derivation of the mean variance criterion

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麻烦大侠给解释一下handbook中关于 the mean variance criterion的推导 谢谢！

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关键词：derivation CRITERION variance criter varian

科目一100%考不到那个深度。。。。。

只是那个说用泰勒公式推导出的 可是自己却推导不出来啊

1) 泰勒公式：
f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^2/n! + ...
一般只取到二阶，也就是f''()这里。

2) 那么对于一个utility function u(x)，把E[x]当成a：
u(x)=u(E[x]) + u'(E[x])(x-E[x])+{u''(E[x])(x-E[x])^2}/2 +...
两边分别取expectation:
E[u(x)]=u(E[x])+u'(E[x])(E[x]-E[x])+u''(E[x])E[(x-E[x])^2]/2
          =u(E[x])+0+u''(E[x])Var(x)/2

3) certain equavilent (CE)可以理解为期望值加上一个risk discount D，也就是：
CE = E[x] - D，把这个带入utility function
u(CE)=u(E[x]-D)，这里把E[x]当作泰勒展开式里的a，然后展开：
u(CE)=u(E[x])+u'(E[x])(-D)+u''(E[x])(-D)^2/2
在D很小的情况下可以忽略D^2项，因而得到
u(CE)=u(E[x]) - u'(E[x])D

4） 根据定义，u(CE)=E[u(x)]，左边是3）的结果，右边是2）的结果，两边建立等式：
u(E[x]) - u'(E[x])D = u(E[x])+0+u''(E[x])Var(x)/2
                        D = -u''(E[x])Var(x)/u'(E[x])/2

5) 把D带回3）的开头对CE的定义，得到：
CE = E[x]+u''(E[x])Var(x)/u'(E[x])/2

根据risk tolerance coefficient的定义 lamda=-u''(x)/u'(x)，上面的式子也就是
CE = E[x]-Var(x)/2lamda

maximize expected utility也就是maximize certain equivalent，所以就是mean-variance criterion如上

谢谢