量化资产价格的水平依赖性：集群熵

对于每个指数，数据集都包括2018年1月至12月的逐点价格。彭博社提供的三个as集合的详细信息（股票代码；扩展名称；国家；货币；成员；长度）如表1所示。每个指数的长度指的是2018年（最后一列）。不同的时间范围被视为每个iod M一个月的月整数倍数，范围从M=1到M=12。表2中报告了十二个时间段内各子类的单独长度。为了对等长序列进行聚类熵分析，对原始数据进行采样，从而生成等长的数据序列。每个系列的采样频率是通过将到达最长层位的系列曲线的长度除以最小值来定义的，将比率四舍五入到用于对r aw数据进行采样的最新整数。以标准普尔500指数市场为例（表2第3列）。长度的最小值为M=1时（1月，N=516635），最大值为感兴趣的最长地平线（例如，N=5180006，M=10等于1月至10月的十个月）。由于每个系列的采样频率不同，我们考虑最小值，以执行具有相同长度的分析。此外，为了验证所获得的结果，在人工生成的不同长度的序列上形成了一组计算测试。人工序列是通过FRACL AB工具生成的，该工具位于：https://project.inria.fr/fraclab/.

人工序列的长度为c，与所调查金融市场的长度相对应（表2）。更多详细信息和结果将在以下部分中报告。4结果通过第2节总结的程序，计算了大量价格序列的概率分布P（τ，n）和熵S（τ，n）。第3节所述的纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数系列已用于调查。图1显示了通过使用原始数据价格计算的c聚类熵S（τ，n）。特别是，这些图指的是一个月的数据（M=1）。如表2所示，NASDAQ、DJIA andS和P500的系列长度分别为5 86866、N=516644和N=516635。图2显示了通过使用原始数据价格计算的c聚类熵S（τ，n），如inFig所示。1，但这里的系列指的是12个月的期限（M=12）。纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的系列长度分别为N=6982017、N=5749145和N=6142443，如表2最后一行所示。图3显示了通过使用抽样数据的价格序列计算的c聚类熵S（τ，n）。曲线图是指第一个月的数据（M=1）。所有系列具有相同的长度N=492035。图4显示了通过使用抽样数据的价格序列计算的c聚类熵S（τ，n）。这些曲线图指的是12个月（M=12）。所有系列都具有相同的长度N=492035。每个图中的不同曲线对应于移动平均值，变化范围为n=30 s、n=50 s、n=100 s、n=150 s、n=200 s。最大n=1500 s（步骤100s）。可以注意到，熵曲线显示出与等式（10）一致的行为。集群持续时间τ的较小值≤ n、 熵表现为对数函数。集群持续时间τ值较大时≥ n曲线以τ/n项为主，线性增加。

S（τ，n）对于较小的τ值是n-不变的，而其斜率在较大τ时减小为1/n，如式（10）所示，这意味着，由于窗口n的划分产生的有限尺寸效应，持续时间nτ>n的簇没有幂律相关。因此，它们的特征是熵值超过曲线对数τD，对应于幂律相关集群。值得注意的是，移动平均窗口n的不同值可以生成具有相同持续时间τ的簇。在τ的恒定值下，随着n的增加，获得了较大的熵值。纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数价格的熵S（τ，n）（如图1、图2、图3和图4所示）代表了在使用拟议的聚类熵方法分析的几个市场中观察到的相当普遍的行为。在下文中，我们将讨论如何通过使用在不同周期M上估计的聚类熵函数S（τ，n）来量化资产价格的水平相关性。为此，我们使用公式（11）中定义的累积信息度量函数。数量I（M，n）通过使用原始数据和抽样数据，使用在一个月到十二个月的几个时期M内估计的资产价格p的熵S（τ，n）值来计算。所有资产的价格序列的第一个iod（M=1）是在2018年1月的对应关系中确定的。多周期序列通过考虑M=2（2018年1月和2月）来构建，依此类推，toM=12（从2018年1月到12月为一年）。表2中报告了与时间水平M对应的序列长度的详细信息。图5中绘制了纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的累积信息测度I（M，n）。

人们可以观察到函数I（M，n）在不同M视界的依赖性。I（M，n）对于所有M都是相同的，这意味着在较小的sc ales（较小的n/较小的τ值）下，水平与依赖性H（M，n）的关系可以忽略不计。相反，在较大的n值下，即在幂律分布中，集群长度τ的范围较宽，跨越了十多年的值，发现了随M变化的地平线依赖性H（M，n）。对于簇的相同分布序列，I（M，n）不会随n值的Mregardless而变化。图6显示了这一点，其中显示了人工生成序列（分数随机M行走）的簇熵（τ，n）。人们注意到，在不同的层位M和聚类持续时间τ下，曲线实际上是不变的。与iid c案例的背离可以作为价格动态的衡量标准。此外，通过比较不同资产对应的数字，观察到函数I（n）的依赖性。纳斯达克指数的波动似乎大于标准普尔50指数，甚至大于道琼斯工业平均指数。5讨论与结论下一步，将聚类熵S（τ，n）和累积信息测度I（M，n）的主要分析结果与其他作者使用信息论方法获得的结果进行了比较。为了构建地平线相关性的集群熵指数，即能够提供地平线相关性估计值的合成数字参数，我们考虑由等式（12）定义的一个周期（M=1）的熵积分i（n），以及分别定义为i（1，n）和i（M，n）的一个周期M的倍数。根据公式（12）定义的数量i（M，n）称为市场动态指数。为了将我们的结果与文献[29]的结果进行比较，水平相关性H（M，n）计算为：H（M，n）=I（M，n）- I（1，n）。

（13） 表3列出了使用纳斯达克、DJ IA和标准普尔500指数计算的市场动态指数I（M，n）和水平相关性H（M，n）的值。quantityI（1，n）=I（1）是单周期熵（下限）的参考值。它是takenas I（1）=0.0049，I（1）=0。0214和I（1）=0.0197，分别适用于电力效用、递归效用和消费增长的差异习惯代理模型【29】。从图5中的曲线中获得了纳斯达克、道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数的价格I（12，n）。H（12，n）是I（12，n）和I（1，n）之间的差值，根据等式（13）。接下来，将检查通过使用集群熵获得的水平相关性值，而不是通过使用不同的代表性代理模型获得的值，以定义[2 9]中的定价核。对于PopularSet定价模型，通过衡量熵对投资期限的依赖性，对定价核动态进行了量化。定价核解释了资产收益的随机动态演化，而资产收益又包含有关定价核的信息。该分析基于价格相对于风险调整概率的真实概率分布的库尔巴克-莱布纳散度（也称为相对熵）。鉴于这些结果，有人认为，一个现实的资产定价模型应该具有实质性的单期熵和适度的期限依赖性，以同时证明股票平均超额收益率和债券收益率是合理的。连续概率测度p（x）相对于so-me概率测度p的Kullback-Leibler（KL）散度*（xt），写入：KL（P | | P*) =ZXp（xt）日志p（xt）p*（xt）dxt（14）等式。

（14） 可以解释为函数log p（xt）/p的期望值*（xt）关于概率p（xt）：KL（p | | p*) = E日志p（xt）p*（xt）（15） 可以很容易地表明，对于常数概率p，相对熵公式（14）减少到公式（5）*（xt）。资产价格分散性和动态性的研究是通过使用核函数mt，t+nexpressed的Kullback-Leibler（KL）散度的一种变体，根据真实分布和风险调整分布之间的比率来提出的【29】。在这项工作中，考虑了不同的代表性代理模型来量化市场范围依赖性H（M）：H（M）=I（M）- I（1）（16），数量I（M）定义为：I（M）=ELt（mt，t+M）M.（17），其中ELt（mt，t+M）定义为pricingkernel相对熵的平均值，I（1）在M=1的月份计算。表4总结了根据[29]的方法，使用不同代表性代理模型生成的pricingkernels估计Kullback-Leibler（KL）熵所获得的水平依赖性。为了进一步验证在真实金融市场中观察到的行为，已对通过以下网址提供的实验室工具生成的人工数据进行了模拟：https://project.inria.fr/fraclab/.FRACLAB工具生成具有指定赫斯特指数H的分数布朗运动序列。通常假设对应于金融价格的赫斯特指数为H~ 0.5.图6显示了H=0.5和不同长度N的FBM序列的簇熵曲线。对于图。

6人造系列的总长度等于纳斯达克指数的长度（N=6982017）。然后，将人工l系列划分为十二个具有相同长度的纳斯达克子序列的连续段（表2第一列的值）。图中分别指第一段（M=1）、第一个第六段（M=6）和十二段（M=12）。为了充分了解真实世界marketseries与人工生成序列表现出的不同行为，计算了人工序列的marketdynamic指数（图7）。MarketDynamic指数在不同的视界M和移动平均集群n具有相当恒定的值，因此表现出与图5所示的实际市场动态不同的行为。最后，统计显著性检验结果如表5所示。通过使用配对t检验来检验零假设=0，即在真实世界金融市场上获得的集群熵值和在人工序列（以H=0.5为基准的FBM）上获得的集群熵值来自具有相等平均值和与概率p相同方差的分布。可以在表5中注意到，零假设的真实范围为0.5154至0.7584。这证实了纳斯达克市场的表现与传统的价格变化独立随机过程的解释完全不同，正如H=0.5的FBM所暗示的那样。标准普尔500指数参展商表现为理想市场的中间趋势，可能性为0.7399≤ p≤ 0.9248. 道琼斯指数的概率介于0.8892之间≤ p≤ 0.9434.

因此，DJIA指数似乎更接近于H=0.5时FBM中涉及的完全独立随机过程的行为。从经济角度来看，结果表明，金融市场在区域特征、规模和交易量方面显然非常相似，但可能表现出不同的水平依赖性。从统计角度来看，所得结果非常稳健。因此，它们可以为开发量化风险的投资工具提供有效的基础，对投资者进行市场分类和选择策略极为有用。参考文献【1】Crutchfield JP。在秩序和混乱之间。自然物理学。2012;8(1):17–24.[2] Bandt C，Pompe B。置换熵：时间序列的自然复杂性度量。物理修订版。2002;88(17):174102.[3] Grassberger P，Procccia I.奇异吸引子s.Phys Rev。1983;50(5):346 .[4] Marcon E、Scotti I、Herault B、Rossi V、Lang G.香农多样性划分的概述。公共科学图书馆一号。2014;9（3）：e90289。[5] Karpiarz M，Fronczak P，Fronczak A.国际贸易网络：分形特性和全球化之谜。物理修订版。2014;113(24):248701.[6] Rubido N，Grebogi C，Baptista MS.复杂系统的基于熵的等级马尔可夫划分。混沌：非线性科学的跨学科杂志。2018;28(3):033 611.[7] Philippatos GC，Wilson CJ。熵、市场风险和有效投资组合的选择。应用经济学。1972;4(3):209–220.[8] 费恩霍尔茨。随机投资组合理论。In：随机投资组合理论。斯普林格；2002年，第1-24页。[9] 欧J。基于增量熵的投资组合与风险理论。《风险金融杂志》。2005;6(1):31–39.[10] Xu J，Zhou X，Wu DD.基于λ均值和混合熵的投资组合选择。运筹学年鉴。2011;185(1):213–229.[11] Usta I，Kantar YM。

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