《经济数学》书评
作者：谢远涛
单位：中国人民大学统计学院
经济学家一般需要三种语言：其一是经济语言，要求用经济学术语阐明一个事实，解释一个现象，总结出一个结论，这强调经济学思想的睿智；其二是数学语言，用模型化范式对研究的问题进行论证，这强调理论的缜密性；其三是图形语言，用形象的图表来反映一个现象，这强调通俗性和直观性。
国外研究经济学理论已经有几百年的历史，其经济理论体系无论是从内容深度，还是从理论构建上讲，都遥遥领先于我国。我们需要采“它山之石”以“攻玉”，“取其精华，去其糟粕”。
当然这种借鉴遇到很多阻力，其中一关就是数学。大家知道，经济学学到高阶就变成学数学，最后上升为哲学，当然前提是我们要确定经济思想的主导地位。从实变到范函，从计量到校准，从拓扑到微分几何，从小波到灰色和混沌，从变分法到动态规划和最优控制……经济学已经触及到数学的方方面面，而你事先不一定知道需要什么；经济学各领域几乎利用了所有数学知识，但经济本身的数学是为具体目标服务的,自己一般不形成数学体系。所以我们需要一本给经济学研究者的书，这本书既不是单纯的经济，也不是纯粹的数学。
无论是经济学方面的文献还是数学方面的著述，国内已经有了较厚实的沉积，但是广泛结合经济理论和数学模型的书却少见，由M.Hoy、 J.Livernois等著的《经济数学》（第二版）就是这样一本很有自己特色的书，该书经精心挑选脱颖而出，经过国内专家的翻译、校对、审核和中国人民大学出版社出版，奉献给广大读者，教读者学会用数学模型来研究经济理论。
本书不是单纯写经济学中可能用到的数学，而是在不损数学本身的严密性和精确性、不饶乱经济学理论体系划分的前提下，打破了经济学和数学分别教学的常规，打破宏观经济学与微观经济学的割据，将经济学与数学有机结合在一起，将微观与宏观有机结合在一起，抓住经济学研究的主线，不但清晰地表达了相关的数学主题，而且完美地将这些主题与经济问题结合起来。本书全面系统的介绍了相关的数学基础，但又把侧重点放在引导读者利用数学知识来解决相关的经济问题上。
本书的特色体现在以下几个方面：
首先是其结构安排。经济学问题是有一条主线的，那就是求优。一般而言，经济学中常用的数学基础包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计。既然是求优，运筹学当然也会常常用到，最基础的是线性规划，高层次的有变分法、动态规划和最优控制，如高级宏观经济学常常用到H-J-B方程。这本书没有按照学科门类来讲知识，而是围绕优化求解来展开分析。单变量优化问题，优化条件往往是在连续条件下通过导数微分来求得的；讲多变量优化问题时，首先要讲讲多元方程组相关的知识，也就是线性代数，然后是偏导数，再以凹规划和库恩－塔克条件作归纳总结；动态经济学方法往往由优化条件得出许多微分方程组，如最优控制的最优性条件、欧拉方程、可行性条件、横截性条件和二阶条件，在局部上，有时积分比微分求解要来得容易，所以先讲积分和微分（差分）方程组顺利成章。简言之，本书总是紧密围绕着经济学的主线，在用到额外知识时才补充讲基础，所以脉络清晰，思想明确。
其次是文章中的经济学模型。模型很翔实，如商品供需模型、垄断厂商征税模型、最优增长模型、比较静态模型、Leontief模型、IS-LM模型，涉及到高级微观经济学中常用的Slutsky方程、包络定理和高级宏观经济学中的投资问题、动态自治问题、最优消费路径、新古典增长模型，涵盖了宏微观经济学中的许多经典模型，通过这些点经济学家达成了现代经济学体系。
然后是数学模型的程序式求解。本书给出的数学工具大多带有详尽的使用说明，并明确表示第一步怎么办，第二步怎么办，步骤简洁明了，有工作手册之感。然而本书又远非经济学家的数学手册，它赋给数学公式、数学模型以鲜活的躯体和丰富的精神风貌。
最后，本书不只强调经济现象的数学建模，还强调模型结果的经济学解释。宾夕法尼亚大学经济学教授George J. Mailath评价道，“数学是经济学的语言，本书就是对这种语言的出色介绍。”
正如西北大学凯洛格商学院Morton I. Kamien所说的那样，“本书对相关内容作了清晰的拓展，提供了相应的素材并给出了直观的解释。这些都是一流的教科书所具备的特点”。本书把经济学思想的睿智、数学模型的缜密和图表演示的直观结合在一起，可以说集三种语言于一身，是一本优秀的教材。
下面来看看本书的结构。全书共分为五篇，共计25章。
第Ⅰ篇是引言和基本原理。由三章构成，第1章引言，对经济模型和本书特征简要描述，第2章回顾一下本书用得着的高中数学知识，第三章进一步研究数列级数和极限等数学概念和性质，为后面经济时间序列的处理奠定基础。
第Ⅱ篇主要研究单变量微积分和最优化。单变量优化问题的求解思路非常明确：首先把经济问题转化为目标函数优化问题，利用Lagrange乘子可以把有条件约束转化为无条件约束，进而在连续条件下利用求导来求优化解。所以第4章讲函数的连续性，第5章讲导数和微分，第6章归纳一元函数的最优化问题。
第Ⅲ篇介绍线性代数的有关知识，这一篇由四章构成，完全是为后面求解多元计算问题服务的，根本目的是求解方程组，所以第7章就讲线性方程组，第8章由线性方程组的系数和值提出矩阵，第9章讲行列式和逆矩阵，这些回答了第7章如何求解线性方程组的解的问题，第10章讲向量空间、特征值和二次型等线性代数前沿问题。其中，特征值在投入产出分析（如大道模型）、计量经济学和其他统计数据分析中应用非常广泛，二次型在二次规划、复杂非线性系统（离散动态规划）的线性二次逼近中取得很大成功，如诺贝尔奖得主提出的Kydland-Prescott法。
第Ⅳ篇讲述多元计算问题，由五章构成。第11章讲偏导、全微分及曲率等概念及相关计算，第12章讲了多变量函数的最优化问题，这一章只是简单对变量约束情况进行分析，复杂的约束最优问题放在第13章中讲。第14章考虑包络定理和约束优化问题的比较静态分析，这是对前面的静态规划问题进行拓展，第15章利用凹规划和库恩－塔克条件对前面提到的静态规划（或者比较静态）进行一次总结。
第Ⅴ篇讲积分和动态方法。前面讲的单变量优化和多变量优化都是在静态和比较静态的框架下求解的。经济学中考虑的很多是一个动态的范畴，在跨时优化模型中往往涉及到微分方程组的求解，如变分法、动态规划和最优控制中优化条件构成的方程组，有时局部上微分并不容易求解，而是通过相反的过程——积分来求最优解。因此，第16章讲积分，第17章对动态经济学作一个简要介绍，第18章、第19章和第20章从“一阶线性”、“一阶非线性”和“二阶线性”三个角度讨论差分方程，而第21章、第22章和第23章则从“一阶线性”、“一阶非线性”和“二阶线性”三个角度讨论微分方程，那么第24章顺理成章讲微分和差分方程组，最后一章重点讲了高级宏观经济学中最常用的最优控制理论。
通过以上分析可知，本书的脉络非常清晰，结构很明确，紧紧抓住经济学的主要思想、围绕我们要研究的经济问题讲数学，体现的是一门“用”的哲学。所以在阅读时只管按照章节顺序读下去就行了，当然基础知识扎实的读者完全可以跳过相关章节，不过建议读者还是看看章节脉络和经济应用实例，这样总会有一些收获。
正如前面所提到的，现代经济学涉及到了几乎所有相关数学领域，任何一门书都不可能穷尽所有的数学知识，所以任何一本数学相关书都是苍白的，本书也只是补充目前研究中较常用的数学方法，深层次的东西还需要读者自己去寻宝。但是，笔者相信，有了这本书所介绍的基础知识，再遇到其他数学问题时“即用先学”必定“事半功倍”。
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