期权价格的异常扩散：联系交易持续时间和

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Anomalous diffusions in option prices: connecting trade duration and the
  volatility term structure》
---
作者：
Antoine Jacquier and Lorenzo Torricelli
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  Anomalous diffusions arise as scaling limits of continuous-time random walks (CTRWs) whose innovation times are distributed according to a power law. The impact of a non-exponential waiting time does not vanish with time and leads to different distribution spread rates compared to standard models. In financial modelling this has been used to accommodate for random trade duration in the tick-by-tick price process. We show here that anomalous diffusions are able to reproduce the market behaviour of the implied volatility more consistently than usual L\\\'evy or stochastic volatility models. We focus on two distinct classes of underlying asset models, one with independent price innovations and waiting times, and one allowing dependence between these two components. These two models capture the well-known paradigm according to which shorter trade duration is associated with higher return impact of individual trades. We fully describe these processes in a semimartingale setting leading no-arbitrage pricing formulae, and study their statistical properties. We observe that skewness and kurtosis of the asset returns do not tend to zero as time goes by. We also characterize the large-maturity asymptotics of Call option prices, and find that the convergence rate is slower than in standard L\\\'evy regimes, which in turn yields a declining implied volatility term structure and a slower decay of the skew.
---
中文摘要：
反常扩散是连续时间随机游动的标度极限，其创新时间按幂律分布。与标准模型相比，非指数等待时间的影响不会随时间而消失，并导致不同的分布扩散率。在金融建模中，这被用来适应逐点定价过程中的随机交易持续时间。我们在此表明，异常扩散能够比通常的列维或随机波动率模型更一致地再现隐含波动率的市场行为。我们关注两类不同的基础资产模型，一类具有独立的价格创新和等待时间，另一类允许这两个组成部分之间的依赖性。这两个模型抓住了众所周知的范式，即交易持续时间越短，单个交易的回报影响越大。我们在半鞅环境下充分描述了这些过程，导出了无套利定价公式，并研究了它们的统计性质。我们观察到，随着时间的推移，资产回报的偏度和峰度并不趋于零。我们还描述了看涨期权价格的大成熟度渐近性，并发现收敛速度比标准列维制度慢，这反过来会导致隐含波动率期限结构的下降和偏斜的缓慢衰减。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Anomalous_diffusions_in_option_prices:_connecting_trade_duration_and_the_volatil.pdf (807.28 KB)

2022-6-25 07:15:38 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：持续时间 distribution Quantitative Convergence asymptotics

期权价格的异常差异：联系交易持续时间和波动性期限结构*Antoine Jacquier+Lorenzo Torricelli2020年4月13日摘要由于连续时间随机游动（CTRW）的标度限制，其创新时间根据幂律分布，因此出现异常差异。非指数等待时间的影响不会随着时间的推移而消失，与标准模型相比，会导致不同的分布扩散率。在财务建模中，这被用来适应逐点定价过程中的随机交易持续时间。我们在此表明，异常差异能够再现隐含波动率的市场行为，比通常的列维或随机波动率模型更加一致。分析了两类不同的底层资产模型：一类是独立的价格创新和等待时间，另一类是允许这两个组成部分之间存在依赖关系。这些模型捕获了众所周知的范式，根据该范式，较短的交易持续时间与个别交易的高回报影响相关。我们在半鞅环境中充分描述了这些过程，得出了无套利定价公式，研究了它们的统计特性，特别是观察到，随着时间的推移，资产收益的偏度和峰度不会趋于零。

最后，我们描述了看涨期权价格的大成熟度渐近性，并发现现货价格的收敛速度比标准列维制度慢，这反过来会导致隐含波动率期限结构下降和偏斜的时间衰减变慢。关键词：异常差异、波动率倾斜期限结构、衍生品定价、CTRW、逆L'evy从属、时间变化、L'evy过程、子效应、贝塔分布、三角阵列。1简介在定量金融中，资产回报模型通常根据It^o Diffusions orL'evy类型模型发展。从微观结构的角度来看，这些可被视为缩放极限*作者感谢Mark Meerschaert和Peter Straka提出的宝贵建议。+伦敦帝国理工学院数学系和艾伦图灵学院经济与管理系。电子邮件：lorenzo。torricelli@unipr.it.of到达时间呈指数分布的连续时间随机游动（CTRW）。相反，将CTRW时间改变为一个等待时间服从幂律的更新过程，在标度极限下会产生一种异常的扩散，即一种时空传播过程，其中粒子以不同于线性的速率扩散，这在经典扩散情况下可以观察到。Mainardiet et al.（2000）和Scalas et al.（2000）率先在金融模型中使用异常差异，并证明它们对捕捉记忆效应、交易闲置时间和高频时间序列显示的其他微观结构价格特征非常有用。然而，对于连续时间期权定价而言，异常差异的应用还很少。Magdziarz（2009）引入了次差异Black-Scholes模型，以捕获资产陈旧性和交易不活跃期，但没有说明对期权定价和隐含波动性的影响。

Cartea和Meyer Brandis（2010）分析了创新时间根据Mittag-Le-freger-hazardfunction分布的CTRW的波动性表面，得出了明确的期权定价公式，并提供了证据证明可以捕捉长期偏斜和微笑。我们在这里展示了股票回报的异常差异如何也可以捕捉隐含波动率表面的长期行为。具体而言，我们认为，缓慢衰减的波动率偏斜的持续性可以通过假设交易持续时间的存续会影响更长的到期日来解释。我们考虑收益和创新时间随机游动，它们在标度极限下收敛到一对L'evy过程，其中一个过程是从属过程。根据Beckerkerkern等人（2004）；Meerschaert和Sche-freuer（2008、2010）；斯特拉卡和亨利（2011）；Jurlewiczet等人（2012年），随着创新时间的更新过程而变化的相关CTRW时间收敛到异常差异，可以表示为时间变化的L’evyproces。一个吸引人的特点是，已知该极限特征函数的拉普拉斯变换（在时间变量中）的解析公式和密度函数的积分表达式（在L'evy测度方面）。我们分析了两类不同的反常扩散模型。第一种是纯次效应L'evy模型（SL），其中CTRW限制性差异由一个独立的逆稳定从属变量改变的L'evy过程时间组成。文献中已经研究了此类模型的几个实例。就生成分数福克-普朗克方程而言，Cartea和del Castillo-Negrete（2007）对此类方程进行了研究。Magdziarz（2009）引入了父L'evy过程是布朗运动的特殊情况；Cartea和Meyer Brandis（2010）中的复合泊松案例。

托里切利（Torricelli）（2020）最近提供了一种通用的处理方法，即当行驶噪声为一般L'evy过程时。此外，Mainardi et al.（2000）、Scalas et al.（2000）中的经典模型也承认SL形式的代表性：我们将此类模型重新审视为随机时间变化，非常适合用于期权定价目的的工具。次级效用模型的时变表示也为我们的第二类模型铺平了道路，发展了最初出现在（Becker-Kern等人，2004，示例2.8）和（Jurleicz等人，2012，示例5.4）中的想法。该资产价格演化现实地结合了列维母公司收益产生过程与交易等待时间建模的逆稳定从属公司之间的依赖关系。我们称之为具有相关回报和交易持续时间（DRD）的模型。这两个模型除了是随时间变化的随机游走逐点价格模型的自然结果外，还得到了Engle（2000）和Dufourand Engle（2000）的计量经济学分析的有力支持，并在随后的大量实证研究中得到证实。有证据表明，交易活动与价格影响呈负相关，即资产价格的“波动性”：交易越少（持续时间越长），价格创新越缓慢；相反，激烈的交易（短期）与较高的价格波动相关。值得注意的是，这一原则在我们的环境中得到了体现。我们在半鞅动态环境中描述此类股票模型，在适当的等价风险中性度量下，导致无套利定价关系。使用Jurleicz等人的结果。

（2012）关于异常差异的傅立叶-拉普拉斯变换，我们进一步提供了熟悉的Parseval-Plancherel期权价格公式，以符合Lewis（2001）的精神。此外，我们研究了该模型的矩和序列相关特性，并表明DRD模型中资产回报的偏度和峰度会在很大时间内收敛，并且不会消失，这与L’evy模型相反，尤其会导致长期波动率微笑上的深刻差异。最后，我们描述了看涨期权的大到期行为，并发现其收敛速度远慢于标准的列维或随机波动率制度。我们揭示了一种关系，根据这种关系，隐含波动率水平的下降意味着一种缓慢衰减的倾斜，至少与L'evy和指数模型相比。但我们发现，波动率水平（缓慢）消失是这些模型的一个重要特征，因为长期价格的收敛速度比标准模型慢得多。最终，对于DRD模型，我们证明了偏差的消失率比通常的1/T慢，这与市场数据一致。如第8节中的校准所示，异常差异模型的实际重要性在于，与列维模型相比，“持续时间参数”β改善了多个到期日的横截面fit，同时对短期到期校准几乎没有影响。这正好解释了β是一个长期倾斜分量。我们认为，这项工作的贡献是多方面的。

我们在交易持续时间和偏斜持续性之间建立了明确的结构联系；我们引入了一个分析模型，该模型解释了交易持续时间以及交易等待时间和回报之间的依赖关系，与计量经济学文献一致；我们系统地统一了在单时变表示下SL模型的处理和相应的分析公式；最后，我们扩展了Meerschaert和Sche freuer（2004）以及Jurleicz等人（2012）对“β-时间”过程的分析，通过其时变表示提供了其矩和统计特性。在第2节中，我们将介绍基本的构建块和一些有用的符号。在第3节中，我们介绍了基本逐勾模型的CTRWs组件以及导致其极限连续时间版本的收敛定理。第4节介绍了反常微分及其分析性质和时变半鞅表示，第5节描述了它们的统计性质。在第6节中，我们将介绍如何构建等价的定价措施，并为欧洲看涨期权价格提供完整的价格表示。这使我们能够在第7节中研究相应隐含波动率的结构，特别强调其大型到期性质。最后，在第8节中，我们从数字上强调了SL和DRD模型的有趣特征，并表明这两种模型都能很好地适应市场数据。下面是2个基本要素（Kyprianou，2014年，第1章）。

在市场过滤中(Ohm, F、 （Ft）t≥L'evy过程X的唯一特征是其L'evy指数，即函数ψX:C→ Cde通过关系E确定e-izXt公司= 经验值(-tψX（z）），由L'evy khintchine公式ψX（z）=izu+zσ显式给出-ZR（e-izx公司- 1+izx1I | x |<1）ν（dx），（2.1）其中u∈ R、 σ≥ 0，而ν是集中在R \\{0}上的度量，因此rr（1∧ x） ν（dx）是有限的。为了保证资产定价模型的一些最小性质（第一时刻的存在），我们总是假设z | x |>1exν（dx）<∞. （2.2）从属项L几乎肯定是一个非递减的L'evy过程，L'evy测度νL支持在（0，∞), 以及通过关系式E定义的拉普拉斯指数的L’evy Khintchine表示e-sXt公司= 经验值(-tφL（s））简化为φL（s）=su-Z∞（e）-苏- 1） νL（du），（2.3）表示u>0，其中∞uνL（du）<∞. 二元L'evy过程（X，L），L为从属过程，具有联合Fourier-Laplace变换E[E-izXt公司-sLt]=经验值(-ψX，L（z，s）=izuX+suL+zσ形式的tψX，L（z，s））-ZRZ公司∞e-izx公司-苏- 1+izx1I | x |<1νX，L（dx，du），（2.4），带L'evy-Laplace三重态（（uX，uT），σ，νX，T）。对于过程Y，我们表示Yt-表示左极限的随机变量，Yt+右极限的随机变量，和Y-= （年初至今）-)t型≥0和Y+=（Yt+）t≥0相应的流程。如果Yis是一个L'evy过程，则随机连续性意味着Y=Y-= Y+最多修改一次。流程Y被称为流程X的修改，如果t、 P（Xt=Yt）=1。[t]的第一次击中时间，∞) L的F是随机变量ht：=inf{s>0 | Ls>t}，（2.5），它是根据首秀定理（Dellacherie和Meyer，1978）进行F-调整的，当且仅当L严格增加时才具有连续路径。过程H被称为L的逆从属过程。

这里我们特别感兴趣的是L是α稳定的从属函数的情况，即ψL（s）=sα，α∈ （0，1），其相关逆从属项在分数计算和异常差异理论中居于中心地位。继（Jacod，1979年，第10章）之后，时间变化是一种非递减的几乎可以肯定的有限过程（Tt）≥0在很大一段时间内，几乎肯定会出现分歧。特别是，L和兔子时间都会改变。如果X是一个Ft-适应的半鞅，那么它的时间变化T就是Ft-适应的半鞅XT：=（XTt）T≥此外，如果X几乎肯定在所有集合上都是常数[Tt-, 我们说X相对于T是连续的；在这种情况下，保留了许多其他性质，并且具有T的X标度的半鞅特征。随机变量的三角形数组是随机变量（Yci，Jci）i的集合∈N、 c>0由比例参数c索引，以便每个（Yci）i∈Nand（Jci）i∈Nis是一个i.i.d.序列，但不一定相互独立。对于固定c，变量ycire表示第i个对数返回的解释，而jci表示两次连续价格变动之间经过的时间。我们可以将（Yci，Jci）与两类连续时间随机游动（CTRW）联系起来：Rct：=[t]Xi=0yci，Tct：=[t]Xi=0Jci，（2.6），并将计数过程Nct：=max{n:Tcn联系起来≤ t} 。

符号B·表示概率测度的傅里叶变换，时间变量中的拉普拉斯变换由L（·，s）表示，其中s是新的变换变量。3微观结构收益及其分析性质在微观层面上，我们假设在时间尺度c下，收益和交易时间的时间序列由随机变量的三角数组（Yci，Jci）i确定∈N、 Yci所在地∈ Rdeterminates the大小的回报隐含的股票价格变化的条件，以观察价格修订，而Jci>0规定的时间之间的后续修订。然后，renewalprocess Nc对应于t时的价格变动总数，而tick by tickreturns process∑cis则由随时间变化的Rc给出，Nc：∑ct：=NctXi=0Yci。（3.1）在时间t时，价格将移动一个数量niycii，如果第n个到达时间记录在时间t之前。或者，如果等待时间变量Jcn+1的值小于t，则价格将在时间t>s之前再次移动一个数量ycib- s、 我们假设存在一个恒定的无风险市场利率r>0，影响价格在时间上的线性增长，与时间尺度无关，并将（3.1）修改为∑c，*t： =rt+NctXi=0Yci。（3.2）应进一步解释修改的原因。目前，我们注意到，必须从只有价格创新与市场观察相对应的意义上理解这种逐点实际模型。因此，随机行走∑c中引入的线性漂移，*两次价格变动之间不会产生交易价值，只会在修订时影响价格。