风险控制策略

（1958）是第一个定义不相交机会约束计划的项目。Millerand Wagner（1965）研究联合机会约束计划。普雷科帕（1973）将这项后来的工作推广为非独立随机变量。具有离散概率分布的概率约束规划可以重新格式化为混合整数规划（Prekopa（1990）、Ruszczynski（2002）、Luedtke等人（2010）和Kucukyavuz（2012））。混合整数规划的求解比线性规划复杂得多，其代价函数通常是非凸和不连续的。概率方法的一个主要缺点是，损失水平不会受到处罚，也不会对这些违规行为进行控制。风险措施可以弥补这种未授权的违规行为。4.2风险度量作为约束性度量已被保险和投资公司等金融机构广泛用于评估业务线的风险水平。这种广泛使用主要是因为它在商业环境中的意义。因此，算法4.1中的概率约束被风险度量所取代。这就是算法4.2。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitF（xit-1） （4.7）在约束条件ρc（Lit）下-1（xit-1，ξit，Git，zit-1)) ≤γ（4.8）命中（zit-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.9），其中ρc（.）是量化风险等级为c的总风险敞口的风险度量。建议4.3。如果ρc，拟合-1并点亮-1是凸的，Hitis是线性的，则优化问题是凸的。如果另外适合-1并点亮-1是线性且ρcis分段线性的，则优化问题是凸分段线性的。证据由于ρcis凸和两个凸函数ρc（Lit）的合成-1(.)) 则问题是凸的。其余的证据是显而易见的。下面，我们将介绍几种分段线性的风险度量（包括CVaR）。

这概括了Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法，其中投资组合可以扩展到多个资产，并可以使用状态变量。在没有状态变量的情况下，向后运行成本函数是一个常数，除了连续值以外没有其他值。算法4.2的目标最小化很简单-1=minait-1，位-1，cit-1ait-1+位-1+企业所得税-1、不需要状态约束（4.9），约束（4.8）变成ρc（Wit-1.-Git）≤ γ，其中所需的Git为常数，且-1是（3.1）给出的线性函数。优化问题（4.7）-（4.9）需要不同的解决方案，具体取决于具体措施。最常见和最广为人知的风险度量是风险价值（VaR）。VaR因其易于计算而被广泛使用。然而，将VaR纳入优化问题是一个挑战。风险价值定义为贴现损失函数的c分位数-1、该isVaRc（点亮-1） =inf{y∈ R： 普里特-1[点亮-1> y]≤ 1.- c} 。（4.10）对于c∈ [0, 1].风险价值与概率方法有着相同的缺点，需要一些近似值才能处理（见Ben Tal et al.（2009）第4章）。条件风险价值（CVaR）被誉为一种更有意义和更合适的一致性风险度量（见Artzner et al.（1999））。本质上，一致风险度量被认为具有单调性、次加性、正同质性和平移方差的性质。请注意，VaR不具有次加性属性，因此不是一致的风险度量。CVaR风险度量，表示最坏的预期值（1-c） 损失位于VaRc分隔的尾部。根据Rockafellar和Uryasev（2000），CVaR导致了一个可处理的优化凸问题。

在ξ为离散的情况下，约束（4.8）变为-点燃-1+π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.11）uit≥ 0, 它∈ It | It-1, (4.12)π-c、 π+c≥ 0，（4.13）π+c- π-c+Xituitpit | it-11- c≤ γ、 （4.14）其中在最优性π+c时- π-cis VaRc，分为两个非负子变量，以满足标准线性规划解算器的需要。凸分段线性问题可以使用标准线性规划软件来解决。如果点亮-1为线性或凸分段线性，约束（4.11）-（4.14）为线性或等效于线性约束系统。另一个可以考虑的风险度量是下行风险的预期值，它限制了正损失。在这种情况下，约束（4.8）变为-点燃-1+uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.15）uit≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.16）Xituitpit | it-1.≤ γ、 （4.17）该算法将正损耗的期望值限制为小于γ。设置π+cand和π-（4.11）-（4.14）中的cto 0意味着CVaR优化系统变得类似于限制下行风险。CVaR和下行风险的预期值通过使用预期值控制违规来惩罚损失的价值。这可以通过惩罚大偏差来重新定义，类似于《投资组合风险管理》（Markowitz（1959））。例如，可以通过添加norm constraintkukp来实现≤ γ、 （4.18）如果k.kpi是p中的标准，则不同的标准可用于限制正损失，它们的行为不同，取决于损失的自由裁量权。例如，标准`∞限制框中的每个组件，`通过线性约束限制总损耗。范数引入了一个惩罚大偏差的二次约束。允许使用线性规划的一个好的替代方法是使用分段凸线性函数来模拟二次函数。

为此，将每个ui分解为非负子变量uit，j（j=1，…，j），并为每个子变量分配斜率拟合，jj，其中j是片段数。在这种情况下，涉及范数（4.18）的约束变为∈It | It-1JXj=1fit，juit，j≤ γ、 （4.19）uit=PJj=1uit，j。控制正损耗的另一种有趣的替代方法是通过路径约束。这是通过在T- 1和T以下约束≤ γ、 （4.20）和状态方程Zit=erzit-1+点亮-1，（4.21）对于所有it，其中状态变量Zit是沿着其路径的累积损失。请注意，此方法也可以与norm方法相结合。（4.21）中γ=0的特殊情况导致无风险策略。事实上，发行人可以承受一些积极的损失，但应该获得积极的收益，这将抵消战略成本。该策略与超级复制策略具有相同的无风险特性，同时在合同期限内允许一些积极的损失。由于VaR引入了复杂性，我们将重点放在CVaR上。请注意，让c变为1，γ变为0将导致超级复制策略。提案4.4。如果优化问题是线性和zit-1位于右侧，然后是COST to go功能Vit-1（青春痘-1） 是凸分段线性的。证据右侧凸优化问题的扰动导致了凸函数（见Rockafellar（1970））。分段线性是单纯形算法可行性标准的结果（见Bereanu（1964））。为了求解线性规划，单纯形算法进行了许多关键步骤。多参数（mpLP）是具有影响其系数的参数的LP。

一种带参数的mpLP算法-1影响右手边的解：o首先是相对于给定参数值的对偶LP，并通过最优单纯形可行性条件生成参数可行多面体区域，该区域是一块V（zit）的域-1);o 然后，以类似的方式，通过单个双枢轴步骤生成相邻可行区域，以更新相邻基的逆（Dempster（1980）中的定理1）；o继续这样做，直到覆盖所有参数集。因此，如果cost-to-go函数的数量有限，那么求解MPLP的复杂性与求解LP相当，因为从初始LP求解MPLP只需要一些额外的旋转步骤。因此，通过依赖mpLP算法，即使我们增加状态变量zit的维数，我们也可以避免陷入维数灾难-如果对偶LP不是退化的，所有这些都是完全正确的。退化是由冗余约束（redundantconstraint）引起的，即定义顶点所需的约束比定义顶点所需的约束更多。在这种情况下，多个底边与顶点关联，而通过单个枢轴步骤进行的反向底边更改不会导致操作遵循双多面体的边。在非退化情况下，多参数算法通过简单的旋转步骤探索不同基（或顶点）图的一部分，直到覆盖整个参数集。相邻多面体可行参数集仅在边上重叠。在存在退化顶点的情况下，mpLP的首要问题是选择描述顶点的基的子集，以避免复杂的可行参数区域重叠。Gal和Nedoma（1972）开发了第一种求解mpLP的算法。参见Jonesa et al.（2007）和Borrelli et al.（2003）及其参考文献，了解更多最新算法。

粗略地说，mpLP算法处理退化顶点的方式不同。4.3风险度量作为目标与投资组合选择问题类似，在目标函数中使用风险度量来选择套期保值策略。实现了基于随机规划和一致风险测度的模型。4.3.1随机规划方法第一种算法使用随机动态规划的概念，其中未来风险是平均的。在这种方法中，目标函数是当前CVaR和预期未来CVaR之间的折衷。算法4.5。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1、zite-r{CVaRc（点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +λEit-1[维生素（zit）]}（4.22）在约束下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0，（4.23），其中ViT（ziT）=0。目标函数考虑了局部风险度量和近期风险度量的加权平均值之和。在该算法中，状态变量zit是连续值（即Cit（zit）=zit），因为它是发行人继续其操作所需的金额。在这种情况下，我们根据Rockafellarand Uryasev（2000）考虑涉及三种资产的套期保值策略，算法4.5变为-1（青春痘-1） =e-rminxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xit∈It | It-1ITPIT | it-11- c+λXit∈It | It-1（θ+it- θ-it）坑| it-1，（4.24）在约束条件下分段-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1，uit≥ 0, 它∈ It | It-1，θ+it- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0, 它∈ It | It-1、（4.25）ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1，对于t=1。。。，T- 1和照明位置-1由（3.1）和（3.3）给出。在最佳情况下，值θ+it- θ-它是下一阶段的目标函数，由于它可能是负的，所以被分成两个非负的子变量。

对于t=t，我们需要删除约束（4.25）和（4.24）的最后一项。如果Vitis是由其支撑超平面定义的凸分段线性函数，则约束θ+它- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0相当于多个线性约束，其中支持Hyperplane的每个Vit（zit）都小于或等于θ+it- θ-它由于函数Git是线性的，上述优化问题是一个参数线性规划，参数zitin位于右侧。提案4.6。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1、功能Vit-1（青春痘-1） 是一个凸分段线性函数。证据尽管如此-1，线性问题涉及状态变量ziT-1在右侧。因此，优化问题是一个线性参数（ziT-1） 程序和ViT-1（青春痘-1） 是一个对流分段线性函数（见命题4.4）。对于T的所有树节点- 2、运行成本-1（青春痘-1） 在约束（4.25）中，可以用上面提到的支撑超平面代替。因此，由此产生的优化问题再次是一个线性参数规划，参数影响右侧，成本函数是凸分段线性的。通过向后推进，我们可以使用类似的参数证明代价函数是凸的分段线性函数。我们参考命题4.4之后的讨论，了解构建该成本函数的有效算法。4.4未来风险的障碍尽管算法4.5最小化了风险度量的加权平均值，但我们在回溯测试期间注意到，对于某些节点，风险度量可能采用不可接受的高值。在下面的算法中，我们试图通过限制未来CVaR来弥补这个缺点。算法4.7。

对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitCVaRc（点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） ）（4.26）在约束冲击（zit）下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0，（4.27）Vit（zit）≤ γ, 它∈ It | It-1，（4.28），其中ViT（ziT）=0。参数γ控制发行人允许的未来风险。有其他方法限制未来风险度量，例如，包括预期值。我们更喜欢约束（4.28），因为它可以更好地控制路径风险。在这里，至少有一个状态变量必须是为投资策略融资所需的初始资本。如果我们让状态向量的第一个分量是这个大写，那么第一个状态方程必须是zit-1=配合-1（xit-1).算法4.7与标准随机动态程序之间存在根本差异，因为目标函数中不再建模成本函数，而是用于约束。根据Rockafellar和Uryasev（2000），在对冲组合由三种资产组成的情况下，算法4.7的目标函数变为-1（青春痘-1） =minxit，π+c，π-c、 uit，zitπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c、 （4.29）具有以下约束条件-Git（凹坑、青春痘）+ait-1SitSit公司-1+位-1er+cit-1 IT（T）Oit-1（T）+π+c- π-c+uit≥ 0, 它∈ It | It-1，uit≥ 0, 它∈ It | It-1,π-c、 π+c≥ 0，ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1、Vit（青春痘）≤ γ, 它∈ It | It-1、与目标函数（4.24）的优化问题类似，Vitis被其支持的超平面所取代，之前的优化问题也是一个带参数zit的右侧参数线性规划。因此，该算法与算法4.5.4.4.1一致动态风险度量具有相同的特性和复杂性，并使用相同的优化技术。以下算法使用一致动态风险度量的概念来链接不同的周期。

Riedel（2004）表明，连贯的动态风险度量满足贴现递归，即算法4.8。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1、zite-rCVaRc（发光-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +Vit（zit））（4.30）在constraintHit（zit）下-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.31），其中ViT（ziT）=0表示所有it。在目标函数中，风险度量考虑了损失随机函数以及随后的近期风险度量。这允许保持某种路径上的风险控制。同样，至少有一个状态变量必须是为投资策略融资所需的初始资本。在这种情况下，状态变量zit是连续值Cit（zit）=zit。在这种情况下，我们根据Rockafellarand Uryasev（2000）考虑涉及三种资产的套期保值策略，算法4.8变为-1（青春痘-1） =e-rminxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c、 （4.32）在约束条件下-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit- θ+it+θ-它≥ 0, 它∈ It | It-1，（4.33）uit≥ 0, 它∈ It | It-1，（4.34）θ+it- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0, 它∈ It | It-1（4.35）ait-1+位-1+企业所得税-1=青春痘-1，（4.36）照明位置-1由（3.1）和（3.3）给出。θ+和θ-是一个变量的拆分，可以是正的，也可以是负的，以满足线性规划解算器的需要。Vitis通过其铭文定义建立了运营成本模型。如果Vitis是一个凸的分段线性函数，由其支撑Hyperplane定义，则约束θ+它- θ-它- Vit（青春痘）≥ 0相当于多个线性约束，其中每个支持超平面的Vit（zit）都小于或等于θ+it- θ-它与算法4.5和4.7类似，sate变量ZITE是发行人继续其操作所需的金额。性质和复杂性也类似于以前的优化问题，可以使用类似的技术。提案4.9。

前面的优化问题等价于算法4.8。证据我们真正需要证明的是，对于（4.33）的每个约束，（4.35）的关联约束也是约束的（即θ*+它- θ-*it=Vit（z*it），其中θ*+it，θ*-it和z*Ita是θ+it，θ的最佳值-it和zit）。我们将从矛盾的角度出发，假设θ*+它- θ-*it>Vit（z*it）。Letλ*它<0约束中相对于Iti的Langrange乘数（4.33）。由于我们处理的是凸优化，优化问题（4.32）-（4.36）等价于minxit，π+c，π-c、 uit，θ+it，θ-itπ+c- π-c+Xituitpit | it-11- c+λ*it部门(-点燃-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） +π+c- π-c+uit- θ+it+θ-除特殊itin（4.33）外，具有相同约束条件（4.33）-（4.36）。我们从线性优化中知道θ+itorθ-它是积极的，即在最佳状态下，两种情况中只有一种是积极的。如果θ*+it（剩余θ*-严格正，当θ*+由于λ*it<0。由于假设θ，减少是可能的*+it（分别为。-θ*-it）>Vit（z*it）。在这两种情况下，我们都有矛盾。5数字示例数字示例包括担保投资证书（GIC）和权益指数（EIA），其中指数由二项重组树管理。假设周期固定为一个月，每个周期分为N个子周期。因此，指数在每个周期内变动N次，发行人每月根据风险控制策略观察并重新平衡其对冲组合。因此，计划期的总周期数T以月表示。为简化起见，该指数将由Cox et al.（1979）模型管理，其中s=1。