风险控制策略

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英文标题：
《Risk-Control Strategies》
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作者：
Patrice Gaillardetz and Saeb Hachem
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we consider the pricing of derivative products that involve dynamic hedging strategies and payments within the planning horizon. Equity-indexed annuities (EIAs), Guaranteed investment certificate (GIC), American and Barrier options are typical examples of these products. Our exploration involves evaluation under different assumptions related to the way the risk is tailored by the issuer. The unified constrained discrete stochastic dynamic programming framework presented in this paper makes use of sequential local minimizing strategies related to stochastic transitions. This sequential minimizations takes into account all intermediate requirements and involves several dynamic risk measures modelling. To demonstrate the flexibility of this framework we present numerical examples featuring GICs and point-to-point EIAs.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑在计划期内涉及动态对冲策略和支付的衍生产品的定价。股票指数年金（EIAs）、担保投资证书（GIC）、美式期权和障碍期权是这些产品的典型例子。我们的探索涉及在与发行人定制风险的方式相关的不同假设下进行评估。本文提出的统一约束离散随机动态规划框架利用了与随机转移相关的顺序局部最小化策略。这种顺序最小化考虑了所有中间需求，并涉及多个动态风险度量建模。为了证明该框架的灵活性，我们提供了以GIC和点对点EIA为特征的数字示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Risk-Control_Strategies.pdf (2.58 MB)

2022-6-24 15:04:31 上传

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关键词：风险控制 Quantitative Requirements Minimization intermediate

风险控制策略Patrice Gaillardetz*Saeb Hachem+摘要在这篇文章中，我们考虑涉及动态享乐策略和计划期内付款的衍生产品的定价。股票指数年金（EIA）、担保投资证书（GIC）、美式期权和障碍期权是这些产品的典型例子。我们的探索涉及在与发行人定制风险的方式相关的不同假设下进行评估。本文提出的单约束离散随机动态规划框架利用了与随机转移相关的顺序局部最小化策略。这种顺序最小化考虑了所有中间需求，并涉及多个动态风险度量建模。为了证明该框架的灵活性，我们提供了以GIC和点对点EIA为特征的数值示例。部分对冲；当地风险最小化策略；随机动态规划；线性规划；参数线性规划；风险措施*Patrice Gaillardetz博士是加拿大魁北克省蒙特利尔市康科迪亚大学（ConcordiaUniversity，Montreal，Quebec H3G 1M8）数学和统计系副教授，电子邮箱：Patrice。gaillardetz@mathstat.concordia.ca+Saeb Hachem博士电子邮件：saeb@videotron.ca1引言提出了一个统一的随机动态规划框架，用于对一些人寿保险和金融产品进行定价，如股票挂钩产品、担保投资证书（GIC）和其他金融或有事项。这些问题基本上是涉及计划期内付款的衍生产品的估价。主要目标是确定控制风险的动态hedgingstrategies。风险最小化的概念最早由F¨ollmer和Sondermann（1986）提出。

尽管计算简单，损失的平方并不能区分正损失和负损失。一种更有意义的方法是使用F¨ollmer和Leucert（1999）引入的分位数套期保值方法来设定套期保值策略；这种套期保值方法实际上相当于风险价值（VaR）风险度量。F¨ollmer和Leucert（2000）扩展了这一思想，并构建了将正损失最小化的对冲策略。Rockafellar和Uryasev（2000）通过最小化条件风险价值（CVaR）和控制约束中的风险度量来设定对冲策略。所提议的框架是Schweizer（1988）和F¨ollmer and Schweizer（1988）提出的局部风险最小化方法的灵活替代方法，在该方法中，他们按顺序最小化不匹配过程的平方。Coleman等人（2006年）将这种方法应用于与股票挂钩的产品，他们也会在对冲投资组合中考虑期权。Abergel和Millot（2011）将局部风险最小化策略推广到凸函数。Gaillardetz和Moghtadai（2017）概括了使用风险度量的局部风险最小化方法。他们表明，他们的策略可以优于二次方法。根据一些动态投资组合管理标准，使用不同的风险度量，确定动态套期保值策略的最优性。对于发行人代理或公司而言，使用基于动态规划的通用平台和解决技术，可以评估不同动态风险管理模型的相对影响，以及对不同产品进行定价的实际和金融科学。倒向随机动力学模型的核心是与多维随机过程的临时条件转移相关的优化问题。控制决策是投资组合中持有的相应资产金额。

根据风险的测量和控制方式，状态变量、目标函数和约束是不同的；建模复杂性随着资产数量、交易成本、控制风险的多种途径等的增加而增加。假设随机设置是离散的，并用树来描述。随着时间的推移，Portfolio会根据与转换相关的新信息进行更新。对于每一次过渡，都可以容忍一些“可控”的损失。因此，自我融资得到了高度信任的保证，但并非所有结果都是如此。与投资组合管理问题类似，这可以通过以下两种方式来实现：o将投资组合的价值作为状态约束来最小化风险度量；o在局部风险度量约束下最小化投资组合的价值。后者概括了Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出的方法，并从线性规划（LP）优化的角度阐述了他们的工作。对于条件风险价值，我们使用Rockafellar和Uryasev（2000）的线性模型。在目标中包含风险度量的模型中，我们考虑了三种不同的方法：o在限制未来风险度量的情况下最小化局部风险度量；o最小化本地风险度量和未来风险度量之间的加权平均值；o最小化Riedel（2004）引入的一致动态风险度量。我们将从理论和数值上研究这些基本模型对定价的影响，并比较它们的相对性能。我们还提出了一些校准风险度量参数的建议。我们的主要贡献之一是，拟议框架允许对冲组合中的多个资产参与。数值测试表明，通过增加资产，衍生价格显著降低。

所提出的灵活算法适用于重组树和展开树。我们还引入了可以加强本地风险管理控制的约束。通过状态约束和变量，可以控制所有路径或场景的总损失。本文的组织结构如下。前两部分介绍了估值框架和对冲投资组合。第4节介绍了允许对冲投资组合选择的优化算法。它介绍了在约束和目标函数中使用风险度量的几种技术。第5节总结了本文的数字实现。2财务框架在本文中，为了进行数值计算，我们假设输入随机过程是一个具有有限实现数的多维离散过程。将这一过程描述为事件树便于随机动态优化；树的节点表示随机过程的可能值，弧表示过渡，即历史的可能延续。如果随机过程是马尔可夫的，则将离散过程建模为重组树可以显著降低计算复杂性，相比之下，可以将过程表示为展开树或场景树。在基础量的演化具有强烈的路径依赖性的情况下，需要用展开树来模拟更一般的随机过程。这两类树之间的主要区别在于，在重组树中，许多弧可能会指向一个节点，这意味着许多可能的历史，而在展开树中，只有一个弧指向一个节点，以转换对历史的长期依赖。

图1显示了三个周期或三个过渡的树。由于其灵活性和可操作性，晶格模型被广泛用于描述股票、股票指数、利率和其他金融证券。当涉及持有人的生活时，他们也会自然出现，因为他们是用计数过程来描述的。对于我们的算法，计算效果与节点数成正比，在重组树的情况下，运行时间与周期数成线性增长。否则，它将以指数级增长，并面临通常的维数灾难。虽然这对于我们的框架来说不是必需的，但为了符号的简单性，我们假设将规划范围划分为连续日期，t=0，1，···，t，以及随机过程的值ξ，ξ。。。，ξ皮重在这一系列日期连续已知。因此，对于给定的日期，无论随机过程的值是什么，任何下一个过渡的持续时间都是常数（构建树的另一种方法是使用随时间变化的过渡长度）。这些假设转化为一棵树，该树具有一定数量的节点，这些节点以一定数量的周期ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ图1：重组和展开三项式树。与日期相关的级别以及由圆弧表示的转换是从一个级别到下一个级别的（见图1）。设其为周期t的节点指数i，ξit为随机过程相对于节点it的值。当t=0时，唯一节点或根节点与随机过程ξ的已知值相关联。在时间t=1时，我们有尽可能多的节点ξ值。为了标记历史的延续，每个节点都通过一条弧连接到根节点。通常，在t级，t>0时，节点集包括ξt的所有可能值，每个节点ei连接到t级的至少一个节点j- 1.

对于非重组树，此连接是唯一的。让它|它-1指定一组节点，包括ξt指定父节点it的所有实现-1、出租| it-1be从节点it移动的条件概率-1至ITAN和Eit-1[.] associatedconditional期望值运算符，即isEit-1[f（ξt）]=Xit∈It | It-1f（ξit）坑| it-其中f是随机变量ξt的un函数。ξ通常是一个多元数据向量。对于担保投资证书（GIC），当联系人仅取决于股票价格时，向量是一维数据向量。如果合同依赖于多个资产或随机利率，则向量是多维的。对于股票指数年金（EIAs）问题，数据向量需要为保单持有人队列添加一个维度。在这两种情况下，与随机股票价格相关的维度由Sit表示，Sit是节点it处的股票价值。虽然所提出的框架可以很容易地处理随机利率，但为了简单起见，我们假设利率是确定性的。设r为利息力，即r为连续复合的名义利率。3套期组合和损失函数对于给定的过渡，随机过程损失定义如下。让xit成为控制变量的向量，这些变量是构成发行人为未来持有的对冲策略的资产。让Fit（xit）表示给出涉及xit的投资策略值的函数。例如，如果xit等于（ait、bit、cit），其中ait、bit和citare分别是发行人持有的股票、现金和欧洲看涨期权的金额，则Fit（xit）=ait+bit+cit。

这些投资组合可能包含更多组成部分，如其他欧洲期权或多重风险资产。在本文中，出于建模和说明目的，我们考虑了这一三维投资组合。让CIT计算延续值，这是追求发行人运营所需的超出该值的金额，该金额将针对每个模型进行规定。根据动态优化问题，CIT可能根据状态变量而起作用。让Pitt与node Itan相关的担保应付福利和Git（Pit，Cit）汇总node it所需的金额。对于GIC，收益仅在到期日（t）支付，并且在所有中间期间，Git（Pit，Cit）=Cit。对于EIA，Git是死亡收益和幸存者的延续值之和，Git（Pit，Cit）=Pit+Cit。让zit表示相对于节点Itan和Hit（zit）的状态向量-1、zit、xit-ξit，Git）是描述动态演化的多功能函数。例如，它可以用于引入资产的交易成本。对于资产的交易费用，我们必须区分已持有的ait股票-1和变化δait-1由于费用仅影响变更。因此，ait-1成为状态向量zit的一个组成部分-1和δait-1是控制向量xit的一个组件-1、与状态变量ait相关的状态方程-1is ait=ait-1+δait。如果对冲组合包括许多带有交易费用的资产，则需要许多状态变量和类似等式。在这种情况下，需要调整投资策略的价值，以考虑δait的变化。机智-1（xit-1，ξit，青春痘-1） 是对冲投资组合相对于过渡的累积it | it-1在时间t付款之前。换句话说，即-1表示在节点it上设置的复制投资组合的周期结束时的值-1.

注意，机智-1是不同结果ξit的随机变量函数。这是一组三维投资-1（xit-1，ξit，青春痘-1） =ait-1SitSit公司-1+位-1er+cit-1 IT（T）Oit-1（T），（3.1），其中Oit-1（T）是到期日为T的欧洲看涨期权的价格≥ t节点it-1、该累计对冲组合与投资变量呈线性关系。对于过渡it | it-1、如果投资或对冲组合的价值高于或等于要求的价值，即-1（xit-1，ξit，青春痘-1) ≥ Git（Pit，Cit）。（3.2）如果所有节点都观察到这种不平等，则套期保值策略是指超级复制策略。否则，如果在某些过渡期间违反了这种不平等，发行人将遭受暂时损失，在这种情况下，这只是所需金额与对冲组合累计金额之间的差异。对于过渡it | it-1、贴现损失随机变量-1（xit-1，ξit，Git，zit-1） =吉特（Pit，Cit）- 机智-1（xit-1，ξit，青春痘-1). （3.3）提案3.1。如果机智-1为凹（或线性）且Gitis为凸，则损失函数点亮-1转换。此外，如果Gitand Wit-1分段线性，然后点亮-1是分段线性的。证据如果机智-1为凹面，-机智-1是凸的，两个凸函数的和是凸的（参见Rockafellar（1970））。求和函数的域由G和W的域的交集定义，这两个域在此域上是分段线性的。对于给定的G块（多面体），在W块（可能是一个）的域中有一个多面体覆盖。由于这个多面体覆盖的每个部分都是线性的，所以和函数是线性的，因此和函数在G的给定部分是分段线性的。

类似地，求和函数在G的每个其他部分的域上都是分段线性的。当G的部分数是有限的时，求和函数与有限的部分数是分段线性的。它是连续的，因为它是凸的。4对冲投资组合选择Schweizer（1988）提出了一种局部风险最小化策略，该策略顺序最小化误差过程的平方。Gaillardetz和Moghtadai（2017）提出了部分对冲策略，通过将风险度量控制在小于给定阈值的范围内，允许一些正损失。这些风险控制策略可以通过包含更多的约束和变量以及使用线性规划技术来概括。所有提出的优化算法都使用反向动态规划方法来设定套期保值组合。首先，对所有信息进行优化，以确定对冲投资组合-根据这些结果，可以获得所有可能结果的对冲组合-2、这种反向过程导致对冲组合的初始价值。让Vit（zit）表示动态规划问题在节点处的向后成本函数。4.1概率或机会约束第一种方法基于概率约束选择套期组合。它允许在一定程度上控制损失函数。概率约束保证损失以c的概率控制。因此，算法4.1给出了优化问题。对于所有t=t，t- 1，····，1等等-1.∈ 它-1，Vit-1（青春痘-1） =minxit-1，zitF（xit-1） （4.4）在约束原则下-1[点亮-1（xit-1，ξit，Git，zit-1) ≤ γ)] ≥c（4.5）击中（青春痘-1、zit、xit-1，ξit，Git）=0（4.6），其中ViT（ziT）=所有it的Pit，和Prit-1[.] 概率是给定的吗-这将大于阈值参数γ的损失概率限制为1- c、 Charnes等人。