最早的SV(stochastic volatility) 模型是由John Hull 和White在1987年提出的Hull-White SV model。SV通常由一个price equation和一个volatility equation 组成,因此也可以看成是一个state space model。即price是由一个latent的state variable——volatility驱动的。Hull-White模型假设volatility和underlying asset price之间没有相关性。因此该模型下option的pricing变得相对来说比较简单。即我可以conditional on 一个whole volatility的path (V=1/T∫(0 to T)sigma(t)^2dt) 对于price 求expectation,然后再把所有的volatility的path取expecation求average。即可得到option的price。这是他们论文比较重要以及漂亮的结论。
最为著名的SV 模型要属Heston (1993)的模型。和Hull-White 假设volatility满足GBM不同,Heston的模型用CIR process来model volatility,这样更加贴近现实,因为volatility一般表现出无drift,以及mean reversion的性质,比较类似interest rate。另一个重大假设是Heston引入了price和volatility之间的相关性rho,因此可以来model smile的skew。但是因为有了相关性,使得pricing的问题瞬间艰难了很多。Heston用了一个很巧妙的方法。首先他猜想pricing的fomula和BS很像,因为BS模型理论上只是SV的一个特殊的case,于是可以得到C=S*P1-K*exp(-rT)*P2(利率可以是随机的,假设常数只是为了不lose big picture). 接下来的工作就是确定概率P1和P2,将C带入Heston模型下的PDE,分离变量之后可以得到P1和P2分别满足的两个PDE。为了解这两个PDE,Heston第一次在finance领域用了fourier 变换,通过求解概率P1和P2的特征函数,在frequency domain 里得到了P1和P2的close form solution,再利用fourier逆变换得到在time domain里的解。Heston的模型毫无疑问,其想法和解法都是非常值得借鉴的,虽然模型看上去很复杂,但是他解的过程和结果却非常简洁漂亮。因此是一款经典的SV 模型
时间到了2002年,在业界新兴起了一个模型:SABR模型。他也是Stochastic volatility 模型,不一样的是他直接建立在forward mearsure下,并且model的是forward price。和Hull-White模型相似,他假设volatility是lognormal的,不一样的地方是他在price方程里面加入了CEV模型。这样就显得非常有意思,现在volatility有两部分组成,一部分是CEV的predictable的part,而另一部分是SV的stochastic的part。这个model 对于smile的fit和hedging的效果都比较好,但是解极其复杂,且是有限阶的approximation。在业界非常流行,但是由于参数比较多,且互相之间有隐含关联,使得有些参数例如beta的估计和经济含义难以得到有效的解释,以及存在近似解的准确性等问题,因此也有不少需要改进的地方。
附上3个model的原文: