期权价格的异常扩散：联系交易持续时间和

然而，价格动态的进一步确定性趋势，如风险溢价，仍然是可能的，可以通过适当的Yc选择来捕捉。3.1 CTRWS的联合限制我们在此描述的连续时间定价模型基于CTRW∑c的缩放限制，*对于适当选择的三角形阵列（Yci、Jci）。该设置包括经典的数学金融模型：when（Yci）i∈以有限方差为中心，所有i的Jci=1，则中心极限定理产生布朗运动。如果Ycihave in finite variance and are in the domain of attraction of a stable process X，那么它们的标度极限正好是X。考虑到具有有限期望的JIC的随机等待时间，并不能改善设置的一般性，因为更新定理Nct~ t/E【Jc】在大t的概率中。因此，为了构建交易持续时间信息影响∑c缩放限制分布的过程，必须考虑有限的平均等待时间。在这种选择下，接受限制会导致资产价格动态的异常差异模型。以下结果是整个异常差异理论的核心。定理3.1（Becker Kern、Henry、Jurleicz、Kern、Meerschaert、Sche-freger、Straka）。假设（Yci，Jci）i∈N、 c>0形成随机变量的三角形数组，并设置Rc，Tcand∑casin（2.6）-（3.1）。如果存在一个二元L'evy过程（X，L），其中L是一个具有逆过程H的从属函数，如（2.5）所示，例如↑∞（Rcc，Tcc）=（X，L），（3.3）在Skorokhod空间D（R×R+）上的J-拓扑中，thenlimc↑∞∑c=（（X-)H） +，（3.4）在D（R）上的J拓扑中，其中（（X-)H） +是通过H改变时间得到的过程的右连续版本，X的左极限过程。这个定理以各种形式出现，并且有一个有趣的演变。Becker-Kern等人对此进行了验证。

（2004）在较弱的M1拓扑下，假设仅比空间演化和等待时间之间的独立性弱一些。然而，即使声称存在限制的是XH过程，后者也可以用（X）表示-)Hunder这样的假设。Straka和Henry（2011）对此进行了评论，他们还给出了一个定理版本，允许X和L之间存在依赖关系，但排除了X或L是复合泊松过程（CPP）的可能性。通过组合得到另一个证明（Jurleicz et al.，2012，定理3.1和备注3.5），最终将Straka和Henry的结果扩展到CPP。备注3.1。除非Jciare常数或指数分布，否则CTRW极限不是马尔可夫极限。示例3.1。对于序列（Yi）i∈Nof i.i.d.以单位方差为中心的随机变量，letYci：=c-1/2Yi；进一步考虑i.i.d.序列（Jci）i∈Ndistributed as Exp（λ），对于某些λ>0。如前所述，应用中心极限定理和更新定理证明了∑cto Wλ对于某些布朗运动W的家庭收敛性。示例3.2。假设（Yi）i∈Nand（Ji）i∈iid随机变量的Nare独立序列分别属于α稳定律X和α的吸引域∈ （1，2），和β稳定定律∈ （0，1），即存在规则变化序列（Bn）n∈Nand（bn）n∈N、 有各自的指数-1/α和-1/β使得BnPni=1yi和BnPni=1ji几乎可以肯定地分别收敛于X和L。然后让Yci：=B（c）yi和Jci：=B（c）Ji，以及B（c）：=B[c]和B（c）：=B[c]生成一个显式三角形数组，以及与X和L相关的稳定过程的定理。在这种情况下，定理（3.1）崩溃为（Meerschaert and Sche-finger，2004，定理4.2）。示例3.3。

如Chakrabarty和Meerschaert（2011）所述，通过在稳定定律的吸引域中适当调节变量，可以获得CGMY过程作为CTRW极限的显式表示。将其与示例3.2相结合，为CGMY过程X和稳定的从属函数L.3.2变换分析和分数阶计算的连接提供了另一个明确的CTRW极限表示（3.4）。值得注意的是，定理3.1中的CTRW极限具有非常高的分析可压缩性。例如，逆L'evy从属函数H的概率密度已知于原始过程L的L'evy测度。类似地，XHt定律-如Meerschaert和Sche-freger（2008）和Jurleicz et al.（2012）所述，可以通过涉及νX的积分变换来覆盖其他傅里叶-拉普拉斯特征。我们回顾了以下内容（Jurleicz et al.，2012，命题4.2）：命题3.2。让XHt-与（3.4）中的CTRW限值相同，符合法律Pt。然后bPt（dz），s=sφL（s）ψX，L（z，s）。（3.5）XHt的拉普拉斯变换公式-特别简单。手头有XHt方面的信息-就所涉及的特征指数而言，根据（3.5），我们离特征函数只有一个拉普拉斯反演，我们将看到，在我们的情况下，可以显式计算该反演。从理论角度来看，该过程的FourierLaplace变换提供了一个有趣的联系，即通过CTRW极限对异常微分的随机表示，以及将其定律的经典表征为分数抽象Cauchy问题的弱解。详情请参阅Baumer et al.（2005）；Meerschaert等人（2013年）；Jurleicz等人。

(2012); Meerschaertand Sche-freger（2008），以及其中的参考文献。4资产价格模型在这里介绍了两种异常差异，以建立交易持续时间和隐含波动率表面之间的联系。定义4.1。设X为L'evy过程，L为独立的β-稳定从属，且（Yci，Jci）i∈N、 c>0满足（3.3）的三角形阵列。我们确定了基础价格S asSt=Sexp（rt+Yt），S>0，（4.1），Yt：=XHt-由（3.4）给出，并应考虑以下两种情况：（SL）纯次效用L'evy模型为（Yci，Jci）i∈n用（3.3）右侧的（X，L）来满足第3.1条的假设；（DRD）具有相关回报和交易持续时间的模型如下（Yci，Jci）i∈n用（3.3）右边的（XL，L）来满足定理3.1的假设。这两个模型看起来非常相似，唯一的区别是，第二个模型需要将回报创新收敛到从属的L’evy过程xl而不是X。然而，这种差异是至关重要的，因为这种从属关系正是D模型中引入耦合的原因。我们将表示CTRW限制YSLand ydrd，并相应地表示价格处理SSLand SDRD。基本标准L'evy模型为S=（St）t≥0withSt=Sexp（rt+Xt）。备注4.1。对于SL模型，由于X是随机连续的且与H无关，因此xht-= 每个t>0的XHtin定律。备注4.2。当β趋于1时，LTT在概率上趋于t，几乎可以肯定。因此，通常的条件独立性论证表明，St在法律上倾向于St。因此，在限制性情况下，L’evy模型得到恢复，β可以解释为调节L’evy差异的参数，因此可以量化差异的“异常”程度。示例4.1。

当X是布朗运动，L是一个独立的β-稳定从属时，由此产生的SL模型是Magdziarz（2009）首次引入的次级Black-Scholes模型。示例4.2。Cartea和Meyer Brandis（2010）引入了一个具有独立交易持续时间和回报的CTRW模型，其中条件等待时间通过hazardfunction建模。他们特别认为后者属于Mittag-Le-fluer类型P（Tn>t）=Eβ(-tβ）（另见下文（6.1），价格创新遵循任意的不可分割分布。由此产生的驱动CTRW是一个分数泊松过程（FPP），如Laskin（2003）所述；Mainardi等人（2004年），参数为β。由于FPP可以表示为CPP，时间由一个独立的逆β-稳定从属函数改变（如Meerschaert et al.（2011）所证明），因此我们的框架中包含了Cartea和Meyer Brandis（2010）提出的FPP模型。示例4.3。Scalas et al.（2000）和Mainardi et al.（2000）中的原始模型也采用了FPP表示法，其中收益创新遵循稳定分布，并且可以用三角形数组限制书写（Meerschaert和Scalas 2004）。示例4.4。Cartea和del Castillo Negrete（2007）对作为流行的列维模型的分数计数器部分获得的次级资产模型进行了综合处理，他们通过数值求解表征其转移概率的分数部分微分方程来解决期权定价问题。根据（Meerschaertand Sche-freuer，2008）的结果，所有这些模型都承认SL类型的时变表示。我们还记得，稳定的从属关系没有漂移：因此，YSLand YDRDare Lebesgue的样本路径几乎处处都是常数（Bertoin，1997，第2章），因此很方便地捕捉到逐点交易的概念以及在所有时间尺度上交易持续时间的持续性。

这也意味着Y的所有等效度量相对于通常的离散过程都是相互奇异的。然而，贴现资产价值必然包含一个Lebesgue绝对连续部分，与Y的所有等价鞅测度正交，来自市场计分法（银行账户）的贴现。因此，为了应用Delbaen和Schachermayer 1994的期权定价基本定理，我们需要取消这一部分。这明确了建模利率对Y的内部影响的选择（3.2）。当然，没有什么可以阻止物理动力学Y本身在分量X中发生漂移。在图1中，我们显示了当X是标准布朗运动时，对于两个不同的β值，H和yslw的样本路径。随着β的增加，可观察到分别回归到线性时间和标准布朗回报模型，且无交易持续时间影响。这两个过程的非马尔可夫结构捕获了在观察交易之间的随机等待时间时，价格形成中可能存在的记忆效应。正如我们稍后将看到的，时间t的过程值和自上次价格修订以来经过的时间都会影响价格演变。正如Engle和Russell（1998）所指出的，交易时间和价格回报之间的依赖性是一个公认的事实，并且在一些实证研究中得到了证实。这使得DRD模型比SL模型更现实，尽管嵌入此功能的性能方面的成本/效益影响仍有待评估。目前，观察到这两个模型具有相同数量的参数，因此建模价格/持续时间相关性不会在校准和估计中增加任何维度。在独立的时间变化方面找到DRD模型表示将非常有用，类似于SL模型的时间变化。

首先考虑定理3.1中的特例X=L。自L起-F是否适应LH：=（（L-)H） +（4.2）是FHt适应的时间变化。然后我们可以考虑由LHandsee改变的过程X时间，其中的关系是过程XL和限制过程（（XL）-H） +来自定理3.1，其中我们回忆起xl只是一个L'evy从属过程。虽然这些过程有一些相似之处，但它们的结构有所不同：特别是现在X独立于时间变化。但是，（X-五十） H=X（L-)H（4.3），因为X有左极限，而L在增加。但是然后（（X-五十） H）+=（X（L）-H） +=X（L-)H） +=XLH（4.4），因为X是右连续的。然后有两种方法可以查看DRD返回过程。CTRW极限定义为我们提供了使用连续时间变化的依赖表示。上述等式给出了一个采用不连续时间变化的独立表示。两者在续集中都会很有用。最后，让我们简要地评论一下LH过程的性质。这很容易证明，对于任何t≥ 0，左侧-= sup{s<t:s=Lu，对于某些u≥ 0}. （4.5）根据该识别，过程（LHt-)t型≥0有时被称为最后一个通过过程（Bertoin，1997，第1章），在列维过程的势理论中起着重要作用：它可以被视为一个不连续的增长过程，代表了过去Hhas开始停留在当前（时间-t）位置的时间。现在（LHt）的不连续时间-)t型≥0将L图像中的点与其右侧隔离，因为L是无漂移的，by（Bertoin，1997，第1章，命题1.9）是一组Lebesgue测度0。由此我们得出结论，LH是对第一次通过时间的正确连续修改。此外，LH的跳后值正好是t，在任何情况下，LHt≤ 几乎可以肯定。

这与对拉萨的解读有关，拉萨是一个延迟的日历时间。值得注意的是，已知LHTI的分布。我们得到以下结果：命题4.2。用参数a和b表示β分布。对于任何t>0，LHtis分布为tBβ，1-β.证据参见（Becker-Kern等人，2004年，示例5.5）或（Jurleicz等人，2012年，示例5.2）。这支持了DRD模型相对于SLD模型更大的分析可处理性：有点矛盾的是，越现实的模型也越明确。命题4.2阐明了DRD模型如何捕捉Engle（2000）和Dufour andEngle（2000）的范式。DRD随时间变化的演化遵循一种延迟日历时间的形式，[0，t]中的质量更多地集中在0或t左右，这取决于β是接近0还是接近1（图3）。该质量表示必须应用于X才能获得当前价格值的延迟量。当L的β值较低时，即交易持续时间较高时，价格演变更具粘性，因为tBβ1-β比t小得多，概率很高。这与个别交易对价格过程的影响减少有关，因为零星交易的信息含量较低。相反，作为tBβ，1-β很可能接近t（即当β接近1时），我们观察到更高的交易活动，通常与知情交易者的存在相关。在这种情况下，每笔交易对价格形成过程的贡献更大，交易对价格的影响更大。类似的推理也适用于SL模型。在这里，将从属关系与独立性相结合，会在下一次价格修订所需的时间内“延迟”X的演化，但结果移动保留了过程X的早期时间点位置的方差。

因此，β值越低，价格动态就越不稳定。5矩和时间序列属性我们推导了SL和DRD模型的一些统计特性，并对它们生成的波动率曲面的结构提供了一些初步见解，预计将在第7节进行全面分析。我们从DRD模型的矩开始，其分析可处理性起着重要作用。以下命题将（Leonenko等人，2014年，定理2.1）扩展到更高的累积量。在本节中，X是一个给定的L'evy过程，T是一个独立的时间变化，我们让κi和τi注意它们各自的i次累积量，我们假设i=1，4、提案5.1。过程Y:=Xt具有高达四阶的矩，其累积量为κY=τκ，κY=τκ+κτ，κY=τκ+3κκτ+κτ，κY=（3κ+4κκ）τ+6κκτ+κτ+κτ。（5.1）证明。在我们的符号κn=-inψ（n）X（0）. 我们按照（Leonenko et al.，2014，Theorem2.1）进行，其中通常的条件作用参数yieldsE[Yt]=iddzEe-伊兹伊特z=0=iddzEhe-ψX（z）Ttiz=0=-iψX（0）E[Tt]，（5.2），给出κY.NextE[Yt]=-ddzE公司e-伊兹伊特z=0=ψX（0）E[Tt]- ψX（0）ETt, （5.3）从（5.3）中减去（5.2）的平方，重建τ并产生κY。类似地，E[Yt]=-iddzE公司e-伊兹伊特z=0=-ψX（0）E【Tt】+3ETtψX（0）ψX（0）+iψX（0）ETt; （5.4）计算E【Yt】- 3E【Yt】E【Yt】+2E【Yt】并分解必要的τias，我们得到了κY。最后一项κYis是类似地得到的。上述命题证实了一个众所周知的事实，即从属于aL'evy过程L的L'evy模型X即使在存在中库尔特和对称的父过程X（如布朗运动）的情况下，也会产生非零偏度和峰度。我们这里的情况是相同的，并且传达了这样一个信息，即交易持续时间本身就可能是偏离正常回报的决定因素（因此，从期权定价的角度来看，会产生波动微笑）。

然而，力矩的术语结构分析完全不同。关键事实是，时变L'evy过程的时刻-时间离散度仅取决于时间变化的时刻，而不取决于X的时刻。在通常的L'evy从属情况下，即当T是L'evy过程时，我们可以看到，这些时刻在T中是线性的，这与次级过程本身是L'evy的事实一致。因此，回报的偏度和峰度随时间而消失。相反，我们的框架产生了力矩的非线性时间演化，我们对DRD模型进行了详细分析，其中这种演化是多项式的。提案5.2。对于任何t≥ 0，YDRDtareκY=βκt，κY=βκt+κ的前四个累积量（1- β） βt，κY=βκt+3κκ（1- β） βt-κ(1 - β)β(2β - 1） t，κY=βκt+4κκ+3κβ（1- β） t型-2(1 - β)β(2β - 1） κ-κt+κ（1- β)β (2 - 11β(1 - β） ）t，（5.5），并且以下渐近关系成立：limt↑∞倾斜（Yt）=√1.- 2βp（1- β） βsgn（κ），limt↑∞Kurt（Yt）=β（1- β)-,限制↓0√t歪斜（Yt）=κpβκ，limt↓0t Kurt（Yt）=κβκ。（5.6）证明。通过显式积分Beta概率密度函数，我们得到了Tt的中心矩：uT=ELHt公司= βt=τ，（5.7）ut=VLHt公司=(1 - β） βt=τ，（5.8）ut=E（LHt- τ)= -(1 - β)β(2β - 1） t=τ，（5.9）ut=E（LHt- τ)=β(1 - β) (2 -11(1 -β） β））t=τ+3τ。（5.10）由于DRD模型XT和LHTAR是独立的，我们可以在（5.1）中求解上述方程，得到（5.5）。进一步计算归一化累积量Skew（Yt）=κY/（κY）3/2和Kurt（Yt）=κY/（κY），并分别取大t的极限和t=0附近的主导阶，意味着命题中的极限。在DRD模型中，随着时间尺度变大，高阶矩不会消失，而是收敛到仅取决于β的水平，而不取决于L'evy累积量的值（κ的符号表示偏度的符号）。