幂律下的尾部期权定价

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英文标题：
《Tail Option Pricing Under Power Laws》
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作者：
Nassim Nicholas Taleb, Brandon Yarckin, Chitpuneet Mann, Damir Delic,
  and Mark Spitznagel
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We build a methodology that takes a given option price in the tails with strike $K$ and extends (for calls, all strikes > $K$, for puts all strikes $< K$) assuming the continuation falls into what we define as \"Karamata Constant\" over which the strong Pareto law holds. The heuristic produces relative prices for options, with for sole parameter the tail index $\\alpha$, under some mild arbitrage constraints.   Usual restrictions such as finiteness of variance are not required.   The methodology allows us to scrutinize the volatility surface and test various theories of relative tail option overpricing (usually built on thin tailed models and minor modifications/fudging of the Black-Scholes formula).
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中文摘要：
我们构建了一种方法，该方法以给定的期权价格为尾部，行权为K$，并扩展（对于看涨期权，所有行权>K$，对于看跌期权，所有行权<K$），假设连续性落入我们定义的强帕累托定律所适用的“卡拉马塔常数”。在一些轻微的套利约束条件下，启发式生成期权的相对价格，唯一参数为尾部指数$\\α$。不需要通常的限制，如方差的有限性。该方法使我们能够仔细检查波动率表面，并测试相对尾部期权定价过高的各种理论（通常建立在细尾模型和对Black-Scholes公式的微小修改/篡改基础上）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Tail_Option_Pricing_Under_Power_Laws.pdf (449.86 KB)

2022-6-24 15:07:29 上传

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关键词：期权定价 Modification Restrictions Continuation Methodology

电力法下的尾部期权定价*+, 布兰登·亚尔金*, 奇普尼特·曼*, Damir Delic公司*, 和Mark Spitznagel**Universa Investments+纽约大学坦顿工程学院通讯作者，nnt1@nyu.eduRevision，2020年2月10日llog SLog生存功能图。1、卡拉马塔常数，其中缓慢移动的函数被常数L（S）=L安全替换。无论我们使用价格还是其几何回报，该常数都会有所不同，但与尾部指数α相对应的渐近斜率不会变化。摘要：我们构建了一种方法，该方法采用给定的期权价格尾部的行权K，并扩展（对于看涨期权，所有行权>K，对于看跌期权，所有行权<K），假设连续性属于我们定义的强帕累托定律所适用的“KaramataConstant”。在一些温和的套利约束条件下，启发式生成期权的相对价格，其中唯一参数为尾部指数α。通常的限制，如差异的不确定性，是不需要的。启发式方法使我们能够仔细检查波动率表面，并测试各种相对尾部期权定价过高的理论（通常建立在细尾模型和对Black-Scholes公式的轻微修改/篡改基础上）。一、 导言我们首先根据生存函数的性质重新定义了幂律类的传统定义。LetX是一个随机变量，属于具有“幂律”（右）尾的分布类，即：P（X>X）~ L（x）x-α（1）式中，L:[xmin+∞) → (0, +∞) 是一个缓慢变化的函数，定义为limx→+∞L（kx）L（x）=1，对于任何k>0，[1]。X的生存功能被称为“Regularitation”类RVα。更具体地说，函数f:R+→R+是指指数随指数ρ（f）变化∈ RVρ）时→∞f（tx）f（t）=xρ115 120 125 130K0.20.40.60.81.0期权价格Black-Scholes微笑力量定律图。2.

我们展示了一个直接的Black-Scholes期权价格（恒定波动率），一个带有波动率“微笑”的价格，即尾部的规模增加，以及幂律期权价格。在标的物幂律分布的简化情况下，期权价格与行权价格呈线性关系。。更实际地说，有一点，L（x）接近极限，L，成为一个常数，如图1所示——我们称之为“卡拉马塔常数”。超过该值后，幂律的尾部将使用Hillestimator等标准技术进行校准。该区域的分布被B.Mandelbrot称为strongPareto定律【2】，【3】。二、超出“KARAMATA常数”的买入价现在定义了一个欧洲买入价C（K），带有行权K和基础价格S、K、S∈ (0, +∞), as（S）-K） +，其估值根据某种概率测度P进行，因此我们需要对期权asEP（S）进行定价- K） +=R∞K（S）-K） dP。这使我们能够在两种主要方法下立即证明以下结果。A、 第一种方法；基本的S是正则变量类。我们从一个简单的案例开始，建立直觉。让我们按照1在规则变化类别RVα中具有生存函数。对于所有K>l和α>1，C（K）=K1-αlα- 1（2）备注1我们注意到，当从现有期权价格推导出参数l时，参数l包含有关S=l以下概率分布的所有必要信息，而在给定α参数下，无需估计平均值、“波动率”（即标度）和其他属性。让我们假设α是外源设定的（源自拟合分布，或者，简单地说，来自经验，在这两种情况下，α都被认为是最小限度的影响[4]）。我们注意到C（K）对分布校准是不变的，并且唯一需要的参数l是常数，在比率中消失。

现在，将市场上“锚定”尾部期权的市场价格设定为Cmwith strike K，定义为行使期权，其他期权的定价为相对价值。我们可以简单地从L生成所有进一步的攻击=(α - 1） CmKα-1.1/α并应用等式2。结果1：稳定部队K、K的相对定价低于分配≥ l、 C（K）=KK公司1.-αC（K）。（3） 其优点是消除了分布中的所有参数：我们只需要尾部期权的价格和α来构建独特的定价机制。备注2：为避免混淆L和α，尾部指数α和Karamata常数L应与指定的特定分布相对应。规则变量类中S的尾部指数α（根据1得出等式2）与r=S的尾部指数α不同-不锈钢∈ RVα。为了保持一致性，每个都应该有自己的Zipf图和其他表示。1） 如果P（X>X）~ La（x）x-α、 和P（X-二十> x个-XX）~ 磅（x）x-α、 α常数相同，但不同的L（.）将以不同的速率达到其恒定水平。2） 如果rc=logSS，则它不在正则变量类中，请参见下一个定理。α保持不变的原因是尾部指数的无标度属性。定理1：Log returnsLet S是一个随机变量，其生存函数ν（S）=L（S）S-α∈ RVα，其中L（.）是一个缓慢变化的函数。让rlbe为log return rl=logss。^1rl（rl）不属于RVα类。证据立即，由于转换Дrl（rl）=L（s）s-log（logα（s））log（s）。然而，我们注意到，在实践中，虽然我们可能需要持续的复合来构建动态【5】，但我们的方法假设此类动态包含在为分析选择的锚定期权价格（或l）中。此外，在远尾之外，logSSandS之间存在着显著的差异-不锈钢。B

第二种方法，S在Regulariation类中具有几何回报让我们现在应用于真实世界中的情况-萨雷·帕雷坦。考虑，对于r>l，S=（1+r）S，其中是基础和r的初始值~ 具有生存函数的P（l，α）（帕累托分布）K-SlS公司-α、 K>S（1+l）（4），并使用l=（α）对Cm进行拟合-1） 1/αC1/αm（K-S） 1个-αS，它和前面一样表明，几乎所有关于分布的信息都嵌入在l.LetS中-SSbe在常规变化类别中。对于S≥ S（1+l），C（K，S）=（l S）α（K-S） 1个-αα - 1（5）因此，我们可以重写公式3，以消除l：结果2：分配下的相对定价-SSFor K，K≥ （1+l）S，C（K）=K- SK公司- S1.-αC（K）。（6） 备注3与Black-Scholes修正类（随机和局部波动率模型）中的定价方法不同，（参见Dupire、Derman和Gatheral的论述，[6][7]，[8]，我们的模型和期权定价都不需要方差的完整性，如[5]所示. 唯一的要求是α>1，即有限的初始时刻。三、 看跌期权定价我们现在考虑看跌期权（或左尾对应的看涨期权，应该通过看跌期权平价套利定价）。与通话不同，我们只能考虑S的变化-SS，而不是对数回报（也不是单独取的那些）。我们构造了负的一面，其基础收益为负。设r为收益率S=（1-r） S，并让r>l>0在正域中呈帕累托分布，如图3所示。将价格以“fix K”为锚定（自2018年12月31日结算起），并使用与市场（蓝色）（“模型”）匹配的尾部指数α生成期权价格，以红色价格表示α=2.75。我们可以看到，市场价格倾向于1）符合幂律（与随机波动率和假参数匹配），2）但具有使尾部变薄的α。

这表明了声称尾部定价过高的模型是如何严重错误的。密度fr（r）=αlαr-α-1、我们通过概率变换和重新缩放基础PDF:fS（S）=-α-S-SlS公司-α-1lSλS∈ [0, (1 -l） S）其中标度常数λ=(-1） α+1（lα-1)设置为away以使fs（S）集成到1。然而，在σ的应用中，参数λ接近1，使得校正可以忽略不计√t型≤（σ是Black-Scholes等价物，意味着期权的有效性，t是期权到期的时间）。图4：。与图3中的结果相同，但使用隐含波动率表示。我们使用我们的模型与市场的比率，将价格与下行冲击的隐含波动率（锚定90、85和80）相匹配。我们假设α=2.75。值得注意的是，消除了参数l和标度λ。结果3：为K、K定价≤ (1 - l） S，P（K）=P（K）(-1)1-αS-α((α - 1） K+S）-（K）- S） 1个-α(-1)1-αS-α((α - 1） K+S）-（K）- S） 1个-α（7）IV.套利边界显然，对于高于基准单亲先前方程的罢工，不存在套利。因为我们可以验证Breeden-Litzenberger结果[9]，其中密度是从期权关于击数的二阶导数中恢复的C（K）K | K≥K=αK-α-1Lα≥ 然而，仍然有可能在Strikes K之间进行套利+K、 K和K-K违反以下边界：设BSC（K，σ（K））为行使K的调用的Black-Scholes值，波动率σ（K）是行使和到期时间t的函数。我们有C（K+K） +BSC（K- K）≥ 2 C（K），（8），其中BSC（K，σ（K））=C（K）。要满足不等式8，我们还需要一个不等的看涨期权利差，达到极限：BSC（K，σ（K））K | K=K≥C（K）K | K=K（9）120 140 160 180log K0.0010.0100.1001log期权价格Black-Scholesα=2α=52α=3图。5.

第二次校准的对数-对数图的直觉（如套利）为尾部指数α设定了一个下限。假设0速率简化：（10）α≥-对数（K- S） +日志（l）+日志（S）日志erfctσ（K）+2对数（K）- 2个日志√√tσ（K）-√S√tσ（K）Klog（S）tσ（K）+exp-对数（K）+对数（S）2tσ（K）-tσ（K）√2π五、 注释如图5所示，随机波动率模型和类似的适应（如跳跃扩散或标准泊松变化）最终在校准区域外“尾部失效”。一直以来，使用模糊的细尾概率分布（而非帕累托概率分布）来推断期权价格的尝试都很糟糕——因此，金融文献中关于“定价过高”的尾部期权的无数主张，再加上一些关于“可怕风险”的心理暗示，在此基础上是不严格的。所提议的方法使我们能够以更现实的态度对待这些主张。最后，请注意，我们的方法并不是关于尾部期权的绝对错误定价，而是相对于更接近货币的给定走向。致谢布隆·杜皮尔、彼得·卡尔、纽约大学坦顿工程学院的学生、伯特·兹瓦特以及他帮助组织的埃因霍温重轨研讨会（2019年4月6日至9日）的参与者。参考文献【1】N.H.Bingham、C.M.Goldie和J.L.Teugels，《规则变化》。剑桥大学出版社，1989年，第27卷。[2] B.Mandelbrot，“帕累托征税法与收入分配”，《国际经济评论》，第1卷，第2期，第79-106页，1960年。[3] D.Dyer，“强帕累托定律的结构概率界限”，《加拿大统计杂志》，第9卷，第1期，第71–77页，1981年。[4] N.N.Taleb，《胖尾巴的统计结果》。STEM出版社，2019年。[5] -，“方差的有限性与定量金融实践无关”，复杂性，第14卷，第3期，第66-76页，2009年。[6] B.Dupire等人，《微笑定价》，风险，第7卷，第1期，pp。

18–20,1994.[7] J.Gatheral，《波动表面：从业者指南》。John Wiley&Sons，2006年。[8] K.Demeter fi、E.Derman、M.Kamal和J.Zou，“波动性和方差掉期指南”，《衍生品杂志》，第6卷，第4期，第9-321999页。[9] D.T.Breeden和R.H.Litzenberger，“期权价格中的国家或有权益单纯形价格”，《商业杂志》，第621-6511978页。