第五章 大数定理和中心极限定理
一、切比雪夫不等式
对于任何具有有限方差的RV X,对任意ε>0,都有P(|X-EX|<ε)≥1-DX/ε2
证明:设RV X ~ f(x), P(|X-EX|≥ε)=
用处:理论上,用于证明大数定律;看出方差的实际意义,反映RV X与EX差的关系;当不知道RV X的分布时,求RV X在某个范围概率的估计值,可用此不等式(必须知道EX,DX)
二、大数定理
(一)切比雪夫大数定理
设x1,x2……xn……两两不相关,D(Xi)存在且有界,即DXi≤c, i=1,2,……n…, 则对任意ε>0, 皆有:
证明:设 , ,方差有限,对任意ε>0,都有P(|Y-EY|<ε)≥1-DY/ε2,即
得到:
(二)贝努利大数定理
条件:fn是n次独立重复试验中A出现的频数,且每次P(A)=p, P( )=q=1-p (0≤p≤1),那么对任意的ε>0,都有
证明:设X=0 if 第i次A不出现,1 if第i次A出现。X1,X2……Xn相互独立,所以一定不相关。D(Xi)存在,D(Xi)=pq≤1/4,即D(Xi)有界。满足切比雪夫大数定理条件,对任意ε>0,都有
(一) 辛钦大数定理
独立同分布条件下成立。X1,X1,……Xn……是相互独立的RV序列,服从相同分布,E(Xi)=a<+∞,D(Xi)<+∞,对任意ε>0,都有 。意思是算数平均数无限接近其期望值。
大数定理的重要意义:实际中,P接近1或者接近0的事件有重要意义。P接近1的事件(现象)认为实际上几乎一定发生。P接近0,认为实际上不可能发生,认为在一次试验上不会发生,这就是实际统计推断的原理,假设检验就是以此为准则。
三、德莫弗.拉普拉斯极限定理
相互独立的RV 序列X1,X2……Xn,都服从(0,1)分布,E(Xk)=p D(Xk)=pq, k=1,2,……n, p+q=1, 0≤p≤1, ,则1. ,当n趋向于∞时,其极限分布是N(np,npq)。2.(μn-np)/npq^0.5=Yn, ,即Yn当n->∞时,其分布为N(0,1), 实用中,
理论价值见下例。
例1 某车间有200台机床,独立工作,开工率为0.6,开工时耗电量都是1千瓦,问供电所至少需要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证车间不会供电不足而影响生产。
解:设xi=1 if 第i台开工,耗电1kw; 0 if 第i台不开工耗电。P(xi=1)=0.6 P(xi=0)=0.4,
设供电所应该供电Q千瓦,
,
φ[(Q-120)/48^0.5]=0.999, (Q-120)/48^0.5=3.01, Q≈142千瓦
例2 某厂产品废品率为千分之五,任取10000件,废品不多于70件的概率。
解:设X=1 if 第i件是废品; 0 第i件是正品。 i=1,2,……10000
10000件中废品个数Y,Y=
(上式中,npq=49.75)
四、同分布的中心极限定理
相对独立的RV 序列 X1, X2, ……Xn, 都服从同一个分布,又具有有限的期望和方差,EXk=μ, 0<Dk=σ^2<+∞,则 的分布函数Fn(X) ,
常用形式:对任意的a<b, n很大,
重要性: 每个Xi 都是同分布且独立,可以看做正态分布。