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分享《数学传播》- 凸函数、Jensen 不等式与Legendre 变换 - 林琦焜: hylpy1 2016-11-8 14:17; 凸函数、Jensen 不等式与Legendre 变换林琦焜一、前言凸函数的出现绝非偶然，在古典力学中的动能，就是最自然直接的凸函数，其他如熵(entropy)……等皆是，当然从几何的角度而言就是抛物线。近代分析由于受凸分析研究所得之进展的影响，使得在非线性分析，非线性微分方程皆有长足之进展与突破，其中较重要的就是逐渐将非线性(nonlinearity)视为一个体，而非只是线性化(linearization)而已。凸函数是如此地美丽且重要，而一般教科书只是提个定义然后定理之后便是习题。对于这样的数学，我们实在不满足地无法忍受，毕竟数学要教导我们聪明并学习如何去思考。因此本文秉持此原则，将着重于几何与物理直观，并与一些相关联的领域作一些对应，以思索在我们前面的那些数学巨人是如何思考问题。二、凸函数我们从凸函数之定义开始定义：f为一定义在区间上之一实值函数(real-valued function) 若对任意的 , ，f满足下式则称f为一凸函数(convex function)。图一其几何意义为连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的弦，永远在弧y=f(x)之上（图一）。利用分点公式我们可将(1)式表为下列之形式：由(2)式可得即图二其几何意义从图形上之斜率可知。我们的主要目的在于如何将(1)式推广至一般情形。首先同时也是自然而然地（在数学上2与n是没有差别的）将(1)式推广至n个点x1,…,xn。（可用归纳法）其中 , , , 。有时候我们（有目的地）令则(4)式可改写为这就是Jensen不等式之一形式。若取特殊的pi，例如：则(6)式可表为典型的凸函数有底下的类型：在尚未做进一步推广前，Jensen 不等式最直接的应用就是几何平均与算数平均之关系；读者可自行练习例题1：（几何-算数平均）试证(a) (b) 三、Jensen 不等式的意义我们感兴趣的问题是关于Jensen不等式(6)式或(7)式之几何意义与物理意义，首先介绍质量中心：假设平面上有n个点且它们皆有相同之质量，其位置向量为，，则质量中心之位置向量为或这意思是从点到各点之向量彼此互相抵消。图三我们可以这么想像：在每一点为一钉有木桩而后用一条橡皮筋连接各点。则如此可形成一多边形H（阴影区域）而这就是的“凸包”(convex hull)。图四质量中心(9)式告诉我们的就是这点可由图形直观而得。通过任意一点P，P在该集合之外部，我们可划一直线L使得H及其所围区域完全落在L之一边。当然这些向量不可能互相抵消，因为它们在法向量上均有正的分量。注：上面所谈的这个概念其实就是泛函分析中Banach Separation 定理之一雏形。有了这个预备工作之后，我们回到原来的点：图五令K= {(x,f(x))}为函数f之图形(graph)，同时我们也连接两端点(x1,f(x1)),(xn,f(xn))，则由质量中心为必定落在阴影区域H之内部，即这就是(7)式，其意义为：质量中心必定在图形K之上方。而通过(x1,f(x1)),(xn,f(xn))两点之弦方程式为由图形亦知而且对所有下式成立这个不等式我们可视为比较定理（Comparison定理）最简单的形式，而这在微分方程理论中扮演着举足轻重的角色。比较(7)与(12)式，各等式要成立其充分必要条件为质量中心落在图形K上，即这相当于如果将视为xi之机率分配（一致分配），则Jensen不等式(7)，也可以用机率的角度来看 E为期望值。对于较一般的(6)式其意义仍是一样的，即视x1,…,xn为n个点但其质量分别为pi而为其总质量，故有若视为点xi之机率分配，则上式可以期望值之形式表达出来，其形式与(15)式同。若仔细推敲，可知我们前面这些推导的过程中对维数(dimension)之依赖并不深，因此我们可自然地推广至n维空间。例如设z=f(x,y)为一向上凹之曲面，则(7)式可推广为或用向量之形式另一个方向的推广则是想像粒子数目增加至无穷多个，如此我们便可以从离散型过渡到连续型，表记如下：这就是我们在数学上，尤其是分析学思想的过程而需要克服的问题──“收敛性”，即无穷级数或积分是否有意义（即是否收敛）。在区间我们可以取分割点由(6)式知将上式表为Riemann 和之形式再取极限，我们就有积分形式的Jensen不等式。定理（Jensen 不等式一）若p满足更一般情形则将区间代换为任意可测集合A( ) 定理（Jensen 不等式二）读者若有机率或测度(measure)之概念，则可将p视为一密度函数，故有定理（Jensen 不等式三）作个简单的习题，其实就是例题1 之推广例题2：，试证四、Legendre 变换关于Jensen不等式之证明，最简单直接的方法就是用支撑线(supporting line)之概念，而这方法在F. Riesz写给Hardy的信中（1930年）就曾提过关于几何－算术平均不等式的证明，就是利用底下之不等式这就是支撑线(supportingline) 之概念。图六若f为区间(0,1)上的一个正的且可积函数，则由(24)式知（）其中为f之算数平均，将上式积分一次得由对数函数之性质知或者表为仿此精神我们证明Jensen 不等式图七由图形知y=f(r)+m(x-r),m=f'(r)为凸函数f(x)之支撑线(supporting line)，即现在取r为质量中心而x则取为，则(26)式成为两边同时乘p并积分得但由r之选法知故得这就是Jensen 不等式。在尚未作进一步论述之前，我们不禁要对F. Riesz的想法献上我们的敬意。所谓的“好数学”便是以简单的方法来解决困难的问题，而不是学了很深的数学然后再说"Trivial"简单、容易。这基本土是对数学的无知。另外一门好的数学就是其本身有“将来性”，而非解完一个问题便寿终正寝。我们要特别强调的是Riesz所提支撑线的概念，实际上就是Legendre变换之化身。不失一般性可设函数上通过原点，f(0)=0因此通过(r,f(r))之切线方程式（即支撑线）为这式子告诉我们(f'(r),f(r)-rf'(r))唯一决定点(r,f(r))即这两者之间可定义某种变换关系，而这就是我们要谈的Legendre变换。在还没有正式谈Legendre变换之前，我们先看看(28)式之几何意义。图八首先将切线平移为通过原点斜率为f'(r)之直线因此为直线y=f'(r)x之y截距，由图形可知其实即直线y=f'(r)x与曲线y=f(x)相割后垂直距离最宽者，而这就是Legendre变换。记为直接由(31)式，即Legendre 变换之定义可得的就是Young's 不等式一般我们所熟知的形式为（利用Jensen 不等式）有时候我们可略作变化则(33)式可改写为这个技巧在分析尤其是偏微分方程中是常用的。上面这些探讨主要是告诉读者Legendre 变换之本质是支撑线(supporting line) 而实际上就是Young's 不等式的另一形式。除此之外，支撑线的概念也提供我们重新定义凸函数之方法：定义：f为一定义在区间之一连续函数，若对任意的点皆存在一相应之值，满足下式则称f为一凸函数。这个定义可由Taylor展开式来看。f在ξ点之Taylor展开式为若f为一凸函数，则f''0故有因此通常(35)式中之λ是取。五、Jensen 不等式之应用应用一任给两个正数a,b，其p阶平均为现在考虑函数 ,pq，因为img width="44" height="31" style="margin: 0px; padding: 5px 0px; border: currentColor; border-image: none; vertical-align: middle; display: inline-block;" src="http://9yls.net/wp-content/uploads/2013/01/wpid-c4f10dad0152c3254768bf06a5e02b5d_img912.gif?46e737" p="" function)。因此由jensen不等式知即故即如果将Np视为p之函数，则Np为p之增函数。同理可得积分形式的p阶平均：则其中表示Ω之面积或体积。读者若有实变函数论的观念，则(39)式所表示的函数空间之关系为其中函数空间表示p次方后可积分之函数所形成之集合要特别叮咛的是(40)式之关系，只有在之条件下才成立，因为此时质量中心才有定义。应用二凸函数在二维或更高维数的空间，例如复变函数，所对应的便是次调合函数(subharmonic function) 对于此类函数具有非常重要地位的平均值不等式(mean-value inequality)为 BR(y)表示以y为圆心，半径为R之n维球，则表示其球面，为n维单位球之体积。(43)式实际上就是Jensen不等式之一特例，但要特别叮咛的是(41)式之积分区域务必要取均匀的球BR(y)或球面，因为此时y是BR(y)或的质量中心。由(43)式可推得最大值原理(maximum principle)。定理最大值原理（maximum principle）：,，则这定理告诉我们一个定义在有界区域Ω之次调合函数，其最大值必定发生在边界上。关于这件事实，我们亦可以凸函数之性质来想像。读者可参考底下之图形图九另外在偏微分方程中的Laplace方程，解之存在性证明方法中的Perron方法，也可由此角度来思考。图十 D. Gilbarg and NS Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed., Springer-Verlag (1983). GH Hardy, JE Littlewood and G. Polya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge (1952). Fritz John, Partial Differential Equations, 4th ed., Appl. Math. Sci., 1, Springer-Verlag (1982). T. Needham, A Visual Explanation of Jensen's Inequality, American Math. Monthly 100, 768-771 (1993) http://9yls.net/3708.html; 17 次阅读|0 个评论

分享施瓦兹不等式: hylpy1 2015-8-7 12:08; 施瓦兹不等式 @1997按：俄罗斯人常常喜欢一有机会就用他们民族的数学家来命名数学概念。柯西-施瓦兹不等式就这样，又叫柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦兹不等式。 1821年，奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789--1857）在其第二份（共两份）关于不等式的笔记里公布了他著名的不等式。这两份笔记构成了他的著作《分析教程》（\emph{Cours d'Analyse Alg\'ebrique}）的最后部分。这本书或许是世界上最早的严格的微积分教材。奇怪的是，除了在一些练习中，柯西并没有在其教材里应用这个不等式。对这个不等式的最早应用出现在1829年，那是柯西在研究用牛顿法来计算代数与超越方程的根的时候。这个八年空隙为科学的步伐提供了一个有意思的度量。现在，每一个月，都有以这样或那样的方式应用了柯西不等式的数百甚至数千的学术文章发表。这些应用中的大部分依赖于柯西不等式的一个自然类比，即用积分来代替求和：这个不等式最早出现于出版物中是在由维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Victor Yacovlevich Bunyakovsky）所著、圣彼得堡皇家科学院1859年出版的\emph{M\'emoire}。布尼亚科夫斯基（1804--1889）曾在巴黎追随柯西学习，对柯西有关不等式的工作很熟悉。在撰写他的\emph{M\'emoire}时，布尼亚科夫斯基可安心地称有限和形式的经典柯西不等式为\emph{熟知}的。进一步，布尼亚科夫斯基没有详细考虑极限过程，只用了一行就从针对有限和的柯西不等式过渡到其连续类比( )。巧合的是，这个类比在布尼亚科夫斯基的\emph{M\'emoire}里被标号为不等式{\bf (C)}，似乎布尼亚科夫斯基头脑里想到的就是柯西。布尼亚科夫斯基的\emph{M\'emoire}虽然是用法文写的，却似乎并没有在西欧得以广泛流传。尤其是，它似乎不为1885年的哥廷根人所知，其时赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，1843--1921)正从事他有关极小曲面理论的基础工作。在他的工作中，施瓦兹需要一个类似于柯西不等式的二维积分类比。特别，他需要证明，如果且， , 则二重积分必满足施瓦兹还需要知道该不等式是严格的，除了函数 and 成比例。有几个原因导致用柯西不等式来证明这个结果的方法行不通，原因之一，即在过渡到积分的极限过程中，可能丢失离散不等式的严格性。因此，施瓦兹需要考虑另外的方法。面对这样的需求，他发现了一个经得起时间考验的证明，其魅力历久不衰。施瓦兹的证明基于一个不寻常的观察。具体而言，他注意到实多项式总是非负的，而且，除非和成比例，是严格正的。二项式公式告诉我们，其系数必定满足。此外，除非和成比例，实际上有严格不等式。因此，从一个纯代数的见解，施瓦兹找到了他所需要的全部。施瓦兹的证明需要有想到辅助多项式的智慧，但一旦有了这一步，其证明是相当的轻快。同时，从练习中我们可见，施瓦兹的论证可以几乎不加修改地用于证明内积形式( ) 的柯西不等式，甚至在那里，施瓦兹的论证也提供了等式成立的快捷理解。因此，没有理由对施瓦兹的证明成为教科书的最爱感到奇怪，虽然它确实需要变一个戏法：从帽子中取出来一个兔子——或说至少一个多项式。数学名词，尤其是不等式之命名根据布尼亚科夫斯基的工作在施瓦兹之前清晰历史，现在将( )称为施瓦兹不等式这一普遍叫法显得不公平。然而，按照现代标准，布尼亚科夫斯基和施瓦兹能将他们的名字与数学分析中如此一个基本工具联系起来，两者都可称得上幸运。除了在一些特殊情形，现在人们基本上不能因为做了一个离散不等式的连续类比或者反之而获得声誉。实际上，今日许多问题解决者喜欢在离散与连续的类比中上下探索以寻求理解感兴趣现象的最容易的途径。总的来说，不等式的命名方法有很多。有的名字纯粹是描述性的，例如，这可见于我们很快就要遇到的三角不等式。更常见的是，一个不等式的名字与一位数学家的名字相关，但即使这样，也没有固定的规则。有时，不等式用首先发现者的名字命名，但其他规则也可能使用——例如，最终形式的确定者，或者最为人熟知的应用提供者。如果我们要坚持统一使用首先发现者的命名原则，则H\"older不等式将变为Rogers不等式，而Jensen不等式则变为H\"older不等式，其结果只是巨大的混乱。最实用的原则——也是我们这里所用的——就是简单地使用传统命名。不管怎样，检查这些传统的起源，时常可以广博我们的见闻。; 8 次阅读|0 个评论

分享微积分复习全书视频: accumulation 2015-5-9 14:10; 1. 极限、无穷小与连续性：求极限的方法； 2. 极限、无穷小与连续性：求极限的方法； 3. 极限、无穷小与连续性：求极限的方法； 4. 极限、无穷小与连续性：求极限、无穷小和它的阶； 5. 极限、无穷小与连续性：无穷小和它的阶、连续性及其判断； 6. 一元函数微分学的概念、计算及其简单应用：基本概念； 7. 一元函数微分学的概念、计算及其简单应用：一元函数微分法； 8. 一元函数微分学的概念、计算及其简单应用：一元函数微分法； 9. 一元函数微分学的概念、计算及其简单应用：一元函数微分法、一元函数微分的简单应用； 10. 一元函数积分学：基本概念与基本定理； 11. 一元函数积分学：基本概念与基本定理、基本积分表与积分计算法则； 12. 一元函数积分学：积分计算方法与技巧； 13. 一元函数积分学：积分计算方法与技巧； 14. 一元函数积分学：积分计算方法与技巧、反常积分； 15. 一元函数积分学：反常积分、一元函数积分学的应用（几何应用、物理应用跳过，只看经济应用）； 16. 一元函数积分学：一元函数微积分在经济学中的应用； 17. 一元函数积分学：积分等式与不等式的证明；一元函数微分学中的基本定理及其应用：中值定理、微分中值定理的应用—利用导数研究函数的变化； 18. 一元函数微分学中的基本定理及其应用：利用导数研究函数的变化； 19. 一元函数微分学中的基本定理及其应用：利用导数研究函数的变化、一元函数的最值问题、微分中值定理的应用—证明不等式； 20. 一元函数微分学中的基本定理及其应用：讨论函数的零点、利用微分中值定理证明函数或导数存在某些特征点； 21. 泰勒公式及其应用：泰勒公式及其余项、泰勒公式的求法； 22. 泰勒公式及其应用：泰勒公式的应用； 23. 舍去； 24. 舍去； 25. 多元函数微分学：多元函数基本概念及其联系； 26. 多元函数微分学：多元函数的微分法； 27. 多元函数微分学：多元函数的微分法； 28. 多元函数微分学：多元函数的极值； 29. 多元函数微分学：条件极值与条件最值；二重积分：二重积分的概念与性质； 30. 二重积分：在直角坐标系中化二重积分为累次积分； 31. 二重积分：在极坐标系中计算二重积分； 32. 二重积分：二重积分计算的一些重要技巧； 33. 常微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法； 34. 常微分方程：应用问题、差分方程； 35. 常微分方程：二阶常系数线性微分方程及其解法； 36. 级数：级数的基本概念与性质、差分方程； 37. 级数：判别级数敛散性的方法、幂级数的收敛性及其性质、求幂级数的和函数与函数的幂级数展开式； 38. 级数：判别级数敛散性的方法、幂级数的收敛性及其性质、求幂级数的和函数与函数的幂级数展开式； 39. 级数：判别级数敛散性的方法、幂级数的收敛性及其性质、求幂级数的和函数与函数的幂级数展开式； 40. 级数：判别级数敛散性的方法、幂级数的收敛性及其性质、求幂级数的和函数与函数的幂级数展开式； 41. — 48 ：舍去；; 个人分类: 考研|0 个评论

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