两人决斗

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相隔距离为N步的1、2两人进行决斗，决斗的规则如下：

1和2轮流行动。每次轮到1或者2行动时，他可以随意做出如下两种选择中的一种：
A：开枪射击对方。他们命中概率分别为P1(d)和P2(d),其中d是两人之间的距离（以步数计算）
B：放弃开枪机会，但是向对手的方向行前进一步。

现在已知P1(0)=P2(0)=1，且P1(n)和P2(n)是n的单调严格减函数。1先行动。两个人都有无限的理性。

问：当P1和P2的分布满足什么条件时，1会选择立刻开枪（此时距离为初始距离N）？

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关键词：射击

P1(n)>P2(n-1)

bithuye 发表于 2011-9-10 17:13
P1(n)>P2(n-1)

                不对……

P1(n)+P2(n)>1

徐嘉骏 发表于 2011-9-11 08:16
P1(n)+P2(n)>1

                      不对……

当在一个位置1选择开枪而后2选择向前时即P1=P2后的某次

那你说这道题正确答案是什么呢？

那你说这道题正确答案是什么呢？

不知对不对，请楼主点评，分析如下：
如果P1>P2，那开枪肯定比不开枪好，因为当2走一步自己的概率也会随着增大，所以没有必要走。所以此题选择走的只能是概率小的那个。现假设P1<P2。则：
当选择开枪比选择前进一步不死的概率大时，即选择开枪。
设当P1(i)时，i<=n,1选择开枪。则不死的概率为：P1(i)*[1-P2(n)]*[1-P2(n-1)]*...*[1-P2(i-1)]。               //* "[1-P2(n)]*[1-P2(n-1)]*...*[1-P2(i-1)]"计算2一直打不中。*//
而当i-1开枪时，不死的概率为P1(i-1)*[1-P2(n)]*[1-P2(n-1)]*...*[1-P2(i)]。
当满足P1(i)*[1-P2(n)]*[1-P2(n-1)]*...*[1-P2(i-1)]>P1(i-1)*[1-P2(n)]*[1-P2(n-1)]*...*[1-P2(i)]时，选择开枪。
化简不等式，得
P1(i)*[1-P2(i-1)]>P1(i-1)         (i<=n)
故当P1(i)*[1-P2(i-1)]>P1(i-1) 时，1选择开枪。

谢谢参与，这道题目我已经放到MO上了，关于答案和讨论，感兴趣的同学可以去这里看：
http://mathoverflow.net/questions/75318/the-duel-problem