关于函数凹凸性的不一致

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最近在看平狄克微观经济学
之前一直没想通一个问题 现在好像有点点明白了——关于函数凹凸性的
无差异曲线那一节，书上说无差异曲线是凸性的，二阶导数大于零。
我看了之后，就觉得奇怪，既然二阶导数都是大于零，那必须是凹函数啊，高数里不就这么定义的么？
我开始还在怀疑微观教材是不是写错了
那句话就是向后矛盾嘛

结果后来百度了下
发现经济学上关于函数凹凸性的问题 刚刚跟高数上的定义是反的。
诶 。。我觉得这样搞得我好混乱 特别是在我似懂非懂的时候
我估计原来你们也被这个问题困扰过吧。

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关键词：函数凹凸性 无差异曲线 微观经济学 微观经济 微观教材 百度 经济学 矛盾

没错！凹凸性不光在经济和数学里比较混乱。。在数学领域不同的学者那也不一样 哈哈

keensword 发表于 2012-7-20 09:09
没错！凹凸性不光在经济和数学里比较混乱。。在数学领域不同的学者那也不一样 哈哈

额。。。我真是晕了。。

数学上来说，当函数可导的时候并且为一维的时候，才有二阶倒数大于0的定义。当函数可导并且是多维的时候，定义就应该是Hessian matrix半正定。一般来说，凸函数不一定可导，凸函数最原始的定义是任意两点连成的线段在函数曲线上方。经济学里用的比较多的是凹函数，因为负的凹函数是凸函数，因此研究凸函数的性质就很有意义。

dreamtree 发表于 2012-7-20 09:23
数学上来说，当函数可导的时候并且为一维的时候，才有二阶倒数大于0的定义。当函数可导并且是多维的时候，定 ...

而咱们现在的高数教材上，一种定义是这么说的，任意两点连线在曲线的下方，则是凸函数；在曲线上方的是凹函数。刚刚跟您说的相反也。
反正我现在的做法是 看经济的时候 把平时数学中理解的定义反过来记忆。

美丽罗 发表于 2012-7-20 19:11
而咱们现在的高数教材上，一种定义是这么说的，任意两点连线在曲线的下方，则是凸函数；在曲线上方的是凹 ...

这本书上可能有些笔误，从基础数学（数学分析）到高级实分析，凸分析都是标准定义，我还从来没有遇到你说的这种情况，不知道你们用的是哪本教材啊，呵呵

这也是困惑了我很久的问题，曾经陷在convex，concave，quasi-cancave中爬不出来

牛x牌生发灵 发表于 2012-7-20 20:08
这也是困惑了我很久的问题，曾经陷在convex，concave，quasi-cancave中爬不出来

这种到处概念定义不一样的情况是容易让人感到特别困惑。还是记住标准定义为好。从直观上来说，记住convex 函数向下弯，concave向上弯就好了。convex函数之所以重要一个主要的原因就是它有特别好的性质，一个重要的性质就是局部最优就是全局最优。许多convex 的优化问题都有polynomial 的算法，而且从经济学的角度来说，重要risk averse的utility function就是concave的，而基于此推出的许多marginal 结论也都是基于convex 优化的optimality condition。对于quasiconvex函数来说，其主要意义就是尝试解决了convex函数要求条件过强的情况。具体来说就是仅仅要求level set是convex的，换句话说只要求epigraph沿着第n+1方向变化满足一定的条件。在这种较弱的条件下，许多最优条件还能够保持。想详细了解的话，一些稍微高级一点的非线性优化的书籍的前面（或者附录）都会介绍convex analysis的基础知识，反复学习会对于这些问题有更加清楚的认识，呵呵。

LS很专业啊

dreamtree 发表于 2012-7-21 09:24
这本书上可能有些笔误，从基础数学（数学分析）到高级实分析，凸分析都是标准定义，我还从来没有遇到你说 ...

啊啊啊啊 ？真的吖？我回去翻翻呢
是那本绿皮的书