数学分析习题练习【谢绝回贴】

东北大学2024年数学分析真题


解 \[\begin{align*}\int_{0}^{1}x^2f(x)dx&=\int_{0}^{1}x^2(\int_{0}^{x}e^{-y^2}dy)dx \\
&=\int_{0}^{1}e^{-y^2}dy\int_{0}^{y}x^2dx \\
&=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}y^3e^{-y^2}dy \\
&=\frac{1}{6}-\frac{1}{3e}.
\end{align*}\]

东北大学2024年数学分析真题


解 由于\[\begin{align*}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n(n^2-n+1)x^n &=x^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nn(n-1)x^{n-2}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^n \\
&=x^2(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^{n})''+\frac{1}{1+x} \\
&=x^2(\frac{1}{1+x})''+\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{2x^2}{(1+x)^3}+\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{3x^2+2x+1}{(1+x)^3} .
\end{align*}\]令\[x=\frac{1}{2},\]于是得到\[ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\frac{22}{27}.\]

东北大学2024年数学分析真题


解  由题意可得\[dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}=\sqrt{2}dxdy.\]又，积分区域关于zox平面对称，奇函数\[\iint\limits_{\Sigma }(xy+yz)dS=0.\]于是\[\begin{align*}I=\iint\limits_{\Sigma }(xy+yz+xz)dS
&=\iint\limits_{\Sigma }xzdS \\
&=\sqrt{2}\iint\limits_{\Sigma }x\sqrt{x^2+y^2}dxdy \\
&=\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta \int_{0}^{2a\cos \theta }r^3\cos \theta dr\\
&=\frac{64\sqrt{2}}{15}a^4 .
\end{align*}\]

东北大学2024年数学分析真题


证明   利用不等式：\[x^\alpha -y^\alpha \le (x-y)^\alpha .\]很容易得到题中结论.

东北大学2024年数学分析真题


证明 \[\because |f'(x)|=|(1-\cos \frac{x}{n})'|=\frac{1}{n}|\sin \frac{x}{n}|=0,(n\to\infty )\]
              所以，题中结论成立.

东北大学2024年数学分析真题


证明\[\because |x_n|\le M.\lim_{n\to\infty }(x_{2n}+2x_n)< \infty .\]\[\begin{align*}\therefore \lim_{n\to\infty }x_{2n}+\varlimsup_{n\to\infty }2x_n
&\le \varlimsup_{n\to\infty }(x_{2n}+2x_n) \\
&=\lim_{n\to\infty }(x_{2n}+2x_n) \\
&\le \varlimsup_{n\to\infty }x_{2n}+\lim_{n\to\infty }2x_n .
\end{align*}\]\[\Rightarrow  \lim_{n\to\infty }x_n=\varlimsup_{n\to\infty }x_n.\]

东北大学2024年数学分析真题


证明 由莱卜尼兹定理，$\lim x_n$收敛.

东北大学2024年数学分析真题


证明 令\[F(x)=\int_{a}^{x}tf(t)dt-\frac{a+x}{2}\int_{a}^{x}f(t)dt,\]则\[F(a)=0,x\in [a,b],\]\[F'(x)=xf(x)-\frac{1}{2}\int_{a}^{x}f(t)dt-\frac{a+x}{2}f(x)=\frac{x-a}{2}f(x)-\frac{1}{2}\int_{a}^{x}f(t)dt=\frac{1}{2}\int_{a}^{x}(f(x)-f(t))dt\geqslant 0.\]\[\therefore F(b)=\int_{a}^{b}xf(x)dx-\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx\geqslant F(a)=0.\]
       命题成立.

东北大学2024年数学分析真题

西南大学2022 数学分析


解\[\begin{align*}\lim_{x\to0}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin ^2x})&=\lim_{x\to0}\frac{\sin ^2x-x^2}{x^2\sin ^2x} \\
&=\lim_{x\to0}\frac{(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))^2-x^2}{x^4} \\
&=\lim_{x\to0}\frac{x^2-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)-x^2}{x^4} \\
&=-\frac{1}{3}.
\end{align*}\]