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质心问题求解的逆问题，求曲线函数
于德浩 2024.7.2
如果知道一条曲线的函数方程y(x)，那么我们就能根据质心的定义，去求质心坐标。即，xC=∫x*(1+y’^2)^0.5*dx/∫dl ，yC=∫y*dl/∫dl。显然，“存在且唯一”，一条曲线只有一个质心坐标。那逆问题就是，如果已知一个质心坐标（xC，yC），我们能不能倒推出这条函数曲线方程？
简单举例，已知曲线AB的质心坐标是（0，-2/π），曲线上点A（-1,0）及点B（1,0），曲线长度是l0=π=3.14米。求这条曲线的函数方程y（x）？
我们根据这些约束条件，可以列出5个约束方程。即，y(-1)=0;y(1)=1; 定积分区间从[-1,1],∫（1+y’^2）^0.5*dx=π；∫x*（1+y’^2）^0.5*dx=0；∫y*（1+y’^2）^0.5*dx=-2；
怎么求解这组方程？根据一般经验，我们会猜想可能是圆方程曲线，假设y=-(1-x^2)^0.5。代入5个方程，都满足。说明，这条曲线是圆。下半圆，圆心在原点（0,0），半径是1。
可是，这组方程只有这一个解吗？应该不是吧。比如，对于x^5以上的高阶曲线方程，有6个以上的待定参数，能满足5个约束条件，应该能找到很多个吧？
我们有没有一般的数学方法，行之有效的一套流程，先去判断一组方程有解或无解？有唯一解还是多个解？这几个约束方程中，有哪几个是非独立的，多余的？或者约束条件自相矛盾，导致无解？
根据数学物理方法的最小作用量原理，用泛函分析求解悬链线问题，满足极值条件的欧拉-拉格朗日方程，我们能知道当yC＜-0.655时，这组方程一定无解。当质心是（0，-0.655）时，这组方程存在唯一解，也就是悬链线方程y=a/2*（e^(x/a)+e^(-x/a）+C2; 其中，a=0.58，C2=-1.68。
当前，质心y坐标是-2/π＞-0.655，应该有解。 是有且仅有唯一解，还是有多个解？目前的数学方法，还不知道。 从物理上，我觉得应该至少还有2个解。
转换为一个物理问题。绳长π=3.14米，固定在两个悬挂点A（-1,0）及B（1,0）。这就满足前3个方程约束条件了。第四个约束条件，就是使得曲线关于y轴对称。
我们知道悬链线是重心最低，势能最小的。我们从绳子底部，竖直上推绳子及下拉绳子，使得系统总势能增加，从而重心升高。由于没有水平方向的力，曲线形状还会一直关于y轴对称。所以，“上推”到合适位置就能得到一个解，“下拉”就是另一个解，而显然这曲线形状都不是圆。所以，就是至少3个解。当然，“下拉”会有物理限制，毕竟半绳长绷直也才是π/2=1.57米。可当是直线时，质心y坐标是-0.605＞-0.637，所以这个解还是有的。
如果，我们用多个力，各个方向的力，总能把悬链线“摆弄”成各种各样的曲线，使之重心可能恰好达到（0，-2/π）。而显然，这些曲线形状也都不会是圆，这就是可能的其他更多个解。
这些都是物理上的定性估计，如果能有一套数学方法，定理计算给出具体结果就更好了。比方说，也许“可能的多个方向的多个力”只能得出一个圆。
再说具体的问题，曲线的质心y坐标有最小值。那么，x坐标也应该有最大值和最小值，毕竟两端（-1,1）就是物理限制条件。拉格朗日分析法能把x的取值范围给精确界定吗？
用不同大小的力，不同方向的力，就可以把悬链线“摆弄”成其他形状。难道任意曲线，都可以用悬链线（双曲余弦函数）分段函数表示？就是说，拟合一段任意曲线，只用三个待定参数就可以拟合的很好？
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