数学附录
乔治·皮克
引言 根据本文作者的建议,本人梗概出一些对理解区位问题来说很必要
①
的普通数学公式。关于第Ⅰ、Ⅱ部分,本人提到了舍弗尔 在最近的论文中的
解决这类问题所提供的数学帮助。构成第Ⅲ部分主体的集聚公式的建立可用
以分析不同应用领域的同样问题。我希望对多于三点的特殊区位图的研究将
②
得到进一步的公式,但现在仍有某些实际的困难 。
Ⅰ.最小运输成本值点的轨迹
§1 区位三角形 附图中,A 代表原材料地,A 为燃料地,A 为消费地。
1 2 3
我们假定生产a 吨产品需a 吨原料和a 吨燃料(假设 a 恒为 1),若产地
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位于P,它距A 为r 英里,距A 为r 英里,距 A 为r 英里,a (=1)吨产
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品需要
K=a r +a r +a r
1 1 2 2 3 3
吨英里的运输成本。
P 处在哪个位置上,运输成本最少呢?显而易见,只要 P 落在区位三角
形A A A 之外,任何邻近P并较P更接近三角形边的点,都会缩短r ,r ,
1 2 3 1 2
r 的距离,从而减少运输成本。因此,最小值点的轨迹不可能落在三角形外。
3
它或者落在三角形内部,或者是边上。我们先来探讨第一种情况。
③
§2 区位三角形内部的最小值点,力学模型 必要条件 或最小运输成本
值点的数学分析显示如下结果。我们设想一下,一个可变点集P,在力a 作
1
用下趋向A ,在力a 作用下趋向A ,在力a 作用下趋向 A ,则此三力平衡
1 2 2 3 3
时P点的位置就是最小值点。
我们可以用一个带有自动装置的力学模型来演示一下P(最小运费成本
0
点)的位置。我们用一架范力农发明的演示力的平行四边形的老式仪器。这
架仪器在划有刻度的圆盘边上可以固定三个带有水平轴的小滚轴。滚轴上绕
有细线,细线的三个内端点连接在某一点。外端下垂可以坠小重物。为了实
①
感兴趣的读者不妨查阅陶科特·帕森“德国现代文献中的‘资本主义’:佐姆巴特和韦伯”,(Talcott
Parsons,“‘ Capitalism’,in Recent German Literature:Som-bart and Weber。”)载《政治经济杂志》(Journal
of Political Economy)第XXXⅥ-Ⅶ卷,以及它所引用的文献,也可参阅上文,第 10页的脚注,关于经济
制度的概念——C.J.弗雷德里奇
①
鲍尔先生认为,整个情况与电静力学中的某些部分,特别是等势面相当一致。参阅 J.H.琼斯《电磁学中
的数学原理》(J.H.Jeans, The Mathematical Theoryof Electricity and Magnetism)第54页以后。——英译
者
②
G.舍费尔:《来自固定点的距离函数》(G.Scheffers, Funktionen der Abs-t■nde von festen, Punkten,
1900)。
③
作为对此问题的一个未必成功的,尝试性的解答,读者可以查阅劳恩哈特的“确定工商业建设的合理区
位”(Launhardt,“Die Bestinmung deszweckm■ssigs-tenStandortseinergewerblichenAnlage”),下文中我已
给出有论述的摘要,见P.238(中文版203页)。——英译者
现所给出的情形,我们首先利用圆盘上的刻度放置滚轴,便其形成区位三角
形的角。然后,我们按照运输重量a ,a ,a 的比例,代之以较小的重量单
1 2 3
位,如10克,给细线外端拴上重物,该连接点就会自动移到最小值点。
§3 P 的几何结构,重力三角 图46表示力a ,a ,a 沿直线作用于P ,
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线段长度与力的大小成正比。根据力的平行四边形理论,如果存在平衡状态,
则从 P 点向其相反方向划出的线段将构成由其它两条线段形成的平行四边
0
形的对角线。假如按照各自相应的方向和长度,划出这三力平衡图(直线段),
其结果形成一个封闭三角形(图中的 G G G )。三角形的三个角,r r r 是
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β β β 的补角,β ,β ,β 由连接 P 与顶点 A A A 的直线构成。由图
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46可见一斑。这个完全由其三边α α α 预先确定的三角形G G G 称为重力
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三角形。重力三角形给出角γ γ γ ,从而给出β β β 。为了找出P 点位
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置,我们将不得不从接连A A A 和P点构成这些特定角的关系之中寻找P的
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位置,或者,有时我们也称A A 从与P点的联系中构
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成了β ,对应于 是角β ,对应于 ,是角β 。1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
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