风险控制策略

在这个重组树中，索引sit在每个子周期中有两种可能的结果：要么增加到uSitor，要么减少到dSit。假设递增和递减因子u和dare使指数过程收敛于对数正态分布，该对数正态分布是具有年漂移u和波动率σ的连续几何布朗运动的基础。换句话说，u=eσ（12N）-0.5和d=u-1，假设波动率等于20%。它还要求上升运动的概率由PR[Sit+n/n=uSit+（n）定义-1） /N | Sit+（N-1） /N]=eu/12- 杜邦- d=π，（5.38）对于t=0，1。。。n=1。。。。，N在周期t，索引过程根据给定的二项分布进行分布-1、Sit给出的条件过程在t时有N+1个可能结果-1ujdN-j、 j=0。。。，N具有相应的条件概率pr[Sit=Sit-1ujdN-j |坐-1] =Nj！πj[1- π] N个-j、 j=0，1。。。，N、 （5.39）因此，算法面临一个基于重组树的随机过程，其基数为-1等于N+1。树中的节点在每个周期内线性增加N个。在GIC的情况下，随机过程ξ只是S。在EIA的情况下，随机过程有两个维度：S和投保人队列。为了简单起见，我们假设通常的无摩擦金融市场：无税、无交易成本等。5.1对冲误差不匹配不同策略的效率是使用该策略产生的路径误差的贴现值来评估的。该误差由临时损失函数给出。

因此，现值对冲误差由m=TXt=1e定义-rt/12Lit-1，（5.40），其中r是年利率。出于比较目的，我们将套期保值组合的初始值Fi（xi）和贴现错配M的CVaR95%相加，然后从持有人处减去初始投资，即CR=Fi（xi）+CVaR95%（M）-1，因为初始投资假设为1。换言之，最初持有CR金额的发行人拥有最坏5%损失的预期值。该度量CR用作指导，以确定所有算法中的风险度量参数（如c、γ等）。测试这些参数的不同集合，并比较“最佳”值，以评估每个对冲策略的质量。5.2担保投资证书担保投资证书是由提供多种选择的银行发行的安全投资。它们是安全的，因为投资者的本金由发行人担保。GIC可分为两大类：可兑现和不可兑现。非现金GIC可以提供固定回报或与金融市场相关的回报。在这种情况下，GIC还可以保证最低回报。发行人通过对市场回报施加上限（称为上限）来降低此类合同的成本。GIC支付由PIT=最大值给出minh1+RiT，（1+ζ）T/12i，（1+g）T/12, （5.41）式中，ζ是年度资本化率，g是最低年度保证率，收益率R由it=SiTS定义- 1.（5.42）（5.41）中的最小值对可能的回报和最大保证最小投资回报设置了障碍，对于GIC，持续值Git（Pit，Cit）=Cit，对于t=1。。。。，T- 1因为我们没有任何中间付款。

此外，对于t=0，…，随机过程ξ是简单的。。。，T在没有相反迹象的情况下，我们假设以下情况用于分析：1年期到期合同（T=12），g=0%，ζ=6%，r=3%，u=8%，σ=20%，N=6。除了无风险资产和标的股票外，假设发行人每月可以投资1个月的欧洲看涨期权。在不丧失一般性的情况下，我们假设在时间t，发行人可以投资于欧洲看涨期权，这是货币。该期权的收益由（Sit+1）给出- Sit）+，使用Blackand Scholes（1973）获得价格Oit（t+1）。在本文中，我们忽略了考虑期限较长的金融期权，以避免更复杂的建模和算法。我们实施了涵盖多个优化期的到期日，并就向资产组中添加期权的影响得出了类似的结论。对于每种套期保值策略，使用第4节中介绍的反向方法获得最佳复制投资组合。一旦知道最优套期保值组合，就可以估计套期保值误差的分布。由于错误计算意味着每个节点都有决策，因此我们必须处理相关的展开树。在这种情况下，节点数随周期数呈指数增长。例如，展开的树在最后一个时段有（N+1）个不同的最终节点。因此，我们继续对不同的索引路径场景进行采样。我们使用50000个模拟来近似（5.40）中定义的贴现误差的分布，这将估算CR.5.2.1风险度量作为约束首先研究我们算法的稳定性。我们使用算法4.2获得了不同时期（T=2、4、6、8、12、24）和节点（N=2、4、6、8、12、24）的对冲组合初始值。

出于比较目的，风险度量阈值c设置为60%，参数γ设置为0。当两个参数都增加时，成本会增加。增加节点数会通过扩大指数分布范围来增加风险。周期数的增加会增加发行人监控其投资组合的次数，这会增加成本。当周期数和节点数都大于6时，该算法是相当稳定的。因此，将周期数和节点数增加到6以上对初始值的影响最小。T\\N 2 4 6 8 12 242 0.9948 1.0045 1.0081 1.0108 1.0124 1.01514 1.0023 1.0109 1.0113 1.0128 1.0139 1.01226 1.0063 1.0135 1.0127 1.0134 1.0115 1.01268 1.0089 1.0150 1.0132 1.0113 1.0111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.013412 1.0123 1.0116 1.012724 1.0165 1.0125 1.0112 1.0114 1.0113 1.0127表1：不同时期T和节点N的初始投资组合值f。现在，我们将CVaR的风险度量保留水平c和阈值γ设置为A约束（算法4.2）。在图2中，根据算法4.7评估不同风险度量水平（c=5%，6%，···，95%）和不同γ（0，1%，2%）的CR。CVaR59%和γ=0为失配提供了最佳结果，因为CR达到了最小值1.14%。保留水平c在45%到65%之间表现良好。当评估基于CR时，阈值γ似乎不会影响对冲组合的绩效。对于其余的数值示例，参数γ设置为0。图3显示了保留水平为固定toc=59%的对冲误差分布。该算法为错配提供了一个左偏分布，其中持有0.87%资本的发行人将面临5%的损失。开始对冲投资组合FI1的初始值为1.01。

交易预期收益为0.33%，标准差较小（1.29%）。表2给出了不同交易日数（2、4、6、8、12、24、52）的套期保值统计数据。表中的所有参数均以百分比表示。正如Gaillardetz和Moghtadai（2017）所述，改变参数需要重新调整风险度量保留水平。该表提供了风险度量阈值的优化结果。针对不同的c（5%，10%，····，95%）产生了不匹配，并给出了从模拟中获得的最低CR以及提供该结果的风险水平。表2显示，交易日数量的增加会影响错配的分布。第一个观察结果是，由于复制投资组合更频繁地控制风险，随着重新平衡数量的增加，CR的金额减少。对于少量交易日，这是不可见的。很明显，对于大量交易日，使用等于50%的风险度量阈值c获得最佳套期保值策略。由于高水平用于少量交易日期，因此下降是稳定的。节点数量也会影响算法性能。在表3中，我们将节点数N设置为2、4、6、8、12、24和52。测量CR随着节点数的增加而增加，因为增加N会增加指数分布的尾部。尚不清楚应将哪个风险度量阈值用于大型N.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0.2 0.4 0.6 0.81.2 1.4 1.6 1.8 2.22.4cCR-------------------------------------------------------------------------------OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO。

符号+，-, 和o表示γ，分别等于0、1%和2%。表4显示了不同GIC合同的CR值。该算法在不同到期日（T=24，36）、上限利率（ζ=5%，7%）以及保证利率（g=1%，2%）下执行。延长合同期限确实需要更多的资本，因为担保是在几年内花费的。然而，CR的金额仍然合理，从一年的1.14%到三年的1.87%（第一区块）。资本充足率是影响最大CR的参数。它与可能回报的尾部相关，后者受资本充足率的限制。最后一块表明，当增加保证回报率时，该算法相当稳健，这会影响可能回报率。离散套期保值误差百分比概率-10-5 0 50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std:1.29%VaR:0.87%CVaR:1.14%图3：c=59%的套期保值误差分布。表5对各种财务参数进行了敏感性分析。挥发度设置为15%和25%。短期利率和预期回报率u分别在2%和4%之间以及7%和9%之间变化。CR值对波动率变化相当稳定（见第二块），算法对预期回报变化很稳健（见第一块）。尽管基础合同的期限为1年，但短期利率的变化对投资组合的初始价值和策略的执行有重大影响，如第三部分所示。表5强调了在我们的对冲策略中引入欧式期权的影响。最后一块显示了无期权对冲策略的CR金额。对于一年期合同，发行人使用期权将CR从1.86降至1.14。

对冲策略优于Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法。发行人可能有兴趣减少图3中对冲误差尾部的左侧部分。使用路径对冲误差作为状态变量，（4.20）和（4.21），发行人可以限制2 4 6 8 12 24 52c 95 95 65 60 50 50CR 1.05 1.58 1.80 1.80 1.14 1.02 0.84表2：不同交易日期或时段的结果。N 2 4 6 8 12 24 52c 40 90 60 40 60 70 55CR 0.96 1.80 1.14 1.23 1.32 1.38 1.44表3：不同数量节点的CR量N.T c CRζc CR g CR24 45 1.71 5%60 0.73 1%60 1.3936 45 1.87 7%45 1.67 2%45 1.62表4：不同合同的结果。uc CRσc CR r c CR选项c CR7%60 1.16 15%45 1.13 2%60 2.04，含59 1.149%50 1.17 25%60 1.46 4%60 0.31，不含60 1.86表5：敏感性分析。使用参数γ的聚合误差。图4显示了与图（3）相同设置下的现值套期保值误差，但我们将每个误差路径限制为3%。与其他标准策略相比，该策略具有与对冲误差（预期收益、标准差、VaR和CR）相关的类似统计信息。两种策略的区别在于右尾的范围；该模型通过将高损耗替换为更频繁的较小损耗，消除了3%以上的损耗。离散套期保值误差百分比概率-10-5 00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std:1.28%VaR:0.95%CVaR:1.18%图4：c=59%和γ=3%的套期保值误差分布。5.2.2目标风险度量算法4.5、4.7和4.8也适用于违约GIC合同。由于算法4.5和4.8没有对风险度量施加限制，我们注意到，对于某些节点，优化结果会产生不可接受的风险度量值。

为了使这些算法更有效，我们需要对不匹配（4.18）-（4.19）或路径智能约束（4.20）-（4.21）进行额外的局部控制；这些约束减少了每个转换中的最大损失。例如，当套期保值误差的局部CVaR也限制为0时，算法4.8能够很好地执行。图5给出了算法4.8的套期保值误差分布，其中风险度量级别得到优化并设置为59%。对冲统计数据与从算法4.2获得的数据相似，复制投资组合的初始值为1.03。对于本产品，算法4.7的性能良好，但略低于算法4.8。为了紧凑起见，我们不报告结果。离散套期保值误差百分比概率-10-5 0 50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esp：-0.33%Std：1.29%VaR：0.87%CVaR：1.12%图5：一致性风险度量方法下c=59%的套期保值误差分布。5.3权益指数年金权益指数年金与GIC类似，因为它们与权益指数的表现相关，同时提供保护。然而，投资者通常会选择不同的财务担保，如最低死亡保障金（GMDB）和最低生活保障金（GMLB）。如果被保险人在延期期间死亡，最低死亡保障金（GMDB）将支付一笔有保障的金额。最低生活保障福利（GMLB）分为三种类型：最低积累保障福利（GMAB）、最低收入保障福利（GMIB）和最近的最低提款保障福利（GMWB）。GMAB是这些福利的最简单形式，被保险人有权在到期时享受单一保费或累积福利基数。

GMIB提供了获取账户价值、将账户价值年金化或以特定利率将某些担保金额年金化的选择。GMWB提供了每年少量提取一定金额的可能性。有关这些担保的全面讨论，请参见Hardy（2003）的《统计图》。重点将放在GMDB和GMAB担保上，其中可以使用提议的算法获得对冲组合。为了说明与股票挂钩的产品估值，我们考虑了一种最简单的IAS设计，即点到点的期末设计，其中指数增长基于整个年金期限内两个时间点之间的增长。该设计嵌入了GMDB和GMAB保险，以PIT=max表示在时间k支付minh1+αRit，（1+ζ）t/12i，β（1+g）t/12, （5.43）对于t=1，···，t，其中α是指数的参与度，回报率由（5.42）给出。EIA提供了在α级指数回报中的参与，以及对下跌市场β（1+g）k损失的保护。本EIA和GIC之间的主要区别在于，EIA合同在投资者死亡时终止，并且假设保险公司在期末支付收益。在这种情况下，连续值git（Pit，Cit）=Pit{Tx∈[t，t+1）}+Cit{Tx≥t+1}，对于t=1。。。，T- 1和CiT=坑，其中1{.}是一个指标函数，Txis是投保人的未来寿命（以周期为单位）（x）。指数的二项式结构保持不变。随机过程有两个维度：指数过程和队列演化。

假设这两个过程都是独立的，为了简单起见，我们的保险组合由一个投保人组成。因此，队列过程有两种状态：死亡或存活，概率为q和1- q、 分别为。转换的基数决定了它|它-1is（N+1）* 2、ξtigiven节点it的条件可能值-1 are（（坐下-1ujdN-j、 1{Tx∈[t-1，t）}）j=0，1，···，N（Sit-1uj-N-1d2N+1-j、 1{Tx≥t} j=N+1，N+2，···，2N+1。（5.44）第一次N+1转换与保单持有人在给定时期内的死亡相关，而接下来的N+1节点与（x）的存续相关。相应的条件概率为| it-1依次进行新泽西州！πj[1- π] N个-jqt公司-1，j=0，1，···，N.2N+1j- N- 1.πj-N-1[1 - π] 2N+1-j（1- qt-1） ，j=N+1，N+2，···，2N+1，（5.45），其中qt-1=Pr[t- 1.≤ Tx<t | Tx≥ t型- 1] .在没有相反迹象的情况下，我们假设以下情况用于分析：5年期合同（T=60），α=50%，β=100%，g=0%，ζ=∞. 就EIAs而言，还假设投保人年龄为50岁，其死亡率与Bowers（1997）的说明性表格一致。5.3.1风险度量作为约束使用相同的策略确定风险度量水平，这意味着c的统计CR在5%到95%之间，提供最小值的对冲策略用作参考。图6给出了c=50%时套期保值误差的分布。replicatingportfolio初始值为1.00，这正是投保人的初始投资。