期权价格的异常扩散：联系交易持续时间和

如果复值函数最终只在其中一个区域取值，则它沿方向有一个极限。在最后一行中，我们使用了limx→0 2F（a，b；x）=1，对于所有的a，b。为了替代（7.11）大T的上述表达式，我们需要在u中使用一致性参数。首先注意，当| z |趋于一致时，|ψx（z）|也趋于一致，因为x的风险中性漂移在之前必须为非零（Bertoin，1997，推论1.1.3）。这意味着沿着任何直线=（z）=c，|ψX（z）|严格递增。此外，ψXis的实部为偶数，虚部为奇数，因此此类集合上的|ψX（·+i/2）|必须是偶数函数。我们得出结论：|ψX（·+i/2）|，在原点处有一个正极小值。因此，只要T远大于1/|ψX（i/2）|，我们就可以用（7.13）代替ΦTin（7.11）。将结果表达式的第一项积分得到（7.9）中的第一项，其中cβ=2πZ∞-∞e（iu+1/2）log（K）（u+1/4）ψX（u+i/2）βdu。（7.14）关于指数次领先项，我们必须分析iβ（T）：=Z∞-∞e（iu+1/2）对数（K）e-TψX（u+i/2）（u+1/4）ψX（u+i/2）1-βdu，（7.15），可使用Andersen和Lipton（2012）中的鞍点法进行处理。根据前面的讨论，ψX（·+i/2）在0中有一个固定点，并且ψX（i/2）>0by（2.2），因此对于较大的TIβ（T）~√2π4√KψX（i/2）1-βpψX（i/2）T，（7.16），产生（7.9）中的第二项和cβ=√KψX（i/2）1-βp2πψX（i/2）。

（7.17）当β=1时，对于L'evy模型价格表示积分，整个证明坍塌为众所周知的最速下降论证（Andersen和Lipton，2012，第7节）。在SL模型中，对于任何给定的β<1，只要πβ/2<θ<min{π，πβ}，Eβ的交感级数由（Haubold et al.，2011，方程式6.5）Eβ（z）给出=ez1/ββn-1Xk=1Γ（1- βk）zk+Oz-n, 对于| arg（z）|<θ，n-1Xk=1Γ（1- βk）zk+Oz-n, 对于θ<| arg（z）|≤ π.（7.18）由于<（ψX（u+i/2））>0，对于直线=（z）=1/2中的所有α，存在足够的Tbig，使得πβ<arg(-ψX（u+i/2）Tβ）|，因此对于T>T，斯托克斯线不会交叉。因此，正确表达式是（7.18）中的第二行，我们可以重复DRD案例中的论点。备注7.2。当β小于1时，（7.9）中的第二项对于大T而言，与LeadinOrder相比，显然可以忽略不计。然而，对于固定T，当β接近1时，其贡献不容忽视。包含该术语是为了澄清与L'evy模型的收敛性。SL模型中不存在这种修正，当β=1时，价格近似值会简单下降（然而，通过主导收敛，我们仍然存在价格收敛）。命题7.2阐明了与toL'evy（或指数随机波动率）模型相比，上述看涨期权价格的收敛速度较慢。如前所述，这可以被认为是资产回报率缓慢的次效用时间差的直接后果。更具体地说，分布的性质意味着定价积分不服从拉普拉斯衰减率，因为被积函数的形式不是exp(-T f（x））g（x）。相反，我们得到了一个消失的长期波动率，因此引理7.1得到了一个持久的长期偏斜，如下所示：推论7.3。

对于β∈ （0，1），DRD和SL模型均满足σβ（K，T）的隐含波动率大T的前导阶渐近~ 2sTW2K T2βΓ（1- β） πCβ, （7.19）其中Wis为Lambert函数，Cβ>0。此外，对于所有K，α>1/2，limT→∞T-αSβ（K，T）=0和limT→∞Sβ（K，T）√T=0。（7.20）证明。使用k=log k，Black-Scholes价格的一阶展开式为simplyCBS（k，T，σ）=1- 4.√Kexp-σTσ√2πT1+OT. （7.21）通过定义隐含波动率，为了确定DRD（分别为SL）模型中σ的领先顺序，我们需要将上述分别等同于看涨期权价格扩展（7.9）（分别为7.10）），然后求解σ。我们有经验-σT√Kσ√2Tπ=CβΓ（1- β） T型-β、 （7.22）Cβ=Cβi，i=1，2，如命题7.2所示，取决于模型。设置z=σT/4，M=√2KΓ（1-β） /（Cβ√π） ，w=MT2β，则等式（7.22）读数为ezz=w。由于w>0，可以沿实轴执行z中的反转，以便很好地定义Wis，然后是（7.19）。自W（T）起~ log（T）随着T趋于完整，然后σβ（K，T）~ 2rlog（MT2β）T，（7.23）因此，对于所有α<1/2的情况，Tασβ（K，T）收敛于零，这意味着（7.3）的第一项趋向于比T慢零-α、 对于所有α>1/2，但比T快-α.研究（7.3）中最后一项的渐近性，类似于命题7.2的论点意味着数字期权I{ST≥K} 与看涨期权相同，即某些c>0的c/Tβ。然后将（7.23）与D（x）一起替换~ x/2，在（7.9）的第二项中，根据渐近等价q（ST≥ K）√T n（d(√Tσβ（K，T）））~ cexpTσβ（K，T）Tβ+1/2=cexp对数（MT2β）Tβ+1/2=厘米√T、 （7.24）根据上述推论，斜交的持续性可解释为：斜交的下降速度慢于T的任何幂-1大于1/2（因此特别慢于1/T），但始终快于T-1/2.

于是，人们自然会问，这些异常差异模型隐含的结构性差异是否也会影响到小的到期期限。事实证明，情况并非如此，至少对于DRD模型来说是这样，并且基本的L'evy模型渐近性得到了保持。更准确地说，我们有以下数字期权价格：提案7.4。如果基本的L'evy过程X是这样的Q（St≥ 1） =c+cεtε+o（tε），（7.25）对于某些c，cε，当t趋于零时，0<ε≤, 然后，对于cβ，ε：=Γ（β+ε）Γ（β）Γ（1+ε），QSDRDt公司≥ 1.= c+cβ，εcεtε+o（tε）。（7.26）证明。命题4.2允许我们编写YDRDt公司≥ 0=ZtQ（Xs≥ 0）sβ-1（t- s）-βΓ(β)Γ(1 - β） ds。（7.27）现在，注意EhBaβ，1-βi=Γ（β+a）Γ（β）Γ（1+a），对于所有a>0的情况，以及对于非常小的情况，Q（Xt≥ 0）=c+cεtε+f（t），（7.28），其中f（t）=o（tε）是原点附近的有界函数。（7.26）中的零阶和一阶项是明确的，且受主导收敛限制→0E[f（tBβ，1-β） ]t-ε=Zlimt→0f（ts）tεsβ-1(1 - s）-βΓ(β)Γ(1 - β） ds=0，（7.29），从而得出余数的小o阶ε。通过将该结果与引理7.1相结合，我们得到了DRD和L'evy波动性资产定价模型的短期ATM偏差的理想类比。推论7.5。在命题7.4的假设下，DRD模型及其基础L'evy模型具有相同的短期ATM倾斜率。证据将（7.4）中的（7.25）和（7.26）分别替换为该权利要求。正如Gerhold et al.（2016）中广泛讨论的那样，方程式（7.25）基本上涵盖了所有流行的列维模型，并具有非常不同的行为：例如，如果过程有有限的变化，则c=1，而c=1/2和cε=1/2+d/（σ√2π），ε=1/2，对于波动率σ和风险中性漂移d的跳跃式差异（Gerhold等人，2016，定理1和引理2）。当出现时，需要高阶项的临界值为c=。

在DRD模型中，引入cβ，ε不会改变渐近分析，因为骨灰是一样的。推论7.6。如果X满足（7.25），则DRD模型和基础指数L’evymodel在货币倾斜时具有相同的短期到期。在下一节中，我们将汇集所有这些结果，并了解当观察到持续的隐含波动率偏差时，它们是如何导致模型校准改进的。8数值分析8.1波动率偏差和期限结构我们在图4至图7中展示了从DRD和SL模型中提取的波动率曲面。对于X，我们使用了布朗运动（图4和图5）和带有Carr参数STAKEN的CGMY过程。等人（2001）（图6和图7），并考虑ATM的货币±40%以及最长两年的到期日。在每个图中，将异常扩散的微笑与其基础L'evy模型S进行比较。首先，命题7.2和推论7.3预测的异常扩散模型中波动率偏斜的缓慢衰减在所有情况下都很明显。尽管我们的结果预测了斜消失的渐近速率，但我们的数值测试（至少在DRDcase中）表明，这种较慢的速率早就表现出来了。有必要进行更多的研究，看看7.2提案是否可以改进，以及如何改进。在图4和图5中，给出了异常扩散模型的波动微笑和偏斜，如果L'evy产生收益的过程是布朗运动。换言之，这证明了在标准CTRW中引入有限的平均交易持续时间足以产生微笑，这与命题5.2一致。微笑似乎相当对称，这与贸易持续时间应该不会产生扭曲影响的假设一致，因为它对货币价格的影响不会有任何不同。这已经表明β和L'evy参数之间存在一些正交性。

在布朗运动的情况下，β因此“超载”，对微笑的凸性及其衰减率都负有责任。在图6和图7中，通过赋予X一个适当的L'evy结构（CGMY）来放松这一点；当倾斜的期限结构保持其较慢的波动率（由β决定）时，会出现短期倾斜。在图4和图6中，我们观察到由Mittag-Le-freger和SL和纯L’evy模型的指数型特征函数产生的“交叉”现象（图2）对隐含波动率的影响。SL表面的水平从短期状态（隐含波动率较高）过渡到长期状态（隐含波动率低于基础L'evy模型）（最终趋于零）。这种转变似乎非常尖锐。图6和图7的时间段如图8和图9所示，并进一步突出了上述备注。图10至图13强调了当β接近1时，时间段与基础L’evy模型的时间段的收敛性。对于SL模型，这种收敛是从上方开始的，而对于DRD模型，则是从下方开始的。还请注意，DRD模型比SL模型表现出更大的ATM倾斜。8.2校准推论7.3和命题7.4表明，从校准的角度来看，模型应表现如下：列维参数具有短时尺度效应，在引入β时不受影响，因此它们应吸收短时倾斜和微笑。然而，β正是控制表面长期结构的组成部分，其中L’evy结构是弯曲的，没有影响，因此应允许拾取长期倾斜。为了验证这一点，我们从一个给定的L'evy模型S生成了3个月和6个月的波动率偏差，该模型代表了我们的基线合成市场数据。

为了产生两种持续波动的情景，在保持3个月不变的情况下，我们将6个月的偏差向前移动，使其分别与1年和18个月的偏差一致。然后，我们将S、SSLand SDRDT横截面校准为基线情景中的3个月和6个月偏差，以及第一和第二情景中的3个月和1年（分别为18个月）截面。校准问题设置如下。设C（K，T；β，Γ）为SL或DRD模型的理论所有价格，其中Γ表示X的L'evy参数，byC（K，T）为通过上述程序获得的合成市场价格。目标是在一组n个到期日和m个罢工的报价上最小化均方根误差（RMSE）。校准参数为：arg minβ，Γvuutm×nm，nXi，j=1 | C（Ki，Tj；β，Γ）-C（Ki，Tj）|。（8.1）我们使用m=8，对应于S=100的±20%货币，步长为K=5。根据上文所述的场景，Tjchosen的进一步n=2。为了解决上述优化问题，我们使用差分进化全局最小化算法。Gilli和Schumann（2011）的核心MATLAB实现可以在GitLab存储库中免费获得https://gitlab.com/NMOF/NMOF2-Code.该代码使用Heston-Heston（1993）特征函数及其积分形式来计算目标函数（8.1）中使用的买入价格。数值求积方法为高斯-勒让德法。Wethus只需将其替换为我们的特征函数ΦT，该函数由函数SEA（对于SL模型）和F（对于DRD模型）组成，其。m-文件可从Mathworks网站获得，基本驱动的特征指数ψxo返回L'evyprocess X。

我们对X有两种不同的选择：一种正常的逆高斯过程（NIG；Barndorff-Nielsen 1997），参数化来自Cont和Tankov（2004）；和VarianceGamma（VG；Madan et al.1998）过程。因此，我们总共校准了四个异常扩散模型，即：SL-VG、SL-NIG、SL-VG和DRD-VG，加上两个基础的L'evymodels VG和NIG（使用（8.1）的明显修改）。差异进化算法的参数选择如下（详情参见（Gilli和Schumann，2011））。总共产生了nG=100个世代（停止条件），每个世代的群体nP=10d个个体跨越搜索空间，其中d是要估计的参数数量。因此，对于DRD和SL模型，nP=40，对于L'evy模型，nP=30。我们使用变异系数F=0.5来确定新群体个体与当前个体的偏差，在应用选择测试之前，交叉概率CR=0.95的变异存活率。此外，每10代我们执行一次解决方案改进的直接搜索，每个搜索由两个搜索者组成，最多运行100次迭代，容差级别为0.001。这种参数选择遵循普遍应用的经验法则，这似乎适用于所有模型。高斯-勒让德方法的积分截断为±200，积分在50个节点处计算。结果如表1至表3所示。在表1中，我们表示了基准情景：所有三个模型都完美地拟合了合成的列维市场数据。正如预期的那样，SL和DRD模型中的β参数校准为1，并且不会对缩放产生任何改善。在长期倾斜持续的情况下，L'evy模型的总误差大于β<1的SL和DRD模型的总误差。

对这两种情况进行比较，我们观察到，对于这两种模型，第二种情况下的β比第一种情况下的β小，因为后一种情况下的长期偏差更大。这可以解释为交易持续时间更长的资产。通过比较不同模型的误差，SL模型在所有情况下都显示出更好的拟合效果。然而，这不一定被解释为一种总体优势：更好的校准可能只是因为由L'evy模型生成的合成市场数据，并且SL分布更接近L'evy。9结论我们建议在期权定价的背景下使用异常差异过程，这允许在价格变动之间自然地纳入交易持续时间。利用到达时间分布服从幂律的TRW极限来模拟资产收益，分析了对收益分布的期限结构和相应的隐含波动率的影响。更具体地说，即使在长期价格演变中，观察到的市场波动偏斜持续性也可以用交易时间随机性的不可忽视的影响来解释。我们分析了两种情况，即价格创新要么依赖于交易之间的等待时间，要么独立于交易之间的等待时间。这两个模型都与计量经济学的观察结果一致，即持续时间越短，价格修订的变化越大。最后，我们再次指出，尽管这两个模型导致了类似的大成熟度隐含波动率特性，但它们不同的分布特性产生了相当不同的波动率曲面形状。数值实验证实，对于期权定价，异常差异模型有可能捕获波动率偏斜的缓慢衰减，同时保留纯L'evy模型的短期良好特性。参考Sandersen，L.和Lipton，A.（2012）。

渐近指数L'evy过程及其波动性模型：综述和新结果。《国际理论与应用金融杂志》，16（1）。巴恩多夫-尼尔森，O.E.（1997）。正态逆高斯分布和随机波动性建模。《斯堪的纳维亚统计杂志》，24:1-13。Baumer，B.、Meerschaert，M.M.和Sche-freuer，H.P.（2005）。时空分数微分算子。《美国数学学会会刊》，133:2273-2282。Becker Kern，P.、Meerschaert，M.M.和Sche Free，H.P.（2004）。耦合连续时间随机游动的极限定理。《概率年鉴》，32:730–756。Bertoin，J.（1996年）。列维过程。剑桥大学出版社。Bertoin，J.（1997）。从属关系：示例和应用程序。《概率论与统计学讲座》，第1717卷，第1章，第1-91页。斯普林格。卡尔。，P、 ，Geman，H.、Madan，D.和Yor，M.（2001年）。资产回报的详细结构：一项实证调查。《商业杂志》，75:305–332。Cartea，A.和del Castillo Negrete，D.（2007年）。跳跃市场中期权价格的分数差分模型。Physica A，374:749–763。Cartea，A.和Meyer Brandis，T.（2010年）。基础证券交易之间的持续时间如何影响期权价格。《金融评论》，14:749–785。Chakrabarty，A.和Meerschaert，M.M.（2011）。作为随机游动极限的调和稳定定律。统计和概率字母，81:989–997。Cont，R.和Tankov，P.（2004年）。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994年）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，第463-520页。Dellacherie，C.和Meyer，P.A.（1978年）。概率与潜力，第1卷。爱思唯尔。Dufour，A.和Engle，R.（2000年）。交易的时间和价格影响。《金融杂志》，55:2467–2498。Engle，R.（2000年）。