概率论与数理统计（14）

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第八章   假设检验

基本类型：第一类，已知总体X~ F(x,θ),θ=(θ1,θ2,……,θn),未知其类型。X~ N(μ,α2)， μ,α2 未知，需要检验θi=θi0。如，u=u0? u>u0? u<u0?

参数EX=?,DX=?

参数的假设检验。第二类，总体分布未知，检验其分布是否为某一分布。X~ F(x,θ)未知，检验F(x,θ)=> F0(x,θ)。称为非参数的假设检验，这里介绍显著性假设检验。

第一节   假设检验的基本思路和方法

一、基本思路

1.  实际统计推断原理

P->1的事件A，认为在一次试验中应发生的事件；P->0的事件A，认为在一次试验中不会发生的事件，叫做小概率事件，认为小概率事件在一次试验中不会发生。

2.  概率的反证法：条件，问A≠B，假设A=B，推出的结论与已知矛盾，从而证明A≠B。

例：某接待站一周曾经接待过12次来访，据统计这12次来访都是在周二或者周四进行的，试推断此接待站的接待时间是否是有规定的。

（1）   提出检验问题：H0（原假设），没有规定的；H1（备择假设），接待时间是有规定的。事件A=12次来访都是在周二或者周四。

（2）   在H0成立的条件下，P(A)=212/712=0.0000003, 说明A是小概率事件，在一次试验中不会发生，但是却发生了，与实际统计推断原理矛盾，所以否定H0，认为H1成立，即接待时间是有规定的。

二、一般检验步骤

提出假设H0，H1; 找小概率事件P(B)=α,B的找法， ,α是显著水平。已知α，查表得到k,必须找有关统计量，并且知道其分布。样本计算是否发生。推断，B发生，矛盾，否定H0，承认H1。若B没有发生，H0相容，重做试验或者改进检验方法。

例一：总体X~ N(μ,σ2)，σ0=0.015，一般设H0：大概率事件，H1，小概率事件。

H0：μ=μ0=0.5, H1: μ≠μ0

选取有关统计量： 。H0成立，u~ N(0,1)。给定α，使得：

H0的拒绝域：

计算： =0.509， ，

推断：若|μ0|>Zα/2,否定H0，承认H1; 若|μ0|<Zα/2,H0相容。称概率α为显著水平。

三、两类错误

真实情况	H0	判断结论	性质	犯错误概率
μ=μ0	μ=μ0	接受H0，μ=μ0	正确
		否定H0，μ≠μ0	弃真错误 （第一类错误）	α
μ≠μ0	μ=μ0	接受H0，μ=μ0	存伪错误 （第二类错误）	β
		否定H0，μ≠μ0	正确

要α，β同时小，不可能的。

，μ1是真实均值。

实际中μ=μ1≠μ0， ， ， ，落在图中阴影部分的概率为B, ，式中，如果α大Zα/2小，B小；α小，Zα/2大，B大。也可以标准化以后查表。

第二节   一个正态总体参数的假设检验

H0的拒绝域： ， 或者 ；得到：

，或者

一、均值μ的双侧假设检验

总体X ~ N(μ,σ2), (X1，……,Xn)是样本

（一）  已知方差 ，检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

（二）  未知方差，检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

例：P279，3

提出假设检验，H0：μ=μ0=3.25，H1：μ≠μ0

选取统计量，且在H0成立条件下：

给定α，选 ,H0的拒绝域是

计算： ， ， ,

统计推断： ，在显著水平α=0.01下，H0相容，认为含量是3.25。

二、方差σ2的双侧假设检验

（一）  未知μ，H0： ,H1： 。选取有关统计量，在H0成立条件下， ， ，H0的拒绝域是 或者 。

，查表

推断： ，所以在显著水平0.02下，拒绝H0，承认H1，认为方差波动性有显著变化。

若求出的值： ，则H0相容，否则不能肯定。

（二）  已知μ，H0： ,H1： , 此时

三、均值μ的单侧假设检验

例：枪弹出厂时，初速度V~ N(950，102)，储存一段时间后，检查质量是否有变化。样本n=9, ,若 不变，问枪弹的初速度V是否显著降低？（α=0.025）

解：提出假设检验：H0，μ≥μ0=950； H1，μ<μ0=950

选择统计量：

μ=μ0时， ~ N(0，1)

定义： , ,拒绝域为 。

计算： ，-Z0.05=-1.96

判断：因为-6.6<-1.96=-Z0.025，所以在α=0.025下，小概率事件发生，拒绝。

H0，承认H1，认为V显著降低。

H0统一为等于号，H1有三种情况

μ的单边检验

1.  已知 ，H0：μ=μ0，H1：μ<μ0,左侧检验， ;

2.  已知 ，H0：μ=μ0，H1：μ≥μ0,右侧检验， ;

1,2 ,且在H0成立下。

3.  给定α，选 ，H0拒绝域：

4.  计算

5.  推断

未知方差σ2，H0：μ=μ0

例1：H0：μ=μ0=8.32; H1：μ<μ0

H0成立， ， ,

H0的拒绝域 ，-t0.04(4-1)=-2.3534

若H0：μ=μ0, H1：μ>μ0，前面一样，但是拒绝域为

已知方差 ，H0：μ=μ0, H1：μ<μ0,

已知方差 ，H0：μ=μ0, H1：μ>μ0,

未知方差H0：μ=μ0, H1：μ<μ0,

未知方差，H0：μ=μ0, H1：μ>μ0,

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关键词：概率论与数理统计 数理统计 概率论 小概率事件 假设检验 概率论 反证法 统计 矛盾