量化资产价格的水平依赖性：集群熵

参加：2017年IEEE第41届年度计算机软件与应用会议（COMPSAC）。第2卷。IEEE；2017年，第395-400页。[35]Ponta L，Carbone A.金融时间序列的信息度量：量化短期市场异质性。物理学A：统计力学及其应用。2018;510:132 – 144.内政部：https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.06.085.[36]香农·CE。传播的数学理论，第一部分，第二部分。Bell Systech J.1948；27 :623–656.[37]Costa M，Goldberger AL，Peng CK。复杂物理时间序列的多尺度熵分析。物理评论快报。2002;89(6):068102.[38]牛H，Wang J.用复合多尺度熵测度量化金融短期时间序列的复杂性。非线性科学与数值模拟通信。2015;22(1-3):375–382.【39】Humeau Heurtier A.多尺度熵算法及其变体：综述。熵。2015;17(5):3110–3123.表1：。市场。NASDAQ、DJIA和S&P500数据集已从终端www.bloomberg下载。com/专业版。该分析是根据2018年美国指数es的逐笔交易数据进行的。对于所有三个市场，滴答声持续时间（单个交易之间的时间间隔）约为1秒。股票代码名称国家货币成员长度纳斯达克纳斯达克综合指数2570美元6982017DJIA道琼斯工业平均指数30美元5749145S&P500标准普尔500美元505美元6142443表2。数据长度。第一列报告tempo ral horizon M（以月为单位的周期数）。

第二列、第三列和第四列报告了三种资产的每个时间范围M的价格序列的长度N。数据长度NM NASDAQ DJIA S&P5001 586866 516644 5166352 1117840 984101 9840463 1704706 1500764 15006624 229157 1623779 20172825 2906384 2165044 25585046 3493250 2681708 30751257 4069315 3187571 35809468 4712062 3753440 41467699 5243029 4220774 461418610 5885781 4786624 518000611 6461845 5292487 568582612 6982017 5749145 6142443表3。市场动态指数I（M，n）和市场期限依赖性H（M，n）。指数I（M，n）和H（M，n）已使用关系式hipsEqs计算。（12,13）输入熵数据，如图所示。（3，4）纳斯达克指数、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数。跨度范围M从一个月到五个月不等（分别从M=1到M=12）。movingaverage窗口n的值在第一列中报告。

第三列、第四列和第五列中的参考值s I（1）分别等于具有功率效用（I（1）=0.0049）、递归效用（I（1）=0.0214）和差异习惯（I（1）=0.0197）的消费增长模型。纳斯达克综合指数（Nasdaq）n熵指数幂效用递归效用差Habit30 I（12）0.0052 0.0226 0.0208H（12）0.0003 0.0012 0.001150 I（12）0.0052 0.0227 0.0209H（12）0.0003 0.0013 0.0012100 I（12）0.0052 0.0229 0.0211H（12）0.0003 0.0015 0.0014150 I（12）0.0054 0.0234 0.0215H（12）0.0005 0.0020 0 0 0 0 0 I（0018200 12）0.0056 0.0246 0.0226小时（12）0.0007 0.0032 0.0029道琼斯工业平均指数（DJIA）n熵指数功率效用递归效用差Habit30 I（12）0.0050 0.0218 0.0201H（12）0.0001 0.0004 0.000450 I（12）0.0050 0.0219 0.0201H（12）0.0001 0.0005 0.0004100 I（12）0.0050 0.0217 0.0200H（12）0.0001 0.0003 0.0003150 I（12）0.0050 0.0201H（12）0.0001 0.0004200 I（12）0.0050 0.0218 0.0201H（12）0.0001 0.0004 0.0004S&P 500指数（S&P500）n熵指数功率效用递归效用差异Habit30 I（12）0.0051 0.0224 0.0206H（12）0.0002 0.0010 0.000950 I（12）0.0052 0.0226 0.0208H（12）0.0003 0.0012 0.0011100 I（12）0.0052 0.0227 0.0209H（12）0.0003 0.0012150 I（12）0.0052 0.0229 0.021h（12）0.0003 0.0015 0.0014200 I（12）0.0053 0.0253 30 0.0212H（12）0.0004 0.0016 0.0015表4。熵指数和水平相关性。

对于具有代表性的agent模型，使用Kullback-Leibler熵方法获得指数，这些agent模型具有cons tantvariance（顶部）、随机方差（中部）和跳跃（底部），如[29]所估计。常方差熵功率效用递归效用比习惯性差异惯习（1）=ELt（mt，t+1）0.0049 0.0214 0.0049 0.0197I(∞) 0.0258 0.0232 0.0003 0.0258H（120）=I（120）- I（1）0.0119 0.0011-0.0042 0.0001H(∞) = 我(∞) - I（1）0.0208 0.0018-0.0047 0.0061随机方差熵递归效用1递归效用2坎贝尔-科克伦I（1）=ELt（mt，t+1）0.0218 0.0249 0.0230 I(∞) 0.0238 0.0293 0.0230小时（120）=I（120）- I（1）0.0012 0.0014 0小时(∞) = 我(∞) - I（1）0.0020 0.0044 0带跳跃性IID，跳跃随机强度恒定强度1恒定强度2I（1）=ELt（mt，t+1）0.0485 0.0512 1.2299 0.0193I(∞) 0.0485 0.0542 15.730 0.0200小时（120）=I（120）- I（1）0 0.0025 9.0900 0.0005H(∞) = 我(∞) - I（1）0 0.0030 14.5000 0.0007表5。T-配对检验。Fir st列报告了时间视界M。第二、第三和第四列报告了拒绝零假设的概率p，这与假设集群熵值（对于不同视界M的纳斯达克、DJIA和P500）具有相同的分数布朗运动均值和方差，H=0.5有关。NASDAQ DJIA S&P5001概率指数0.5154 0.8892 0.73992 0.6026 0.9257 0.83353 0.6470 0.9332 0.85884 0.6631 0.9283 0.88145 0.6823 0.9417 0.90186 0.7124 0.9534 0.92467 0.7162 0.9461 0.92248 0.7288 0.9618 0.93099 0.7370 0.9645 0.947910 0.7409 0.9570 0.933611 0.7542 0.932112 0 0.7584 0.9434 0.924850 100 150[秒]1.52.5nnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaq50 100 150[s]1.52.5ndjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjia50 100 150[s]1.52.5nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&p500图1。

表1所述纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的价格时间序列（原始数据）的聚类熵S（τ，n）与持续时间τ。如表2所示，纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的系列长度分别为N=586866、N=516644和N=5 16635。曲线指的是一个周期，即逐条数据的第一个月（M=1）。如箭头所示，每个图中的不同曲线表示移动平均窗口n的不同值。50 100 150【s】1.52.5nnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaq50 100 150【s】1.52.5ndjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjia50 100 150【s】1.52.5nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&图2。表1中所述的纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的价格时间序列（原始数据）的聚类熵S（τ，n）与持续时间τ。如表2所示，纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的系列长度分别为N=6982017、N=574 9145和N=6142443。这些曲线指的是12个时期，即2018年全年的逐点数据（M=12）。如箭头所示，每个图中的不同曲线表示移动平均窗口n的不同值。50 100 150【s】1.52.5nnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaqnnasdaq50 100 150【s】1.52.5nDJIAnDJIAnDJIAnDJIAnDJIAnDJIAnDJIA50 100 150【s】1.52.5nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&p500图3。表1所示的纳斯达克、道琼斯工业平均指数和P500市场指数的价格时间序列（采样数据）的聚类熵S（τ，n）与聚类持续时间τ的关系图。数字是指第一个月的数据（M=1）。

通过适当的采样频率，所有时间序列都具有相同的长度N=492035。不同的曲线指的是移动平均窗口的不同值n.50 100 150[s]1.52.5nNasdaqnNaqnNaqnNaqnNaqnNaqnNaqnNaqnNaqnNaq50 100 150[s]1.52.5nDjiandjiandjiandjiandjiandjiandjiandjia50 100 150[s]1.52.5nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS&P500nS图4。表1所示的纳斯达克、道琼斯工业平均指数和P500市场指数的价格时间序列（采样数据）的聚类熵S（τ，n）与聚类持续时间τ的关系图。数字是指12个月的数据（M=12）。通过适当的采样频率，所有时间序列都具有相同的长度N=492035。不同的曲线指的是移动平均窗口的不同值：n.50 100 150 200n【s】1.52.5MNASDAQM【月】1.52.5nnnnn50 100 150 200n【s】1.52.5MDJIAM【月】1.52.5nnnnn50 100 150 200n【s】1.52.5MS和p500 m【月】1.52.5nnnnnFig 5。市场动态指数I（M，n）作为移动平均窗口n的函数，根据公式（11）分别计算纳斯达克综合指数、道琼斯工业平均指数和标准普尔50指数的价格，如表2所示。每个图中的不同曲线指的是从一个月（M=1）到十二个月（M=12）不等的地平线。特别是，这组曲线对应于时间序列le-Length=4 92035，采样频率按第3节所述计算。I（M，n）被评估为熵曲线S（τ，n）的积分，类似于图3所示。插图显示了市场动态指数I（M，n）作为水平周期单位M的函数。

不同颜色的符号表示箭头所示移动平均窗口n的不同值（即n=30s、n=50s、n=100s、n=150s和n=200s）。50 100 150[s]1.52.5nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）nArtificial系列（M=1）50 100 150[s]1.52.5nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列AL系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）nArtificial系列（M=6）50 100 150【s】1.52.5nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列ICIAL系列（M=12）NARTIFIAL系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）nArtificial系列（M=12）图6。对于市场指数H=0.5的价格（采样数据）时间序列，绘制了聚类熵S（τ，n）与聚类持续时间τ的关系图。数字是指一个月（M=1）、六个月（M=6）和十二个月（M=12）的数据。通过适当的采样频率，所有时间序列都具有相同的长度n=4 92035。

不同的曲线反映了移动平均窗的不同值n.50 100 150 200n【s】1.52.5MH=0.5M【月】1.52.5nnnnnFig 7。市场动态指数I（M，n）作为移动平均窗口n的函数，根据公式（11）计算得出，pric es H=0.5。每个图中的不同曲线表示从一个月（M=1）到十二个月（M=12）的地平线变化。特别是，这组曲线对应于时间序列长度N=492035，采样频率按第节所述计算。I（M，n）被评估为熵曲线S（τ，n）的积分，类似于图3所示。插图显示了市场动态指数I（M，n）作为ho rizon周期单位M的函数。不同颜色的符号表示箭头指示的移动平均窗口n的不同值（即n=30s、n=50s、n=100s、n=150s和n=200s）。支持信息本节介绍Dropbox Share d文件夹中可用的文件：https://www.Dropbox。com/sh/9pfeltf 2ks0ewjl/AACjuScKgZxmyQmDF mGHoya？dl=0尤其可以在dropbox文件夹中找到以下项目：oData文件夹oCodes zipp e d fileDATAH05Art。。。。zip指的是两个数据文件夹。可以使用下面描述的代码生成和分析这些数据。地平线zip包含图5和图7所示的市场系列和人工系列的地平线（.MAT）估计数据。这些数据用于估计表3中报告的水平相关性。这些数据用于执行测试，测试结果见表5。代码代码。zip：包含用于分析的所有材料AB代码。下表提供了有关Codezippe d文件夹中包含的每个文件以及算法步骤的更多详细信息。表6：。

列表（f）。m代码中包含的文件。zipList of。m代码中包含的文件。zipFileName DescriptionTimeSeriesGenerator。m使用FracLab matlab环境生成时间序列。样本系列。首先，创建数据结构。其次，它对数据进行采样。它包括变量“Sampled”。如果“采样=1”，则对输出数据进行采样。如果“采样=0”，则数据为原始数据（即未采样）。价格。m它在分析熵下评估并保存价格向量。m计算序列的簇熵。它生成图纸中图1、2、3、4和6中绘制的曲线。MarketDynamicIndex。m根据公式（12）评估市场动态指数。DMIfigure。m绘制市场动态指数，即得出论文中的图5和图7。DMA。m功能后退。m函数居中。m函数maforward。m函数ComputeClusterProbability。m函数表7总结了主要计算步骤：o使用“TimeSeriesGenerator.m”文件生成数据，或使用指定格式的alreadyavailable timeserie s使用“SampledSeries.m”文件中的“采样/未采样”选项创建结构化数据通过“prices.m”创建价格向量o通过“entropy.m”评估熵（为未抽样数据系列生成图1,2；为抽样数据系列生成图e 3和图4）。o使用“MarketDynamicIndex.m”评估市场动态指数；使用“MDIfigure.m”绘制市场动态指数（图5和图7）。表7：。的工作流。m代码中包含的文件。zipWorkflow的。m代码中包含的文件。zipFileName输入文件（数据和函数）输出文件（数据）TimeSeriesGenerator。m无数据1。小地毯数据12.matSampledSeries。m数据1。小地毯数据12.mat数据样本0。小地毯数据示例1。matPrices。m数据样本0。mat，数据样本1。材料价格数据1。小地毯价格数据12。小地毯熵。m价格数据1。小地毯

., 价格数据12。小地毯DMA。m；计算群集概率。M模拟完成数据1。小地毯模拟完成数据12。matMarketDynamicIndex。m仿真完成数据1。小地毯模拟完成数据12。matMDI n价格数据。matDMI图。m MDI n价格数据。mat NoneDMA。m DMA向后。m；DMA居中。m；D前进。mNoneDMA向后。m None非DMA居中。m None NoneDMA转发。m None NoneComputeClusterProbability。m None NoneData Availability Statement纳斯达克、迪亚、SP500指数的数据已从彭博终端下载：www.bloomberg。com/pr of Professional，可供全球多个组织访问，或通过注册页面激活订阅。此外，我们还提供了一组不同长度的序列（模拟不同的权限），这些序列是通过FRACLAB工具人工生成的，可在以下位置免费访问：https://project.inria.fr/fraclab/以及一个MATLAB代码，用于生成图中所示的结果。