ARIMA时间序列分析

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ARIMA时间序列预测模型详解

ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）是一种广泛应用于时间序列分析的经典统计方法，特别适用于处理非平稳的时间序列数据。该模型融合了三个核心组件：自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA），能够通过差分技术将原始序列转换为平稳序列后进行建模与预测。

ARIMA模型通常表示为 ARIMA(p, d, q)，其中：

• p：自回归项的阶数，表示当前值依赖于前p个历史观测值；
• d：差分的阶数，即需要对序列进行d次差分以实现平稳性；
• q：移动平均项的阶数，代表当前值受过去q个误差项的影响程度。

[此处为图片1]

平稳性检验与差分变换

在构建时间序列模型之前，必须首先判断序列是否具有平稳性。常用的检验方法是增强型迪基-福勒检验（ADF检验，Augmented Dickey-Fuller Test）。其原假设为“时间序列是非平稳的”。若检验得到的p值小于设定的显著性水平（如0.05），则拒绝原假设，认为序列是平稳的。

对于不满足平稳性的序列，可通过差分操作进行转换。一阶差分定义如下：

X_t = X_t - X_t-1

更高阶的差分（d阶）可通过递归方式计算：

^dX_t = ^d-1X_t - ^d-1X_t-1

自回归部分（AR）

自回归模型AR(p)表明当前时刻的值可由其前p个时间点的观测值线性组合表示，表达式为：

X_t = c + Σ_i=1^p φ_iX_t-i + ε_t

其中，φ_i 是待估计的自回归系数，ε_t 表示白噪声误差项，c为常数偏移量。

移动平均部分（MA）

移动平均模型MA(q)描述的是当前值与过去q个随机误差项之间的线性关系，公式如下：

X_t = μ + ε_t + Σ_i=1^q θ_iε_t-i

这里，θ_i 为移动平均系数，μ 是整个序列的均值，ε_t 同样为白噪声项。

ARIMA模型综合形式

将上述三部分整合后，ARIMA(p,d,q)的一般表达式为：

^dX_t = c + Σ_i=1^p φ_i^dX_t-i + ε_t + Σ_i=1^q θ_iε_t-i

引入滞后算子L（定义为 LX_t = X_t-1），模型可简化为更紧凑的形式：

(1 - Σ_i=1^p φ_iLⁱ)(1 - L)^dX_t = c + (1 + Σ_i=1^q θ_iLⁱ)ε_t

模型识别与参数定阶

初步确定p和q的常用方法是观察自相关函数（ACF）图与偏自相关函数（PACF）图的特征：

• 对于AR(p)过程：ACF呈拖尾衰减，PACF在第p阶后截断；
• 对于MA(q)过程：ACF在第q阶后截断，PACF呈拖尾；
• 对于ARMA(p,q)或ARIMA模型：ACF与PACF均呈现拖尾现象。

为了更精确地选择最优阶数，可以采用信息准则法，例如AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则），目标是选取使AIC或BIC最小的模型组合。具体公式如下：

AIC = 2k - 2ln(L)

BIC = k·ln(n) - 2ln(L)

其中，k为模型中待估参数总数，n为样本容量，L为最大似然函数值。

参数估计与残差诊断

参数通常使用极大似然估计（MLE）或最小二乘法进行求解。模型拟合完成后，需对残差序列进行严格检验，确保其符合以下条件：

• 残差为白噪声——可通过Ljung-Box检验验证；
• 残差无显著自相关——借助ACF图检查；
• 残差服从正态分布——可利用Q-Q图或Shapiro-Wilk检验判断。

预测与置信区间计算

基于已训练的ARIMA模型，可对未来h步进行点预测，预测值为条件期望：

_t+h = E(X_t+h | X_t, X_t-1, ...)

同时，可构造预测区间以反映不确定性，其计算公式为：

_t+h ± z_α/2 × √(Σ_i=0^h-1 ψ_iσ)

其中，ψ_i 来自模型的MA(∞)表示形式，σ 为残差方差，z_α/2 为标准正态分布的分位数。

Python代码实现示意

以下是使用Python进行ARIMA建模的基本流程框架（仅展示结构逻辑，不含完整执行代码）：

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, acf, pacf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 数据加载与预处理
data = pd.read_csv('time_series_data.csv')
ts = data['value']

# ADF平稳性检验
result = adfuller(ts)
print('ADF Statistic:', result[0])
print('p-value:', result[1])

# 差分处理
diff_ts = ts.diff().dropna()

# 绘制ACF与PACF图辅助定阶
plot_acf(diff_ts)
plot_pacf(diff_ts)

# 拟合ARIMA模型
model = ARIMA(ts, order=(p, d, q))
fitted_model = model.fit()
print(fitted_model.summary())

# 残差检验
residuals = fitted_model.resid
plot_acf(residuals)

# 进行未来h步预测
forecast = fitted_model.forecast(steps=h)

[此处为图片2]

数据加载与平稳性检验是时间序列分析的重要步骤。首先通过 pandas 读取包含日期列的 CSV 文件，并将日期设置为索引：

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

data = pd.read_csv('time_series.csv', parse_dates=['date'], index_col='date')

接着使用 ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验判断时间序列是否平稳：

result = adfuller(data['value'])
print(f'ADF p-value: {result[1]}')

若检验结果显示序列非平稳（如 p 值大于显著性水平），则可进行一阶差分处理以增强平稳性：

data['diff'] = data['value'].diff().dropna()

[此处为图片1]

在完成数据预处理后，构建 ARIMA 模型进行拟合。以下示例采用 (1,1,1) 阶参数：

model = sm.tsa.ARIMA(data['value'], order=(1,1,1))
results = model.fit()
print(results.summary())

模型训练完成后，可以对未来若干期进行预测。例如，预测未来 10 个时间点的值：

forecast = results.get_forecast(steps=10)
print(forecast.predicted_mean)

[此处为图片2]

预测精度评估指标

为了衡量模型预测效果，常用以下两个统计指标：

均方根误差（RMSE）：
该指标反映预测值与实际值之间的偏差大小，计算公式如下：
RMSE = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n (X_t - \hat{X}_t)^2}

平均绝对百分比误差（MAPE）：
用于表示相对误差水平，适合不同量纲的数据比较，其表达式为：
MAPE = \frac{100\%}{n}\sum_{t=1}^n \left| \frac{X_t - \hat{X}_t}{X_t} \right|

季节性ARIMA模型扩展（SARIMA）

当时间序列呈现明显的周期性波动时，应使用 SARIMA 模型进行建模。该模型在传统 ARIMA 的基础上引入季节性参数，完整形式为 SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s，其中：

• s：季节周期长度（如月度数据中年度周期 s=12）
• P：季节性自回归阶数
• D：季节性差分阶数
• Q：季节性移动平均阶数

对应的模型方程可表示为：
\Phi_P(L^s)\phi_p(L)(1-L^s)^D(1-L)^d X_t = \Theta_Q(L^s)\theta_q(L)\varepsilon_t
其中，\Phi_P 和 \Theta_Q 分别代表季节性自回归和移动平均的多项式函数。

[此处为图片3]

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关键词：时间序列分析 ARIMA 时间序列 ima Rim