”，所以我们可以看到，即使M的值接近10，Mcan的进一步增加仍然会使RMSE减少相当大一部分。在一些实际场景中，例如优化高频交易算法，这种幅度的改进可能具有经济意义。我们回到第6节的讨论。对于我们样本中的所有股票，在所有M>1的值下，岭回归得到的样本外RMSE小于OLS回归得到的相应样本外RMSE。这表明，当使用这种拟合优度度量时，我们的Ridgeregression函数优于MLOFI方程（16）中相应的OLS回归函数。为了有助于量化这种影响的强度，表10显示了通过M=10的MLOFI方程（16）的OLS和岭回归函数获得的RMSE的平均减少量，相对于从拟合的OFI方程（7）获得的RMSE（即，相对于仅包括一级出价和要价的订单流量不平衡获得的结果）。在所有情况下，使用MLOFI获得的样本外RMSE小于使用OFI获得的样本外RMSE。当使用OLS回归时，大型蜱类股的改善率约为60-70%，小型蜱类股的改善率约为5-35%。

当使用岭回归时，大型蜱类股的改善率约为65–75%，小型蜱类股的改善率约为15–30%。AMZN TSLA NFLX ORCL CSCO MUOFI 9.72 5.35 2.03 0.25 0.19 0.22 MLOFI，OLS 8.53 4.97 1.49 0.09 0.06 0.09 MLOFI，Ridge 8.05 4.53 1.41 0.08 0.05 0.08 OLSMLOFI比OFI12提高7%27%64%68%59%17%15%31%68%74%64%表10：OFI方程（7）和MLOFI方程（7）规定的样本外RMSE（单位：刻度）（16）M=10，以及与OFI实现的样本外RMSE相比，这些指标的相应改进。6讨论6.1与Cont等人的比较。在他们对标准普尔500指数成份股的研究中，Cont等人【2014】得出结论，只有接近最佳报价的订单流量才会对中间价的同期变化产生重大影响。在我们对纳斯达克交易的6只流动性股票的研究中，我们发现了强有力的证据表明，将MLOFI纳入LOB的价格水平可以显著降低已确定关系的样本外RMSE（见图6和表10）。对于大型tick股票而言，降幅尤其大，这是Contet al.（2014）的主要关注点。这就提出了一个有趣的问题，为什么我们的结果与Cont等人报告的结果不同。。我们提出了两个可能的答案。首先，Cont等人【2014年】使用OLS回归来拟合其MLOFI关系。如第5.3节所述，MLOFI向量中的特征变量对应于同一LOB内相邻价格水平的订单流量不平衡，因此可以合理预期它们可能表现出多重共线性。事实上，这在我们的数据中得到了经验验证（见图1和图2）。这种多重共线性可能导致莫非方程（16）的OLS回归函数不稳定，从而影响βmcoe系数的拟合值。其次，Cont等人。

【2014年】仅使用调整后的统计数据来评估其回归的优度。正如我们在第5.5.2节中所讨论的，此度量在当前应用中有一个重要的缺点：它可能会低估多重共线性存在时的真实样本外方差。虽然我们的R值表明，在价格水平上的净订单流深入LOB仍会影响中间价的同期变化（与Cont等人的发现相反），但仅基于此度量的任何结论都容易受到多重共线性可能导致的扭曲的影响。如果Cont等人研究的数据中多重共线性特别强，则可能会产生与Mertens等人相比的误导性R.6.2值。在最近的一份工作文件中，Mertens等人【2019】通过将价格影响建模为动态和潜在变量，扩展了Cont等人【2014】的OFI框架。在他们研究的5只股票（CSCO、INTC、MSFT、CMCSA和AAPL）中，Mertens等人报告称，他们的方法导致样本外RMSE降低了约20–80%。在我们自己的结果中，我们实现了大约15–75%的相应减少。虽然我们对这个问题采取了非常不同的方法，但我们所取得的进步与Mertens等人所取得的进步非常相似。。这两组结果都有助于说明，除了OFI之外，如何使用其他输入变量，有助于改善采样器外的MSE，以应对中期价格的同期变化。6.3了解LOB中的价格构成，中间价的变化通常是出价或要价变化的直接结果。

考虑到这种情况，为什么将价格水平的订单流更深地纳入LOB会产生更好的中间价同期变化的优度？我们提供了两种可能的解释。首先，从统计角度来看，观察LOB的卖出（分别买入）端的大量订单可能表明存在巨大的卖出（分别买入）压力。例如，如果交易员收到的私人信息表明价格在中期内可能上涨，那么他/她可能会决定购买该资产，意图持有该资产并享受随后的价格上涨。交易员购买资产的一种方法是提交一份买入市场指令。然而，通过这样做，交易者揭示了他/她购买的意愿，从而冒着所谓的信息泄露成本的风险，这种成本是由于其他交易者将这种市场订单的到达理解为揭示私人信息的信号而产生的。因此，交易者可能会选择提交限购令，而相关的信息泄露成本可能要低得多。如果几个不同的贸易商以这种方式进行交易，并且如果他们的私人信息确实正确预测了中间价的后续变化，那么他们相应的限额订单总流量将与中间价的变化相关联，即使他们选择在LOB深处的价格水平上提交这些限额订单。其次，从机械的角度来看，超过最佳报价的价格水平的订单流量也可能影响在给定时间间隔内发生的中间价格变化的大小。在多个相邻价格水平接近最佳报价的多个限价订单的LOB中，如果市场订单到达并将询价队列消耗为零，那么询价价格只能增加一个勾号。

然而，如果在次优价格下也有大量的取消，那么中间价格就更有可能发生更大的变化。正如这个例子所示，在所有其他条件相同的情况下，以最佳报价计算的订单净流出越强，中间价发生更大变化的可能性就越大。6.4小股票和大股票在我们的样本中，有一半的股票是小股票，其买卖价差通常为几个股票（见表1）。我们观察到，我们对小蜱类和大蜱类股票的结果存在很大差异，包括小蜱类股票的βmcoe系数（见表8）和MLOFI方程（16）的aweaker拟合优度（见图4）和RMSE（见图6和表10）之间的统计显著性较低。这就提出了一个问题，为什么具有不同相对刻度大小的股票应该表现如此不同。我们提供了两种可能的解释。首先，在LOB中，有三种情况可能导致中间价发生变化：（i）在买卖价差内到达的限价单；（ii）销售（分别购买）市场订单，消费整个一级竞价队列（分别询问队列）；或（iii）取消一级竞价或询价队列中的最后一个limitorder。然而，对于大型股票，关于信息泄漏成本概念的全面讨论，请参见Bouchaud等人【2018年】。买卖价差几乎总是在其最小可能值1勾。在这种情况下，新的限额指令不可能到达买卖价差内（我们在表2中直接观察到了这种现象）。

这可以防止（i）发生。根据我们对MLOFI的定义，到达展区内的新买入（分别卖出）限额订单将创建与到达一级出价（分别卖出）的相同大小的新买入（分别卖出）限额订单相同的MLOFI向量。第一个此类限价订单的到货将导致中间价的变化，而第二个此类限价订单则不会。因此，在可能发生（i）的情况下，相同的输入向量可以映射到不同的输出。这种影响可能会降低统计关系对小股票的预测能力。其次，根据我们对MLOFI的定义，在买卖价差内到达一个刻度的新买入（分别卖出）限额订单将创建与在买卖价差内到达多个刻度的新买入（分别卖出）限额订单相同的MLOFI向量。然而，这些事件将导致中间价发生显著不同的变化。这提供了另一种方法，当买卖价差大于1个刻度宽时，相同的输入向量可以映射到不同的输出。这种影响可能会降低小股票统计关系的预测能力。6.5评估表9中的重要结果清楚地表明，在我们所有的岭回归函数中，绝大多数已确定的βmcoe系数在统计上是显著的。然而，这并不一定意味着它们的增量影响（超出OFI单独实现的影响）具有经济意义。我们现在将注意力转向是否是这样。在研究拟合的MLOFI方程（16）时，拟合优度的最大改善出现在小蜱虫类股票和前几个价格水平上（见图6）。

例如，对于AMZN（我们样本中最小的蜱虫种群），在M=1和M=3之间的样本外RMSE的增量改进超过了完整蜱虫。在另一个极端情况下，对于大型蜱虫种群和M值较大的蜱虫种群，其拟合优度的改善最小。对于MU（这是我们样本中最大的蜱虫种群），M=9和M=10之间的样本外RMSE的增量改善约为0.002蜱虫。显然，这种影响的程度非常小。然而，在考虑所有系数β、β、…、的总体影响时，β加在一起，采样器外MSE的改善要大得多，范围从AMZN的约1.7蜱到MU的约0.1蜱（见表10）。这些改进是否具有经济意义？最终，这个问题的答案取决于上下文。对于一个花费700美元购买AMZN单一股票的交易员来说，几美分的价格差异几乎不明显。然而，对于一个操作高频交易算法的交易员来说，每天买卖大量股票数千次，情况就完全不同了。许多这样的从业者投入了巨额资金，希望通过一点点滴答声来改进他们的预测算法。最终，这样的改进可以使交易策略在有利与不有利之间产生差异。因此，我们认为，我们在表10中报告的改进在这种情况下确实具有经济意义。7结论在本文中，我们对MLOFI方程（16）进行了实证研究，该方程提出了LOB第一个M人口价格水平的净订单流量与中期价格的同期变化之间的简单线性关系。

利用2016年1月至12月期间纳斯达克交易的6只股票的最新高质量高频数据，我们进行了OLS回归和岭回归，以拟合MLOFI方程（16）。我们使用调整后的Rand和RMSE来评估我们的关系的优度，并对我们的结果进行定量比较。通过分析MLOFI向量中的样本相关性和样本外MSE，我们认为使用OLS回归拟合MLOFI方程（16）会产生大量结果，岭回归更适合这项任务。当使用样本RMSE中的任一Ror时，我们发现大型蜱虫种群的拟合优度远远高于小型蜱虫种群。对于我们样本中的所有股票，我们发现，随着M的增加，整体收益率增加。我们发现，小M的增长率最大，并且随着M的增加而降低。我们认为，在某些情况下，如优化高频交易算法，我们观察到的数量级的改进在经济上是有意义的。未来研究的一个明显途径是如何提高MLOFI方程的拟合优度的问题（16）。正如我们所讨论的，一种可能的前进方向可能是重新定义MLOFI向量，以解决我们在第6节中描述的一些弱点。另一种可能的方法可能是使用MLOFI向量，将价格影响建模为一个动态和潜在变量，使用Mertens等人【2019】最近引入的框架。第三种可能是在回归中加入其他输入变量。未来研究的另一个可能途径是深入了解小股票和大股票之间的差异。

从某种意义上说，具有不同刻度大小的股票应该表现不同，这似乎是不可避免的。然而，许多LOB的经验和理论研究表明，通过进行适当的重新缩放，特定LOB的许多看似特殊的属性实际上可能是普遍的（参见，例如Bouchaud等人【2002年，2018年】、Patzelt和Bouchaud【2018年】、Potters和Bouchaud【2003年】）。了解在MLOFI方程（16）的输入（即MLOFI向量）或输出（即中间价格的变化）中实施重定标度是否可以揭示大不相同LOB的普遍行为，这将是一件有趣的事情。附录A：我们在第4.2.2节中讨论的日内季节性，Cont等人【2014】和Mertens等人【2019】都报告了他们研究的OFI关系中的日内季节性。为了帮助评估日内季节性因素可能对我们的结果产生影响的程度，我们还研究了βM参数值在整个交易日的变化情况。为了进行该分析，我们使用了与主要计算相同的样本构建方法（见第4.2节），但我们分别计算了每个I=11个不同窗口的βM参数的平均值。例如，当在第一个时间窗口（运行时间为10:00–10:30）内确定AMZN的β参数时，我们仅使用每天10:00–10:30的数据，计算252个β参数拟合值的平均值。我们对OLS回归和岭回归进行了分析。图7显示了在每个I=11个不同窗口中，使用岭回归拟合的β、β和β参数的平均值。其他βM参数的行为在性质上与β和β相似。

使用OLS回归拟合βM参数的结果在质量上也很相似。时间窗101100mmZn 1AMZN 5AMZN 10CSCO 1CSCO 5CSCO 10MU 1MU 5MU 10NFLX 1NFLX 5NFLX 10ORCL 5ORCL 10TSLA 1TSLA 5TSLA 10图7：MLOFI方程（16）中平均值（实线）β、（虚线）β和（虚线）β系数的岭回归估计，当仅使用给定30分钟时间窗口中的数据取相应设定值的平均值时。第一个时间窗口从10:00到10:30运行，第二个时间窗口从10:30到11:00运行，依此类推。当通过OLS回归拟合参数时，结果在质量上是相似的。对于CSCO和MU，这是我们样本中两个最大的蜱虫种群，我们观察到β参数的平均值在日内显著下降。这表明，对于一级买卖价格的给定净订单流量，在交易日晚些时候出现的时间窗口内，中间价的同期变化通常较小。这一结果与Cont et al.（2014）和Mertens et al.（2019）一致，他们也主要关注大型蜱虫类股票。然而，对于我们样本中的所有其他股票，我们发现这种影响的大小（充其量）非常小，很难与随机波动引起的自然变化分开。对于我们样本中的所有股票，我们观察到任何其他βM参数（即β，β，…，β）的平均值在日内没有系统性下降。