请教：包络定理

　　经济学泰斗都是数学大师，比如：亚当斯密，比如大卫李嘉图，比如马克思，比如邓小平，他们肯定比爱因斯坦的数学还要好。

　　要不然的话，正在的经济学家们为什么这么重视数学，而不重视思想创新？

真地只可惜，你没有生在那个年代，否则你一定比他们更出色。

如果现在的你出生在古希腊，你也一定会成为先贤级的人物，至少是个泰斗。

不要以为自己有了些许“思想”，就如何高喊“思想是第一位的”。我们就是修补前人的思想，都可能力不从心呢。

 

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三年多过去了，这里有必要交待一些有关本帖的背景。

 

本帖不能单独地去看，请参见与本帖同期的其他一些帖子（特别是与某些人讨论“创新”的帖子）。

亚当·斯密的“思想”何以后人争相以其为鼻祖？甚至彼此冲突的学派都共奉其为一个始祖？

也许有这样两个原因。其一，他让众人感觉他是第一个说了什么的人（关键这种“第一说”也为人公认）。其二，他的“说法”可以引申或者理解为许多甚至互不相同的含义。如果亚当·斯密更精确地表达了他的思想，会怎样呢？有人会从欧几里德几何学里再理解出别的含义吗？

许多高喊“思想”的人其实真应该抱怨这些泰斗们，你们把话都说完了，后人还说什么呀？（许多人的思想“爆料”，其实不过是不知道前人已经说了些什么，但他们敢以这是“自创并首创思想”自居）

关键是，这些泰斗们的语言都太神了，思想、道理总能从他们的话里解释出，后人怎么说都跑不出他们的道理。一声长叹，是不是？

如果没有机会当先贤，就老老实实为先贤做注吧。如果没有机会第一个提出思想，就努力把这些思想严谨化吧。

如果以为数学掩盖了“思想”，或者想以数学掩盖思想，只能说，还不懂数学。

以下是引用aydragon在2005-6-1 10:04:00的发言：
我在看平新乔十八讲时经常看到“根据包络定理”，请问包络定理内容是什么？我想详细了解一下这个定理应该参考什么书？谢谢！！

包络线麻，长期平均成本就是一系列短期平均成本的包络线撒（这个貌似也是最经常看到的例子），这样的例子比较直观了吧

包络线这东西经常用来做决策的时候用，算是最优控制经常要用到的方法

包络线的解释2楼给出了

关于包络定理：

第一，考虑一个复合函数：M＝F（X，A）其中A是外生给定的变量，不由该模型给出，即你可以把A视为常数；

第二，考虑函数M的最大值函数，即Max M＝Max F（X，A）；

我们可以用一阶偏导数的条件，找出当M取得最大值时，X和A的关系，比如：

M＝F（X，A）＝-X²+2XA-A²+A³

显然，当X＝A时，M可以取得最大值，即M＝A³；

现在的问题是：如果Max　M以独立的函数形式存在，即已经给出了Max M的数学表达式，（可能与A不相关）那么，这个函数MaxM一定也使得X与A的关系达到了预定的关系。

那么M对于A的偏，必然等于F对于A的偏导。

你可以接着试想这样一个问题。

在米卢前，中国足球队的最好成绩是进入奥运会（1988年）；米卢来后，中国足球队的最好成绩是进入世界杯（2002年）。假设其他条件不变（当然这是不可能的，但我们从理论上说），米卢的边际贡献是什么呢？——就是从奥运会到世界杯。

把米卢想成那个参数A，再想想你如何给米卢的成就定价呢？

（对参数A的偏导数就是影子价格的由来）

以下是引用westzhang在2006-3-31 10:52:00的发言：

支持楼主,经济学不是数学游戏,数学只是工具,讨厌学数学的人在学经济学就感觉高人一等,后来发现学数学的数学也很烂,一想对啊,学数学的再学经济是因为他门数学反面没路可走了,

未必吧，学数学转而学经济的很多人数学学得并不差，更不是学数学无路可走

范理安的《高级微观经济学》有详细的解释，还可以。

包络定理主要用于比较静态分析。

比如，价格P1变化对效用最大值的边际影响，包络定理说，求拉格朗日方程对P1的偏导就能得到，其结果是-X1*Lamda，其中X1是需求量，Lamda是拉格朗日乘子。
这里注意，事实上Lamda和X1也都是价格的函数。但包络定理的结论是，在求偏导的时候不用考虑这一点。

可以这样理解包络定理的逻辑。

首先，最大化的效用值事实上就是拉格朗日函数的最大值。
然后，我们对拉格朗日函数的最大值求导。给定其他价格和收入不变，这个函数的最大值可以写成L[P1,X(P),Lamda(P)]。X(P)是向量，但下面我把它当普通的变量处理。

那么
dL/dP1=L1+L2(dX/dP1)+L3(dLamda/dP1)
其中Li是L对第i个分量的偏导。

具体看右边的第二项与第三项。
最大化一阶条件其实就是这里的L2=0，因此第二项等于零。（可以验证一下）
L3是-(p*x-m)。由于这一项肯定等于零，所以第三项也等于零。

所以dL/dp=L1，即为包络定理的结论。

补1：这只是内点解的情况，即没有包括X1=0的情况。但是上面这些应该能满足考研的要求了。
补2：由于单个价格的变化，一般也会影响到对其他商品的需求。所以会有dX/dP1，而不是dX1/dP1。它的具体形式在这里不重要，毕竟L2=0了