看物理学家怎样搞定交通罚单

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在美国开车碰上“stop”的标记，要停车让行。不同于红绿灯，虽然法律要求汽车在这种标志前完全停止，但并未规定停车时间（不过要求看清路况）。也就是说，在这个标志面前只要车速降到 0 就“安全”了。如果不幸被躲在一边的警察发现车没有停住，一张罚单不可避免。对大多数司机来说，碰到这种事情也就只有认错交款的份。但加州大学圣地亚哥分校的一名高级研究员 Dmitri Krioukov 在因为这个原因被加州警察罚款之后，选择了上法庭申诉。
当时的情况是，他经过的道路有两条车道，在他的车身较短的丰田雅力士（Toyota Yaris）和警察中间还有另外一辆车身较长的车在通行，两辆车几乎同时从停车标记S的地方通过。他以一篇 4 页纸的物理论文向法庭证明，在这种环境下，由于另一辆车的遮挡，完全存在自己停了但警察没看到，而被误认为没有停的可能。据此 Dmitri 说服法官，成功免掉了 400 美元的罚款[1]。
早在 4 月 1 日， Dmitri 就将这篇论文公布在科学论文预印本网站arXiv上[2]。让我们一起来看看他的论证过程是怎样的，也体验一把法官的感觉。
警察依据什么开出罚单？首先让我们还原一下“案发现场”，如下图所示，警察 O 在和道路 L 垂直的方向上观察通过停车标志 S 处的车辆 C，当他看到车 C 没有在 S 的地方完全停止，就可以追上去给司机开出一张罚单。假设车的速度为 v，车离 S 的距离记作 x，警察离停车标志的距离 SO 记作 r 0 ， 角SOC 记作 α。根据几何关系可以很容易得出，对应于随时间变化的距离 x(t)，角度α(t)=arctan[x(t)/ r 0 ]。

警察在和道路垂直的方向上观察通过停车标志的车辆

但实际上，警察观察的并不是车辆沿着道路行使的直线速度 v，而是车辆在道路上行驶时相对 O 点的角速度 ω（角度α的变化率）。就像我们站在铁路边上观察驶过的火车那样，当火车距离很远的时候，看上去像没有动一样；而当火车从面前经过的时候，我们感受到的速度非常快。对于以速度 v 匀速行驶并在 t=0 时刻通过 S 点的车辆，其对应的角速度 ω 可以用公式表示为
如果车的速度为 10 m/s， r 0 = 10 m，在 O 点的警察看到的角速度就如下图所示：

警察观察到的匀速通过停车标志S车辆的角速度曲线

而对于在 S 处以同样大小的加速度 a 0 从 v 减速到完全停止（t=0），再重新加速到原有的速度 v 的情况，其角速度也可以很容易地推导出来，为
当初始速度为10 m/s 时，加速度为1, 3, 10 m/ s 2 不等的几种情况，警察观察到的角速度如下图所示：

警察观察到的以同样大小的加速度a0先匀加速再匀减速通过S点车辆的角速度

警察通过观察车辆在 S 处的角速度，就可以判定车辆是否在停车标志 S 的地方完全停止（角速度为零）。如果车辆用于停止和加速的加速度比较大，那么体现停车的角速度特征对应的时间会很短，在视线被影响的条件下，警察确实有可能误判。

物理学家如何为自己辩护前面说过，故事主角 Dmitri 当时经过的道路有两条车道，在他的车和警察中间还有另外一辆车在通行。 Dmitri驾驶的是雅力士，车身较短（在车道1），而另外一辆车身较长，可能是斯巴鲁傲虎（Subaru Outback）之类的车（在车道2），这两辆车同时从停车标记S的地方通过。

警察的视线可能受到了另外一辆车的阻挡而没有观察到Dmitri停车的过程

问题是这辆车真的让警察误判了吗？要回答这个问题，就要准确判断警察视线受阻的时间，因此我们需要知道知道车辆的运行速度等信息。根据 Dmitri 本人的陈述，当天天气寒冷导致他身体状况不佳，在接近停车标志减速的时候他正打喷嚏，所以刹车踩的很猛，选择 a 0 =10 m/ s 2 会更接近当时的情况。据此，他估算的警察视线被部分遮挡和全部阻挡的时间分别为 t p =1.31 秒和 t f =0.45 秒。而在 a 0 =10 m/ s 2 的情况下减速或加速的过程需要的时间为 t’=1.07 秒，虽然比全部阻挡的时间长但比部分阻挡的时间短。因此很有可能警察没有看到他减速到完全停下来再加速的过程（虽然时间很短）。

在另一辆车遮挡视线情况下，警察可能会把观察到的角速度和预想的匀速运动混淆起来

这样一来，虽然 Dmitri 的车实际的角速度是上图中蓝色的曲线，其中实现了完全停止，不过由于另一辆车的阻挡，警察观察到的是红色的虚线，并没有看到中间减速和加速的过程。警察的观察和预想的以 8 m/s 速度匀速通过的车辆的角速度比较接近，可能他正是据此判定 Dmitri 没有停车而开出罚单的。
根据这些分析， Dmitri 总结说，在以下三种因素的影响下，警察很可能做出了错误的判断：
警察并不是用特殊的设备来观测车辆的线速度，他是用眼来估计车辆的角速度；车辆减速和加速的加速度比较大；在t=0时刻附近，警察的视线被另外一辆车阻挡。在法庭上，这个理论说服了法官，也说服了出庭作证的警察。这使得他成功免掉了 400 美元的罚款。
之后很快，几乎全世界都知道了这个“物理学家统治世界”的传奇故事。根据圣地亚哥当地新闻的报道，当被问到是否真的完全停车时， Dmitri 微笑着说 ，“我当然停了”。

很可能法官被骗了不得不说，Dmitri 在这次“斗争”中表现得智勇双全。不过他很可能只是欺负了法官和警察是外行。因为他的分析并非无懈可击，比如 PhysicsCentral 的报道就提到[3]，Dmitri的推导有一个瑕疵。
虽然文章里面对警官视线受阻时间的估计也不是很合理，不过最大的瑕疵恐怕还是在加速度上。根据网上能找到的关于丰田雅力士的介绍（比如 这个 ），这种车从100千米每小时减速到静止需要47.21米，对应的加速度和理论里使用的10m/ s 2接近，但是从静止加速到 100 千米/小时 的速度大约需要 10 秒。也就是说，它的最大加速度大约为 3 m/ s 2 左右，不能够达到 Dmitri 宣称的 10 m/ s 2 。因此，很有可能他并没有在停车标志的地方完全停止，只是成功运用物理知识使得法官和警察相信了这种可能性。

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