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请问有前辈能帮我回答，松弛互补定理吗？习题4.6的解释没有明白啊

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关键词：尼克尔森 尼克尔

线性规划中的一个重要定理，它表明在最优解下，若某个决策变量不为零，则相应的约束条件的松弛变量为零；反之，若某个约束条件的松弛变量不为零，则相应的决策变量为零。

具体来说，假设有如下线性规划问题：

$\max_{x} {c^Tx}$

$\text{s.t.} Ax\leq b, x\geq 0$

其中，$x\in \mathbb{R}^n$ 是决策变量，$c\in \mathbb{R}^n$ 是目标函数系数，$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 是约束矩阵，$b\in \mathbb{R}^m$ 是约束条件向量。

对应的松弛互补条件为：假设 $x^$ 和 $u^$ 分别为原始问题和对偶问题的最优解，则存在非负数 $v_i^*$，使得：

$x_i^(A^Tu^ - b)_i = 0,\ \forall i=1,2,\ldots,n$

$u_j^(Ax^ - b)_j = 0,\ \forall j=1,2,\ldots,m$

其中，$(A^Tu^* - b)_i$ 是约束条件 $i$ 的松弛变量，$(Ax^* - b)_j$ 是对偶问题的约束条件 $j$ 的松弛变量。

该定理表明，对于最优解，当决策变量 $x_i^>0$ 时，对应的约束条件 $(A^Tu^ - b)_i=0$，即约束条件处于“紧绷状态”；反之，当约束条件 $(A^Tu^* - b)_i>0$ 时，对应的决策变量 $x_i^*=0$，即决策变量处于“松弛状态”。

松弛互补条件为线性规划理论提供了很多重要的应用，例如对偶理论、KKT条件、灵敏度分析等。