生产函数推导新古典增长模型：
新古典经济增长理论在放弃了哈罗德—多马模型中关于资本和劳动不可替代以及不存在技术进步的假定之后，所做的基本假定包括：（1）社会储蓄函数为 。其中， 是作为参数的储蓄率；（2）劳动力按一个不变的比率 增长；（3）生产的规模收益不变。
在上述假定（3），并暂时不考虑技术进步的情况下，经济中的生产函数可以表示为人均形式：
（20.23）
式中， 为人均产量， 为人均资本。图20－2表示了生产函数（20.23）式的图形。
图20－2 人均产量曲线
从图20－2中可以看出，随着每个工人拥有的资本量的上升，即 值的增加，每个工人的产量也增加，但由于报酬递减规律，人均产量增加的速度是递减的。
根据增长率分解式，在假定（2）和不考虑技术进步的条件下，产出增长率就唯一地由资本增长率来解释。下面就来较细致地考察资本和产量的关系。
一般而言，资本增长由储蓄（或投资）决定，而储蓄又依赖于收入，收入或产量又要视资本而定。于是，资本、产量和储蓄（投资）之间建立了一个如图20－3所示的相互依赖的体系。
图20－3 资本、产量和储蓄之间的相互依赖
在上述体系中，资本对产出的影响可由集约化的生产函数（20.23）或图20－3来描述。资本存量变化对资本存量的影响是明显的和直观的，无需进一步说明。产出对储蓄的影响可以由储蓄函数来解释。因此，在上述体系中，需着重说明的是储蓄对资本存量变化的影响。
1．新古典增长模型的基本方程
在一个只包括居民户和厂商的两部门的经济中，经济的均衡条件可以表示为：
将上式表示为人均形式，则有：
（20.24）
将（20.24）式动态化，并利用（20.23）式，有
（20.25）
由于 ，对这一关系求关于时间的微分，可得
（20.26）
利用 ，上式可表示为
（20.27）
由（20.24）式得
注意到 ，而 ，上式可写为
（20.28）
利用（20.23）式和（20.28）式，将（20.28）式可表示为：
（20.29）
（20.29）式便是新古典增长模型的基本方程。这一关系式说明，一个社会的人均储蓄可以分为两个部分：（1）人均资本的增加，即为每一个人配备更多的资本设备，这被称为资本的深化。（2）每一增加的人口配备每人平均应得的资本设备 ，这被称为资本的广化。总而言之，这里的意思是：在一个社会全部产品中减去被消费掉的部分之后，剩下来的便是储蓄；在投资等于储蓄的均衡条件下，整个社会的储蓄可以被用于两个方面：一方面给每个人增添更多的资本设备，即资本深化，另一方面为新出生的每一个人提供平均数量的资本设备，即资本广化。
2．稳态分析
在新古典增长理论中，所谓稳态是指这样一种状态，这时的人均产量和人均资本都不再发生变化。按照这种稳态的含义，如果人均资本不变，给定技术，则人均产量也不变。尽管人口在增长，但为使人均资本保持不变，资本必须和人口以相同的速度增长。在假定技术不变时，按新古典增长理论的假定，便有
换句话说，当经济中的总产量、资本存量和劳动力都以速度 增长，且人均产量固定时，就达到了稳态。
理解基本方程（20.29）式和稳态含义更好的方式是图形分析。如图20－4所示。
图20－4（a）中的 曲线为产量曲线。曲线上每一点都表示一个与按人口平均的资本相对应的按人口平均的产量。例如，当按人口平均的资本为 时，按人口平均的产量为 。曲线 为储蓄曲线，它表示与每一按人口平均的资本相对应的人均储蓄量。图中的直线 为通过原点且斜率为 的直线。
根据基本方程（20－29）式及 线和 曲线的关系，可以作出图20－4下半部分的图，即L曲线。反之，当 高于 时， ，这时有 ，与此相对应，L曲线位于横轴的上方。反之，当 低于 时，则 ，与此相对应，L曲线位于横轴的下方。当 时，即 曲线与 线相交时， ，L曲线与横轴相交。
图20－4 稳态的图示
按照上面关于稳态的说明，当 时，经济便处于稳态，这对应于图20－4上图中的A点和下图中的z点。因此，在新古典增长理论中，稳态的条件可表示为：
（20.30）
图20－4中，由稳态条件确定的人均资本为 。为了进一步理解稳态的含义，考虑 不等于 的情况，不失一般性，假定实际的 值小于 ，由图20－4可知，这时有：
即： （20.31）
又因为 ， ，（20.31）式可写为
（20.32）
在不存在折旧的情况下，根据 ，上式写为：
上式表明，如果实际的 时，资本的增长率将大于劳动增长率。换句话说，这时资本比劳动增加得快，即人均资本在增加。这一点从基本方程（20.29）式看得更清楚，当 时，有 ，即随着时间的推移，人均资本将会增加。以上的分析表明，只要人均资本低于稳态所要求的水平时，经济中会有一种机制使人均资本不断增加，直到达到稳态所要求的水平为止。类似地有，当人均资本大于稳态所要求的水平时，则人均资本将不断减少，直到达到 所表示的水平为止。
因此，人均资本 总是趋向于其稳态值。与此相对应，人均产量也趋向于均衡值 。
需要特别指出的是，上述关于稳态的分析表明，在稳态时，总收入以与人口相同的速度增长，即增长率为 。这意味着，稳态中的产量增长率并不受储蓄率的影响。这是新古典增长理论的重要结论之一。
在完成了稳态分析之后，便可进行比较静态分析。
3．储蓄率的增加
图20-5显示了储蓄率的增加是如何影响产量增长的。
图20-5中，经济最初位于C点的稳态均衡。现在假定人们想使储蓄更大比例的增加，这样使储蓄曲线上移至虚线的位置。这时新的稳态为 ，比较C和 点，可知储蓄率的增加提高了稳态的人均资本和人均产量。
对于从C点到 点的转变，这里需要指出两点：（1）从短期看，应该说，更高的储蓄率也导致了总产量和人均产量的增加，这可以从人均资本由初始稳态的 上升到新的稳态中的 这一事实中看出。因为增加人均资本的唯一途径是资本存量比劳动力更快地增长，进而又引起产量的更快增长。（2）由于 点和 点都是稳态，按照前面关于稳态的分析，稳态中的产量增长率是独立于储蓄的，从长期看，随着资本积累，增长率逐渐降低。最终又回到人口增长的水平。图20－6概括了以上分析。
图20-6(a)显示了人均收入的时间路径。储蓄率的上升导致人均资本上升，从而增加人均产量，直到达到新的稳态为止。图20-6(b)则显示了产量增长率的时间路径。储蓄率的增加导致资本积累，从而带动了产量的一个暂时性的较高增长。但随着资本积累，产量的增长最终会回落到人口增长率的水平上。
图20－5 储蓄率的增加
图20－6 储蓄率增加的
4．人口增长
新古典增长论理论虽然假定劳动力按一个不变的比率 增长，但当把 作为参数时，就可以说明人口增长对产量增长影响。如图20－7所示。
图20－7中，经济最初位于A点的稳态均衡。现在假定人口增长从 增加到 ，则图20－7中的 线便移动到 线，这时，新的稳态均衡为 点。比较 点和 点，可知，人口增长率的增加降低了人均资本的稳态水平（从原来的 减少到 ），进而降低了人均产量的稳态水平。这是从新古典增长理论得出的又一重要结论。西方学者进一步指出，作为人口增长率上升引起的人均产量下降正是许多发展中国家面临的问题。两个有着相同储蓄率的国家仅仅由于其中一个国家比另一个国家的人口增长率高，就可以有非常不同的人均收入水平。
图20－7 人口增长对产量增长的影响
对人口增长进行比较静态分析的另一个重要结论是，人口增长上升提高了总产量的稳态增长率。理解这一结论的要点在于懂得稳态的真正含义，并且注意到 点和 点都是稳态均衡点。
5．考虑技术进步时的稳态
到目前为止，对新古典增长理论的论述都没有涉及技术进步。事实上，如本节开始所说，考虑技术进步正是新古典增长理论不同于哈罗德—多马模型的重要之处。下面就来论述考虑到技术进步时的稳态分析。
在宏观经济中，考虑到技术进步时的总产量生产函数可以一般地写为：
（20.33）
式中，A为技术状况。一般地，Y与A具有正向关系，即给定资本和劳动，A的增加（技术状况的改进）将带来产量的增加。
在增长理论中，为了便于分析技术进步，常将生产函数写为如下形式：
（20.34）
式中，NA为劳动与技术状况的乘积。这种考虑技术状况的方法据说更容易考察技术进步对产出、资本和劳动之间关系的影响。
如果将NA称为有效劳动力，则技术进步意味着增加了经济的有效劳动力。在这种考虑之下，（20.34）式所示的生产函数表示产出是由资本K和有效劳动力NA两个要素生产的。
对于生产函数（20.34）式，若Y为K和NA的一次齐次函数时，可将其表示为：
（20.35）
式中， 被称为有效人均产出； 被称为有效人均资本。
前面的第一部分和第二部分的分析在相当的程度上适用于这里的静态分析。为了避免重复，下面着重说明特殊之点。
（1）考虑到技术进步时的稳态是指使有效人均资本和有效人均产量均为常数的状态。在稳态时，总产出将按有效劳动力NA的增长率增长。
（2）由于有效劳动力被定义为NA，即劳动力N与技术状况A的乘积，因此，有效劳动力NA的增长率为劳动增长率与技术进步增长率之和。
（3）将上述（1）和（2）综合在一起，就会看到，在稳态时，总产出的增长率由劳动力增长率和技术进步率之和所决定，这一增长率与储蓄率无关。利用这一重要结论，并注意到人均产量被定义为总产量与劳动力之比，则知，在稳态时，人均产量增长率决定于技术进步率。
由于在稳态时，产出、资本和有效劳动力都按相同的比率增长，故这种稳态也被称为平衡增长状态。根据以上讨论，若记 为人口增长率， 为技术进步增长率，则平衡增长的特征可以被概括为下面的表20－1。
表20－1 平衡增长状态表
由于在稳态时，产出增长率仅依赖于劳动力增长率和技术进步率，因此，储蓄率的变化并不影响产出的稳态增长率。然而，储蓄率的增加却能增加稳态的有效人均产出水平。
此外，新古典增长理论还暗含这样一点，即，如果国与国之间有着不同的储蓄率，则它们会在稳态中达到不同的产出水平。但如果它们的技术进步率和人口增长率都相同，那么它们的稳态增长率也将相同。这就是所谓的趋同论点。
6．考虑到人刀资最时的分析
新古典增长理论还可以扩展到对人力资本的分析，这里仅作简要说明。
在一定的假定之下，考虑人力资本时的生产函数可以表示为：
（20.36）
（20.36）式表明，人均产量水平既取决于人均实物资本 ，又取决于人均人力资本 。 容易理解，在其他条件不变时，随着人均人力资本的提高，经济中平均劳动技能水平在提高，这意味着更多的工人能够操作复杂的机器设备，更多的工人能够更快地适应新的生产任务，所有这些都带来了更高的人均产出水平。
考虑到人均资本以后，会得到哪些主要结论呢？（1）关于实物资本积累的结论仍成立，即增加储蓄率可以增加稳态的人均实物资本，进而也增加稳态的人均产出水平。（2）通过教育和在职培训等方式进行的人力资本投资的增加也增加稳态的人均人力资本，进而增加人均产量。上述两点描述了人均产出决定更为真实的景象。在长期，人均产量依赖于社会储蓄多少和教育支出多少。
既然人力资本和实物资本都是人均产出的决定因素，那么，两者中哪一个更重要呢？对于这一问题，西方一项有影响的研究表明，在实物资本方面的投资和在教育方面的投资对产出的决定所起的作用大致相同。
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美元的收入，也知道他的未来收入为 
美元 ( 现在为“工作年”， 
是劳动力所得；未来是“退休时期”， 
为一笔固定养老金收入 ) 。如果 Hamlet 现在消费太多，在其他情况保持不变时，他的未来收入就少了。他的问题就于把这些考虑进去，安排合理的消费，从而使一生效用最大。重要的是，当 Hamlet 决定时期 0 的消费后，他同时决定储蓄多少或借多少。如果他的这时期的消费超过现在收入了，他就得借钱。如果他的消费低于现在收入，他就储蓄。 
) ，纵轴代表未来消费 ( 
) ， Hamlet 一个可能的选择就是现在消费它当前所有的收入，即现在消费 
，未来消费 
，这个被称为限值点，在下图中以点 
表示。在此点， Hamlet 既不储蓄也不借款，因为每一时期的消费确实等于收入。 
，而储蓄 S 美元。如果他将他的储蓄以回报率 i 投资，从而使未来消费提高 
——最初的本金 S 加上利息 
。换句话说，如果 Hamlet 将现在消费缩减 S ，他就使未来的消费增加 
。形象地讲，这种方法在图上把限值点 a 左移 S 美元，再往上移动 
得到，即点 d 。 
。假设 Hamlet 可以以利率 i 借款，他也可以借出 ( 以此利率 ) 。如果他借了 B 美元来增加他的现在消费，他的未来消费将削减多少呢 ? 当未来到期时， Hamlet 必须还上 B 加上 
的利息。因此， Hamlet 能提高现在消费，但未来消费削减了 
，形象地，可以将限值点 a 往右移动 B 美元，往下移动 (1+i)B 美元得到，如点 f 。 
。它通过限值点 a ，斜率为 -(1+i) 。像前面一样，直线斜率的负值代表一种商品对另一商品的机会成本。 1+i 表示现在 1 美元的消费，意味着在未来放弃 1+i 美元的消费。 
全部被储蓄，在未来价值将变为 
。将此与时期 1 的 
美元相加，我们得纵截距为 
。 
，加上他能以未来收入为抵押的借款。给定 Hamlet 未来收入为 
，那么在未来到期时，他必须还上借款数额 (B) 加上利息 ( 
) ，即 
。因此 
必须完全等于 
——没有人会超出未来的偿付能力而借款。因为 
= 
，从而可得 
。这样，横截距是 
。因为水平截距显示了现在消费的最高水平，而它又由限值点得出，所以它被叫做限值的现在值。 
，那么他们预算约束直线将怎么改变呢 ? 第一个应该明白的问题就是新的预算线应通过限值点，因为无论利率为多少， Hamlet 总有既不借入也不借出的情形。但是利率的下跌改变了预算约束的斜率，现在消费 1 美元的机会成本是未来消费的 (1+ 
) 美元。因此，新预算线一定比原来的更平坦。在下图中通过点 a 而斜率为 -(1+ 
) 的预算线为 B2 。 
，这时，他的现在消费为 
，将来的消费为 
, 由于利率的降低， Hamlet 的储蓄从 
降至 
。 
处取得最初均衡，但是在下图中，新均衡点位于点 
，在 
的左边。当利率下跌后， Horatio 的现在消费为 
，未来消费为 
。在此例中，利率降低提高了储蓄，从 
增至 
，因此，利率降低后是提高储蓄还是减少储蓄，完全取决于消费者个人的偏好。 
