[求助]金融收益率方差问题

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各位师兄师姐大家好,我看文献上说,金融收益率时间序列的方差不是一固定常数,如果是这样的话,那么该时间序列就不是一平稳过程,如何使用ARCH进行研究呢?

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关键词：收益率 时间序列 平稳过程 ARCH 如何使用 方差 金融 收益率

使用ARCH进行研究是并没有假设时间序列是平稳的,而我们正是要利用ARCH来对时间序列的方差进行建模

at=σtεt; σt^2=α0+α1(at-1)^2+....+αm(at-m)^2

其中at为时间序列t期的实现值(可以是收益率), εt是iid 且E(εt)=0, E(εt^2)=1

比如做回归y=a*x+u;u为残差,并且u存在异方差,那么此时的y是非平稳的,就是说用ols对方程做回归时,也并不要求数据的平稳性是么?

平稳性一般都是在进行时间序列自回归时需要考虑的, 通常意义上的非平稳有Trend-stationary 和 Unit Root Processes在进行分析前我们需要将非平稳序列转换为平稳序列, 如Subtract Trend和difference the series. 事实上你所谓的"金融收益率时间序列的方差不是一固定常数"这是针对条件方差,对于其无条件方差仍是一个与时间无关的常熟,因此应该说还是弱平稳的,你可以查阅以下有关平稳性的定义.

至于"比如做回归y=a*x+u;u为残差,并且u存在异方差,那么此时的y是非平稳的,就是说用ols对方程做回归时,也并不要求数据的平稳性是么?" 这里所谓存在异方差还是条件异方差(E(u^2|x)不是个常熟)和平稳性关系不大, 就算存在条件异方差我们也可以用OLS进行回归, 得到的系数仍具有consistency,只是会损失efficiency, 如果要解决这个问题我们需要引入GLS.

谢谢啊,我发了问题之后,也意识到平稳性是和时间序列有关的.就是说ARCH模型首先要求时间序列无条件方差是常数,才可以应用是吧.

还有就是,比如收益率的条件方差,无条件方差和其回归方程中残差的条件方差,无条件方差有什么关系呢?

Supposing a weakly stationary time series follow AR(2) process:
yt=α0+α1yt-1+α2yt-1+εt,

then:

E(yt|It-1)=α0+α1yt-1+α2yt-1
E(yt|It-1)^2=(α0+α1yt-1+α2yt-1)^2
E(yt^2|It-1)=E((α0+α1yt-1+α2yt-1+εt)^2|It-1)=(α0+α1yt-1+α2yt-1)^2+E(εt^2|It-1)
=>Var(yt|It-1)=E(yt^2|It-1)-E(yt|It-1)^2=E(εt^2|It-1)-0=E(εt^2|It-1)-E(εt|It-1)^2=Var(εt|It-1)

E(yt)=α0+α1E(yt)+α2E(yt) =>E(yt)=α0/(1-α1-α2)
Var(yt)=Var(α0+α1yt-1+α2yt-1+εt)=α1^2Var(yt)+α2^2Var(yt)+α1α2Cov(yt-1,yt-2)+Var(εt)
=α1^2Var(yt)+α2^2Var(yt)+α1α2ρ1Var(yt)+Var(εt)
=>Var(yt)=Var(εt)/(1-α1^2-α2^2-α1α2ρ1)

万分感谢!!!

谢谢大哥,我这么理解对不对呢?

1.序列的条件异方差和残差的条件异方差是相等的.

2.序列的无条件方差是针对所研究的全部数据计算的,只有一个,所以是固定的,无所谓变化与否.

3.残差的均值,无论条件均值,无条件均值都必须为0.

2

这里的Var不是样本方差,而是随机变量yt的方差.之所以不随时间变化是来自我们的假设---yt服从若平稳过程,即yt的一阶矩和二阶矩是不随时间变化的(或yti与ytj之间的相关系数只与i-j有关而与t无关)

3
残差的期望必然为零,这是残差的定义,顾名思义就是那些无法预测的随机项,如果不为零我们总能改变常数项α0来使得E(εt|It-1)=0,从而E(εt)=E(E(εt|It-1))=0


建议好好学习一下时间序列 你可以看一下《Time Series Analysis》 James D. Hamilton