作为市场不平衡度量的最优交易策略

a-b-c增量测量a-b-c特性。a-b-c-process的演变如下：a）a-property决定了时间波动，从而决定了某个范围内下一个事务的时间；b） b类房地产决定价格波动和范围内下一笔交易的价格；c）c属性负责当前范围/会话最后一个价格和下一个范围/会话第一个价格之间的价格变化，并按价格连接两个相邻的范围/会话。在sth会话的第rth范围内的任何时间或价格都是第一次或价格加上a或b增量的代数，ri=ts，r+iXk=2ts，rk，i=1，Ns，r，（14）Ps，ri=Ps，r+iXk=2Ps，rk，i=1，Ns，r.（15）通常，当迭代索引大于最大值时，sumsPvanish，例如，如果i=1。从第一笔合同交易开始计算的时间和价格为，ri=t1,1+s-1Xj=1mjXl=1Nj，lXk=2tj，lk+mjXl=2tj，l+tj+1+r-1Xl=1Ns，lXk=2ts，lk+ts，l+1+iXk=2ts，rk，（16）图6:ZSN13于2013年5月21日星期二交易。自上而下：价格vs。时间，N=N20130521,1+N20130521,2=9202+58381=67583个事务标记，a-b-c流程的a-b部分；有过滤交易的MPS成本为75美元；卷刻度；累积体积；事务到达的速度。Ps，ri=P1,1+s-1Xj=1mjXl=1Nj，lXk=2Pj，lk+mjXl=2Pj，l+Pj+1+r-1Xl=1Ns，lXk=2Ps，lk+Ps，l+1+iXk=2Ps，rk，（17）式中，i=1，Ns，r，s=1，n、 r=1，如果每个范围至少有一个刻度，则方程1-17是精确的。在等式17中，第一个价格加上a）最后一次请求的sth会话之前所有范围和会话的b、ci和c增量，b）最后一次请求的sth会话之前所有范围的b和ci增量，以及c）剩余的b增量直到第i个增量。时间方程16相似。

a-b-c过程、a策略、流动性、a-b-c增量柱状图、价格和交易量分布可如图6、7所示。图7:2013年5月21日星期二交易的ZSN13。频率直方图。顶部（从左到右）：a-增量（以秒为单位），最小增量为零；b增量（几乎对称但非高斯）。底部（从左到右）：形成多模态经验分布的价格（垂直中心线为平均值，左右线标记密度范围的70%，“价值区”，平均值为15%，从两端开始阶梯）；卷，最小值为1。7.2两个Shiryaev的任务描述财务节拍Albert Shiryaev【205，第379页】阐述了两个主要任务（作者从俄语版翻译过来）：（I）“节拍之间的【VS：时间】间隔长度的统计数字是什么；（II）价格变化的统计数字是什么【VS：节拍之间】（绝对……或……相对价值）”。任务（I）与a属性和a增量相关。任务（II）与b属性和b增量相关。阿方索·杜福尔（Alfonso Dufour）和罗伯特·恩格尔（Robert Engle）[41，p.2467]评论了人们对此类研究日益增长的兴趣：“交易数据的大型数据集和强大的计算设备的可用性引发了对市场微观结构研究的新一波兴趣，并为其假设的实证研究开辟了新的领域”，见文章集[125]。8 a增量a增量是不同的石头建筑交易时间。Globex交易是由匹配的图书订单引起的。a-b-c过程取决于到达的订单、图书状态和匹配算法。如果一个订单与队列中其他两个较小的订单匹配，则会触发两个事务，两个事务之间会有一个CPU时间。CPU指令需要纳秒。如果书籍正在等待订单，则最短时间由订单转移决定。延迟增加。

图1中11:00:00的一秒钟内的806个事务均匀分布将产生a增量1/（806+1）=0.0012秒。非均匀性会缩短一些时间。顺序顺序处理意味着非零a增量。然而，一秒钟的报告不准确给人留下了离散和零的印象。8.1截断后1秒不准确【11:00:00，11:00:01）→ 11:00:00, [11:00:01, 11:00:02) →11： 00:01，对于一次刻度，a增量0.5±0.5秒设置为零。对于11:00:00、11:00:01，设置为1，持续1±1秒。对于11:00:00,11:00:02，设置为2，持续2±1秒。具有讽刺意味的是，11:00.00.800、11:00:01.100、11:00.01.800报告为11:00:00、11:00:01、11:00:01，与a增量1和0不匹配，相差0.3和0.7秒。将时间四舍五入到秒也有问题：11:00:00.499→ 11 : 00 : 00, 11 : 00 : 00.500 → 11:00:01，a增量1保持0.001秒。这“错误地重塑”了高流动性下a增量的经验分布，并通过概率密度为零的理论连续分布使其近似变得复杂。真正的零a增量要求同时进行事务处理。最终，它可以实现类似于并行和多线程计算机应用程序。8.2不规则等待时间Benoit Mandelbrot和Howard Taylor【144，第1057页】写道：“……任何时间段内的交易数量都是随机的……”。因此，滴答声之间的持续时间是不规则的。这些作者和Peter Clark[28][29]都是研究者，他们强调了这一事实对融资的重要性。随机时间是随机价格的一个下级。亚协调过程理论是由所罗门·博希纳（SalomonBochner）[22]提出的。高频交易（High frequencytrading）推动了定期收集价格的传统。查尔斯·古德哈特和莫林·奥哈拉的评论【68，pp。

80-81和第74页）：金融市场行为的传统研究依赖于以固定时间间隔得出的价格观察结果。这种抽样模式可能是由一种普遍观点决定的，即无论推动证券价格和回报的是什么，它在短时间间隔内可能不会有显著变化。金融领域的几项发展改变了这种看法。。。高频数据的一个基本特性是，观测可以在不同的时间间隔发生。交易在非正常时间独立于“观察”进行。常规时间的观测将错过许多滴答声。表15总结了a增量的简单统计信息。一个疗程内时间范围内的样本分别处理，并在日期列中标记为1和2。它们也组合在一个样品中。这些日期标记了此类聚合和一系列会话。8.3发现的主要规律作者注意到样本过量峰度和a增量偏度之间的非线性依赖关系，图8。谷物是赢家。有趣的是，范围和聚集的点属于一条曲线。2013年4月29日、30日和5月13日、29日ZCN13的四个异常值对应于平均值<1。对于流动合同，时间不准确会严重影响统计数据。2013年5月21日和23日ZSN13的两个异常值也证实了这一点。在许多会话中，ZBM13和ESM13的平均值增量小于1秒，见表15。关于时间差异的结论对他们来说是可疑的。其他“星团”与谷物有同感。图8的右下图将991个条目与1.5<平均值<8000的条目组合在一起。它类似于威布尔峰度和偏度之间的已知依赖关系【188】。

线“ALL”中的点偏离并被排除在外。对于相同的991个实体，标准偏差和平均值与相关系数0.957、斜率2.65和截距54.2相关，见图9。一个区间内所有a-增量的总和接近其持续时间，推动了一条三元曲线：平均值vs.Ns，r。假期前和最后一个交易日的短区间和交易日产生了异常值。图10所示，对于液体较少的会话，噪声较大，其中A1和a2增量与范围持续时间相当。A增量直方图（图7）可转换为经验累积分布函数ECDF（图11）。累积分布函数CDF是概率分布的全部特征。Kolmogorov【100】定义：“让x，x，…，xnbe按照相同的分布规律P{xi相互独立的随机变量≤ ξ} =F（ξ）。。。将Fn（ξ）=N（ξ），其中N（ξ）表示观察值不超过ξ的x的数量。F（ξ）是CDF。Fn（ξ）是ECDF。这个定义意味着计算重复次数。1秒的不准确度对它们有影响。因此，对于排序链1、2、2、5、5、7、8、9、9，作者将ECDF构建为（值，概率）：（1，0.1），（2，0.3），（5，0.6），（7，0.7），（8，0.8），（1，0.8），（1，0.1，0.1），（1，0.1，0.1，0.6），（2，0.3），（2，0.3），（2，0.6），（2，0.7 9，1）. Kolmogorov的定义是直接计算ECDF，成对。但是概率是不是有一个值≤ 7等于0.6或0.7？鲍里斯·格涅登科（Boris Gnedenko）[66，p.201]澄清：例如，按照升序x排序的示例*≤ x个*≤ . . . ≤ x个*nECDF isFn（x）=x为0≤ x个*,KNEX公司*k<x≤ x个*k+1,1表示x>x*n、 （18）这并不假设重复，但应用到我们的示例中会导致它们的内在品质：（x≤ 1，0），（1<x≤ 2，0.1），（2<x≤ 5，0.3），（5<x≤ 7，0.6），（7<图8：流动性期货的样本超额峰度与样本偏度的依赖关系，2013年3月至7月。x≤ 8，0.7），（8<x≤ 9，0.8），（9<x，1）。

因此，使用的ECDF保持连续。它是一个一致估计量，在x上一致收敛到n的CDF→ ∞（Glivenko-Cantelli主要统计定理【66，pp.201-207】）。图11上的计算点采用了调整重复次数的方程式18。表15中A1-ALL和A2-ALL中的平均值通常大于inA-ALL，而单个a2s，尤其是a1s，在范围和会话中通常为零：事务在第一秒和最后一秒到达。每个studiedsession都有一个或两个区间，给出了一个或两个a1s和a2s，对于非流动性合约来说，这两个区间很大。相反，a增量Ns、r的数量-1通常比2大。单一的非流动性“异常值”对a1和a2的影响强于A增量统计。让我们考虑一个范围为T，N的两个会话 N> 蜱虫的均匀分布：a=a1=a2=TN+1和a=a1=a2=TN+1。平均a增量为（a（N-1） +a（N-1） ）N+N-2.≈2TN。平均a1和2区域1+a1=a2+a2≈2TNbut2TN2TN。157 ZCN13的a1s由153个零、13、916、60和30秒组成。在2013年7月7日19:00:00 CT开放的范围内，第一笔交易于19:15:16到达，产生a1=916。平均值6.4904大于平均a增量2.1373。图9:2013年3月至7月交易的16种期货的标准偏差和平均值（左）之间的线性相关性以及超额峰度与偏度（右）的抛物线相关性。9建议对威布尔分布进行评论[41，pp。

2475-2476]对于描述交易之间的持续时间，威布尔分布是一种“似是而非的假设”：“如果数据显示过度分散的极值（非常短和很长的持续时间）比指数预测的可能性更大，则首选威布尔分布。”指数分布CDF（x）=1- e-λx，x≥ 由于图8，对于作者来说，恒基度为2，峰度为6的0是不合理的。沃洛迪·威布尔（Waloddi Weibull）于1939年提出了一个自1951年以来的统计分布。南希·曼恩（NancyMann）认为，这与菲舍尔·蒂佩特（Fisher-Tippett）的III型分布相似。威布尔三参数CDFisCDF（x）=F（x）=1- 经验值-x个- xuxo公司m级, （19） 其中，xu是位置或阈值，xo是比例，m是形状或图10：平均a增量是刻度数的可预测函数。模量。通过x的微分得到概率密度函数，PDF，P DF（x）=DF（x）dx=mxox个- xuxo公司m级-1exp-x个- xuxo公司m级. （20） 对于x<xu，CDF和PDF设置为零。设置xu=0，得到了RosinRammler方程[187][236，讨论1952]。可使用替换z=（x）导出分布平均值α-xuxo）m，x=xu+xozm，dx=xomz1-mmdz和第二类Euler积分Gamma函数的性质，对于实x>0[34][111]Γ（x）=R∞e-ttx公司-1dt，Γ（x+1）=xΓ（x），Γ（1）=1α=Z∞xuxP DF（x）dx=Z∞（徐+xozm）e-zdz=xu+xoΓ1+米. （21）用z，方程20，21和牛顿二项式（a+b）k=Pkj=0Cjkak-jbj，其中Cjk=k！j（k）-j） 哦！[111]，我们得到第k个中心力矩（关于平均值）uk=Z∞xu（x- α） kP DF（x）dx=Z∞hxu+xozm- αike-zdz=图11：a增量的典型ECDF，2013年4月5日=xkokXj=0Cjk(-1） jΓj1+米Γ1+k- jm公司= xkoW（m，k）（22）这些时刻并不取决于xu。方差k=2等于方差=u=xoΓ1+米- Γ1+米（23）uq/uqpp=W（m，q）/Wqp（m，p）的比率不取决于xo。

因此，偏度=u=Γ1+米- 3Γ1+米Γ1+米+ 2Γ1+米Γ1+米- Γ1+米, （24）过量峰度=峰度- 3 =uu- 3 = -3++Γ1+米- 4Γ1+米Γ1+米+ 6Γ1+米Γ1+米- 3Γ1+米Γ1+米- Γ1+米（25）仅依赖于m，且m-参数相互依赖。Lanczos近似法【117】对于伽马函数计算非常有效。方程24和25用于绘制图8上的威布尔曲线。它类似于数据，但随着偏度的增加，会经历一个系统性的上移。10关于库马拉斯瓦米分布的评论进行水文研究，Ponnambolam Kumaraswamy发明了三种概率分布[114]-[116]。zmin一个【116】≤ z≤ z轴CDF（z）=F（z）=F+（1- F） 1个-1.-z- zminzmax- zmin公司一b（26）式中，F（zmin）=F，F（zmax）=1。Fis zmin的累积概率。将F（z）与z进行微分，得出PDFP DF（z）=ab（1- F） Z最大值- zmin公司z- zminzmax- zmin公司一-1.1.-z- zminzmax- zmin公司一b-1（27）这与原始f（z）[116，第81页，方程式3]的系数zmax不同-zmin。事实上，库马拉斯瓦米对x=z的F（z）进行了微分-zminzmax-zmin代替承诺的z，z=zmin+（zmax- zmin）x，dz=（zmax-zmin）dx。应注意F，因为erzmaxzminp DF（z）dz=1-FB但不是一个。起始第k个力矩可表示为αk=Zzmin-∞zkP DF（z）dz+ZzmaxzminzkP DF（z）dz+z∞zmaxzkP DF（z）dz，其中最后一个积分为零，但第一个积分为zkminfac，计算zmin处的概率质量（而非密度）。Q=zmax时-zmin和Kumaraswamy的x，ZzmaxzminzkP DF（z）dz=z（zmin+Qx）kab（1- F） xa公司-1(1 - xa）b-1dx==ab（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZxa-1+j（1- xa）b-1dx。应用牛顿二项式。

如果y=xa，x=ya，dx=axa-1dy，然后ZZMaxzMinzKP DF（z）dz=b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZyja（1- y） b类-1天。右积分是第一类欧拉积分，β函数，[111]B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）=Ztp-1(1 - t） q-1dt，Re p>0，Re q>0。最后，αk=zkminF+b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjB（1+ja，b）。（28）由于Γ（1）=1，Γ（z+1）=zΓ（z）[111]，B（1，B）=带平均值，k=1，是α=zmin+B（1- F） （zmax- zmin）B（1+a，B）。（29）R=zmin- α和质量脂肪zmin，第k个中心力矩为uk=RkF+ab（1- F） Z（Qx+R）kxa-1(1 - xa）b-1dx=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjZyk公司-ja（1- y） b类-1天。最后，uk=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjB（1+k- ja，b）。（30）u=RF+b（1- F）QB（1+a，b）+2QRB（1+a，b）+Rb. （31）u=RF+b（1-F） （QB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+Rb）。（32）u=RF+b（1- F） （QB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+6QRB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+Rb）。（33）偏度为u。过剩峰度为uu- 3、u=α- α保持不变。在a增量柱状图上，最高条通常为零，如图7所示。APDF可以近似计算。对于a=1，等式27给出了b（1-F） Z最大值-zminat z=zmin，其中等式26返回图11中ECDF的Fsuitable。然而，事务之间的零次很可能是一秒钟不准确的结果。另一种方法是，在某些间隔上，应用理论上自然的zmin=0，F=0，并通过PDF的积分，方程式27来拟合钢筋的高度。我们可以使用（a增量，[积分区间]）：（0，[0，0.5]，（1，[0.5，1.5]。或（0，[0，1]），（1，[1，2]）。PDFP DF（z）=abzmaxzzmax公司一-1.1.-zzmax公司一b-1，（34）其中zmax可以大于Ts，rc- Ts，ro。如果添加到当前时间的模拟a增量超过范围/会话关闭时间，则没有交易完成，交易终止，直到新的范围/会话。

使用zmax=Ts，rc- 库马拉斯瓦米的边界永远不会停止交易，因为任何a增量都将在剩余的时间间隔内完成。这将导致a增量在接近终点时减少，但未观察到。zmin=0，F=0留下三个自由度a，b，zmax。使用b=3.42，a，得到的过剩峰度与偏度的参数曲线∈ [0.041，1.5]，任意zmax>0表示数据，如图8所示。相关方程为α=bB（1+a，b）zmax，u=bB（1+a，B）- bB（1+a，b）zmax（35）√u=qB（1+a，b）- bB（1+a，b）√bB（1+a，b）α，（36）u=bB（1+a，B）- 3bB（1+a，b）b（1+a，b）+2bB（1+a，b）zmax，（37）u=b（b（1+a，b）- 4bB（1+a，b）b（1+a，b）+6bB（1+a，b）b（1+a，b）-3bB（1+a，b））zmax。（38）现在，偏度、过剩峰度和ukukdo不依赖于zmax。我们可以选择a和b来拟合样本偏度和过剩峰度，并根据zmax线性和二次调整均值和方差。这很有用，因为标准偏差和平均值线性相关。在[0，8000]和[0，80]范围内的理论过剩峰度和偏度支持实验依赖性μu- 3.≈ 1.5u，保持比率在[1.30，1.55]范围内，图12。标准偏差与平均值的理论比率[2，25]不太支持实验斜率2.65，图9。拟合变化a和b的超额峰度和偏度，然后重复使用a和b，以确定表15中许多条目的平均值和标准偏差变化zmaxworks。表2是一个示例，其中带日期的行是自解释的，而罗斯“理论”包含a列中的股票代码，b列中偏度和多余峰度的绝对值所取的相对误差之和，以及zmax列中平均值和标准偏差的绝对值所取的相对误差之和。