期权价格的异常扩散：联系交易持续时间和

正如经常提到的，瘦肉症和回报的负偏度是隐含波动微笑的重要驱动因素。因此，推断偏度和过度峰度的非零时间限制决定了波动率随时间的持续性是有意义的。相反，对于接近于零的t，可以观察到瞬间爆炸，如在L’evycase中；这种爆炸的速度正是指数L'evy模型的爆炸速度，包括常数因子（直至β的异常化）。这表明，DRD隐含波动率的短期微笑/扭曲行为应与基础L'evy模型的相同。我们将验证这些直觉，并在第7节中使问题更加精确。对收益率序列属性的分析源于我们所研究的模型的观察结果，尽管它们自身的过滤不是马尔可夫的，但它们承认马尔可夫嵌入。值得注意的是，这种嵌入的边缘分布在DRD过程中是已知的。对于任何t≥ 0，我们定义了反向续订时间vt：=t- LHt，（5.11），表示从当前瞬间t到上一次价格变动所经过的时间。了解t的价格和上次价格变动以来的时间足以充分描述未来资产演变的规律。提案5.3。下列性质成立：（i）对（YSL，V）和（YDRD，V）是时间齐次马尔可夫过程；（ii）过程YSLHA为相关增量，而YDRD为不相关增量；（iii）YSLAR的增量是非平稳的，而YDRD的增量是弱平稳的；证据第（i）项在（Meerschaert和Straka，2014，定理4.1）中得到了证明。对于SL模型，可以从（Leonenko et al.，2014，示例3.2，等式9）中推断出语句（ii），因为在我们的情况下，E[X]6=0。

对于DRD型号，对于s≤ t、 我们可以写（为了方便起见，我们去掉modelsuperscript）E[XtXs]=E[（Xt-Xs）Xs]+EXs型= （t-s） sE【X】+sV【X】+sE【X】=tsE【X】+sV【X】，因此根据独立性和条件COV（Yt，Ys）=ELHtLHsE[X]+ELHsV[X]- ELHt公司ELHsE[X]=CovLHt，LHsE[X]+ELHsV[X]。（5.12）因此，考虑到增量并使用上述内容，以及命题5.1，Cov（Yt- Ys，Ys）=Cov（Yt，Ys）- V【Ys】=E【X】Cov（LHt、LHs）- V[左侧]= E[X]Cov（LHt- LHs，LHs），（5.13），因此在LHt上等效检查返回自相关的缺失。现在（Meerschaert and Straka，2014，示例5.4）给出了条件转移概率pt（y，v，dy，dv）：=P（LHt∈ dy，Vt∈ 马氏过程（Yt，Vt）的dv | y，v）为：pt（y，0，dy，dv）=v-βΓ(1 - β） （t- v） β-1Γ（β）δy+t-v（dy）dv1{0<v<t}，pt（y，v，dy，dv）=δy（dy）δv+t（dv）v+tv-β+零电压+电视vv型-βδv+y+t-v（dy）（v+t-s-v） β-1Γ（β）βs-β-1Γ(1 - β） ds！dv。显式积分我们得到的第二条线pt（y，v，dy，dv）=δy（dy）δv+t（dv）v+tv-β+δv+y+t-v（dy）t型- vv型β（t- v+v）-1Γ(β)Γ(1 - β） dv，其中，对于t>t，联合概率密度Pt，tfor（LHt，Vt，LHt，Vt）可通过查普曼-科尔莫戈罗夫方程Pt，t（dy，dv，dy，dv）=Pt（0，0，dy，dv）Pt获得-t（y，v，dy，dv）。对于0<v<t，从上述显式形式积分出DV和DV- y、 0<v<t- y向接缝密度（LHt，LHt）：Pt，t（dy，dy）=yβ-1[（t- y） （t- y） ]-β（y- t） β[Γ（1- β） Γ（β）]（y- y） {0<y<t<y<t}dydy+（t- y）-βyβ-1Γ(1 - β） Γ（β）δy（dy）dy。

（5.14）设置t=t和t=t+h，长积分屈服强度（LHt+h，LHt）=ZR+×R+yyPt，t+h（dy，dy）- βt（t+h）=Zt+htZtyβ-1（（t- y） （t- y） （）-β（y- t） β（Γ（1- β） Γ（β））（y- y） dydy+Zt（t+h-y）-βyβ+1Γ（1- β） Γ（β）dy- βt（t+h）=tβ（t+2hβ+tβ）-βt（t+h）=t（1- β） β=V【LHt】，（5.15），因此Cov（LHt+h- LHt，LHt）=Cov（LHt+h，LHt）- V【LHt】=0，表明DRD模型的增量不相关，且（ii）成立。最后，使用（Meerschaert和Sche-freuer，2004，推论3.3）和条件论证，我们发现YSL增量的预期值依赖于t，因此这些值不可能是平稳的。组合E[YDRDt+h- YDRDt]=在DRD增量之间没有相关性的情况下，E【X】βh显示出弱平稳性，并完成了（iii）的证明。通常认为，在滞后几分钟以上计算的返回时间序列不显示自相关。平稳性也是回报所显示的一个理想的统计特性：DRD模型捕捉到了这两个风格化的事实，这在这方面与L'evy过程非常相似。然而，SLD模型没有这些特性，进一步表明DRD模型可能更可取。6度量变化和衍生品估值6.1等价鞅度量变化为了应用经典估值理论，需要证明物理动力学允许鞅规范，并确定（如果可能）明确的等价鞅度量。在我们的模型中，市场风险有两个来源：收益分配的不确定性和交易持续时间，分别由过程X和L捕获。我们原则上可以考虑影响这两个过程动态的度量变化。

然而，由于任意两个稳定从属函数的L'evy测度的海林格距离是有限的，因此α稳定过程通过等价测度变化是不稳定的。例如，如果使用标准Esschertransform，在测量更改后，过程将变得稳定。因此，由于我们对SL和DRD模型的风险中性参数化感兴趣，我们将把我们的分析限制在只涉及X定律变换的等价鞅测度类。正如人们可能合理猜测的那样，这样的一类与基础L’evy模型本身是鞅的等价测度集相一致。提案6.1。设S为P和Q下的SL或DRD类型~ P一个等效测量值，如（e-rtSt）t≥0是Q下的L'evy指数鞅。定义Radon-nikodym导数Z：=dQ/dP，考虑其时间变化ZH，对于形式（2.5）的任何H，并通过deQ/dP：=ZH引入度量eq。然后e-rtSDRDtt型≥0和e-rtSSLtt型≥0分别是Q和Q下的鞅。证据对于SSLmodels，该陈述源自（Torricelli，2020，定理2），将Lt视为β-稳定的从属，St=e-rtSSLt，Xt=ZT，Ht=1，对应于从属项中度量值的无变化。对于DRD模型，必须观察到LHI有大量的停止时间族，因此-rtSDRD=exp十、*左侧是Q byDoob最优抽样定理下的鞅。我们再次强调，这是所有可能的等价鞅测度的子集，并且出于技术原因，我们忽略了工期风险的市场价格。例如，通过考虑更广泛的一类在Esscher变换下闭合的回火稳定从属，可以获得一个可以对该风险进行定价的模型。

托里切利（Torricelli，2020）研究了这门课以及市场完整性的相关问题；另请参见Fries和Torricelli（2020），了解交易持续时间由市场暂停引起的情况。6.2定价公式已确定风险中性规范以时变鞅指数的形式出现，命题3.5可与标准积分价格表示相结合，得出半封闭形式的估值公式。值得注意的是，SL和DRD模型中的对数价格的特征函数可以用一个参数Mittag-Le-finger函数a（z）进行非常简单的表示：=∞Xk=0zkΓ（ak+1），（6.1），其中Γ是通常的伽马函数，并且是反超几何函数f（a，b；z）：=∞Xk=0（a）k（b）kzkk！。（6.2）定理6.2。设Y为定义4.1中的任一过程，F（·）为T时的或有索赔。假设x 7→ f（x）：=f（ex）是Fourier可积的，设SF是其Fourier变换的全纯域BF。设Φt（z）：=E[E-izYt]是根据命题6.1中所述的相关度量所取的yt的特征函数，用Syitshalomorphy域表示，并假设Sf∩ SY6=. p=E给出了在T时支付F（ST）的衍生工具的价格poe-rTF（ST）=e-rT2πZiγ+∞iγ-∞ΦT（z）bf（z）（SerT）izdz。（6.3）γ值∈ 选择R，使积分线位于Sf中∩ SYandΦt（z）=（Eβ-ψX（z）tβ, 如果Y=YSL，F（β，1，-tψX（z）），如果Y=YDRD。（6.4）证明。在给定的假设下，Plancherel表示（6.3）是标准的（例如见Lewis（2001）），我们只需要证明（6.4）。在SL模型中，通过X和L的独立性，我们得到ψ（s，z）=φL（s）+ψX（z）=sβ+ψX（z），命题3.2然后yieldsL（Φt（z），s）=sβ-1sβ+ψX（z）。（6.5）翻转右侧，如（Haubold et al.，2011）所示，即得到（6.4）。

在条件化和应用命题4.2后的DRD模型中，我们得到Φt（z）=E经验值-ψX（z）LHt= E[经验值(-tψX（z）Bβ，1-β） ]，（6.6），下面的陈述来自Bβ的特征函数，1-β.备注6.1。大多数软件包中都提供了Mittag-Le-fluer和Confluent超几何函数的快速计算例程。此外，通过观察三参数Mittag-Le-fier函数a、b、c（z），可以在单个软件实现中统一这两个函数=∞Xk=0（c）kzkΓ（ak+b）（6.7）表示Ea，1,1（z）=Ea（z），E1,1，c（z）=F（c，1，z）。此外，如果a=b=c=1，则（6.7）恢复为标准指数，这与SSLand SDRDrevert为指数L'evy模型S的事实一致。备注6.2。函数Eβ是整函数，f（β，1，-tψX（·））在没有负实轴的复平面上是正则的；因此Sf∩ SY6= 仅取决于ψXandbf的域。备注6.3。如果xH具有FPP结构，则（6.3）与（Carteaand Meyer Brandis，2010，定理3）给出的公式一致，此时跳跃大小具有不完全可分分布。我们可以看到，定价公式是通过将指数函数替换为两种不同类型的“拉伸指数”，从标准L’evy情形中正式获得的。参数β放松了特征函数的形状，尤其是尾部，从而产生了与基本情况非常不同的大额到期价格。这克服了标准模型（L'evy和指数a ffine）的“指数曲线”，对于该模型，长期到期期权价格遵循领先阶经验的拉普拉斯型渐近(-T）/√T我们将在下文第7节中更好地详细说明这一点及其对波动率表面的影响。请注意，这两个功能（6.1）和（6.2）具有非常不同的行为。

例如，在图2中，我们可以看到（6.1）有一个交叉区域，其衰减从超指数过渡到次指数，而在（6.2）中，被积函数总是主导指数。这对波动率表面的形状有着巨大的影响，如第8.7节波动率表面的时间渐近所示。考虑到目前的讨论，我们自然预计交易持续时间（至少以我们选择的模型形式）对波动率表面的影响。我们构建的异常分歧过程是次分歧，因此，与基准L'evy模型相比，分布分散速度较慢，因此，对于大型到期日，期权价格收敛较慢。这就是说，由于Black-Scholes是一个L'evy模型，使用次级价格反转Black-Scholes公式应产生一个消失的隐含波动率期限结构，以匹配较低的价格-时间演化。不太直观的是找到长期偏斜下降速度应低于标准波动率和随机波动率模型的原因。第5节提供了第一个答案：随着时间的增长，我们模型中的偏度和峰度不趋向于零，而是收敛到一些严格的正水平。因此，排除了高斯时间收益聚合，时间逆转到波动率可能会在时间上被推得更远。然而，正如我们将要展示的那样，一个详尽的答案是，隐含波动率的偏差和水平是相互关联的，而渐近消失隐含波动率的性质足以阻止偏差时间衰减。在本节中，我们一般用Q表示命题6.1的两个风险中性度量中的任何一个。在不丧失一般性的情况下，我们在这里假设r=0，S=1，表示C（K，T）行使K和到期T的看涨期权价格。

在Black-Scholes模型中，dSt=σStdWt，σ>0时，此类看涨期权的价格由cbs（K，T，σ）=SN给出dσ√T- 千牛dσ√T- σ√T, （7.1）其中d（z）：=-log（K）z+z，N表示标准高斯累积分布函数，N表示其导数高斯密度函数。对于K，T≥ 0，隐含波动率σ（K，T）是C（K，T）=CBS（K，T，σ（K，T））的唯一非负解，隐含波动率skew定义为（K，T）：=σK（K，T）。（7.2）Rogers和Tehranchi（2010）知道，对于每个K，S（K，·）随着成熟度的增加收敛到零。我们从以下无模型引理开始，在基础分布的一些Milda假设下，该引理将偏斜的时间衰减与其水平联系起来。引理7.1。Let（St）t≥0是一个鞅，使得STI定律对于每个t都是绝对连续的，并且当t趋于完整时，分布收敛到零。（i） 对于任何K≥ 0，如果限制↑∞√Tσ（K，T）=∞ 然后，当T趋于完整时，S（K，T）=Tσ（K，T）1+2对数（K）- 4Tσ（K，T）+OT-2σ（K，T）-Q（ST≥ K）√T n（d）（σ（K，T）√T））；（7.3）正如Rogers和Tehranchi（2010）所示，高斯聚集绝不是微笑的原因。（ii）当T趋于零时，S（1，T）=r2πT“- Q（St≥ 1) -σ（1，T）√T√2π+Oσ（1，T）T#. （7.4）证明。我们只证明了第一个陈述，第二个陈述在中得到了证明（Gerhold等人，2016年，引理2）。由于St有一个绝对连续的定律，那么根据（Figueroa-L'opez et al.，2011，Lemma C.1），存在（7.2）中的S，KC（K，T）=-Q（ST≥ K） ，链式规则屈服强度（K，T）=-KCBS（K，T，σ（K，T））+Q（ST≥ K）σCBS（K，T，σ（K，T））。（7.5）设置z=√Tσ（K，T）。使用Black-Scholes Delta和Vega的公式：S（K，T）=N(-d（z））- Q（ST≥ K）√T n（d（z））。（7.6）我们记得，N（·）是标准高斯累积分布函数。

自年月日起至年月日(-x） =n（x）x1.-x+Ox个-4.andd（x）=x+4对数（K）x+Ox个-5., （7.7）然后(-d（z））√T n（d（z））=√T d（z）1.-d（z）+Od（z）-4.=√T z1+2对数（K）- 4z+Oz-4.,（7.8）和（7.3）之后替换为z，并将上述内容与（7.6）结合。备注7.1。如果S=exp（X）是某个L'evy过程X的鞅，根据6.1的证明，我们的模型可以写成某个时间变化Tt的SttF，因此当t趋于完整时，SttConvergence几乎可以肯定为零，前提是我们知道这一点对St成立。指数L'evy模型的这种性质可以用函数恒等式证明，因为假设e[X]<0意味着（Bertoin，1996，VI.4，练习3），XT偏离到-∞. 由于Jensen不等式，当X是鞅时，负第一时刻总是存在的。考虑到价格过程的绝对连续性，这源于一个事实，即所涉及的过程定律是分数阶柯西问题的弱解。可以使用argumentsanalogous to（Jurlevicz et al.，2012，示例5.2-5.4）找到这些。这个引理的第（i）部分暗示隐含波动率的水平和倾斜是纠缠在一起的：如果不假设零或接近的渐进隐含波动率水平，就无法修改倾斜下降的前1/T阶。反过来，隐含波动率的下降只能通过期权价格分布收敛到低于高斯分布的现货价格来实现，这正是基于异常差异的模型的显著特征。第（ii）部分是一个已知的事实，最初在（Gerhold et al.，2016，Lemma 2）中观察到，这突出了数字期权的价格与货币倾斜的小时间之间的严格关系。它将在后面的推论7.5中使用。定理7.2。

当T趋于完整时，对于任意K，我们对Callprice C（K，T）有以下渐近展开式≥ 0：（i）在具有β的DRD模型中∈ （0，1），当β=1时，Lt=t，存在Cβ和Cβ>0，使得C（K，t）=1-{β6=1}CβΓ（1- β） Tβ1+OT-cβΓ（β）e-TψX（i/2）T3/2-β1+OT; （7.9）（ii）在具有β的SL模型中∈ （0，1），存在Cβ>0，使得C（K，T）=1-CβΓ（1- β） Tβ1+OT. （7.10）证明。由于我们在定理6.2的假设下，我们可以考虑看涨期权的价格表示C（K，T）=1-2πZ∞-∞e（iu+）对数（K）u+1/4ΦTu+idu（7.11），可通过在条带内移动积分轮廓=（z）=1/2并应用留数定理（见Lewis 2001）从（6.3）中获得。现在（7.11）中的被积函数被一个可积函数所包围，因此通过支配收敛，我们可以将极限视为T趋向于C（K，T）在积分符号下的唯一性。因此，一旦我们确定ΦTwe的渐近展开式，我们就可以积分得到的表达式，得到感兴趣的渐近方程。在DRD模型中，假设β<1。首先，由于积分线包含变量变元点，我们必须确保斯托克斯现象不会发生。对于大的| z | is，渐近展开ofF（a，b，z）（Luke，2012，第4章）：F（a，b，z）~Γ（b）Γ（b）- a） z-aeiΔπaFa、 1+a- b-z+Γ（b）Γ（a）za-bezF公司b- a、 1个- a、 z（7.12）δ=1，如果=（z）>0，δ=-1否则。因此，当=（z）=1/2时，由于<（ψX（z））>0，对于大T |ψX（z）|的不等式（6.4），我们有明确的行为f（β，1，-TψX（z））~（TψX（z））-βΓ(1 - β） F级β、 β，（TψX（z））-1.+e-TψX（z）(-TψX（z））β-1Γ（β）F1.- β, 1 -β, -（TψX（z））-1.~（TψX（z））-βΓ(1 - β） +e-TψX（z）(-TψX（z））β-1Γ（β）（7.13）复值函数的渐近行为在复平面的不同区域可能不同，这通常被称为斯托克斯现象。