关于CES效用函数替代弹性的问题

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在CES效用函数条件下，如果商品 i和j的替代弹性= −d(xi/xj )d(pi/pj )/(pi/pj )(xi/xj )，那么如何证明任何一对商品i和j之间的替代弹性都符合这个表达式呢？
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关键词：CES效用函数 效用函数 替代弹性 CES 表达式 表达式 如何

自己顶一下

求解答啊

在CES效用函数中，通常形式为：

U = (αx^ρ + (1-α)y^ρ)^(1/ρ)

其中，x代表商品i的量，y代表商品j的量，α是商品i的权重，ρ是替代弹性参数。要求证替代弹性σ满足以下关系：

σ = -d(xi/xj )/d(pi/pj ) * (pi/pj )(xi/xj )

首先计算U关于x的偏导数和关于p的偏导数：

U/x = ρ(αx^(ρ-1) * y^ρ) / (αx^ρ + (1-α)y^ρ)^((1/ρ)-1)
U/pi = -x * U/x / pi

然后，计算d(xi/xj )：

d(xi/xj ) = (dx/dxj) * (xi/xj) = [U/x / (U/y)] * (xi/xj)

接着，计算d(pi/pj )：

d(pi/pj ) = -[U/pi / (U/pj)]

现在，我们可以将这些表达式代入替代弹性的定义中：

σ = [-(U/x / U/y) * (xi/xj)] / [-(U/pi / U/pj) * (pi/pj)(xi/xj)]

由于ρ的特殊性，我们可以简化上述表达式：

σ = ρ / [(1-α) + α(y/x)^ρ]

这是CES效用函数中商品i和j的替代弹性的一般形式。通过这个公式，我们可以看到替代弹性的值取决于ρ、商品权重α以及商品x与y的比例。

因此，任何一对商品i和j之间的替代弹性都符合上述表达式，证明完成。

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