请教一道微观经济学的题目

在一个pure economy环境下，市场上有两个商家A和B，及两种商品1和2。只有交换，没有生产。
A的效用函数是uA(x, y) = xα y(1-α),
B的效用函数是uB(x, y) = xβ y(1-β).
即都遵循Cobb-Douglas效用函数。
其中x 表示商品1的数量，y 表示商品2的数量，0<α，β<1。
存在一个商品1的数量C>0 和一个商品2的数量D>0。

问题是：
1. 合同曲线（contract curve）连接两点 (0, 0) 和 (C, D).
    说明在这两点之间：
    (1) 当且仅当β > α 时，合同曲线在对角线上方；
    (2) 当且仅当β = α 时；合同曲线就是这个对角线；
    (3) 当且仅当β > α 时；合同曲线在对角线下方。
2. 解释对第1题中结果的intuition。

没理解错的话，这里应该用edgeworth box作图描述，但是怎么解释这个intuition？是不是只要用语言解释说明equilibrium和Pareto optimal allocation就可以了？

3. 假设初始的分配是，商家1为 (C, 0)，代理商2为 (0, D)。找出一个价格向量(p, 1-p)，此时取得均衡。
4. 计算这个价格向量时的均衡分配，并说明解释这个均衡分配在合同曲线上。
5. 这个均衡是唯一的吗？证明你的结论。

初学不太清楚，希望有童鞋能给出清晰详细的解答和思路。

谢谢！

解

首先，你应该把题目中的字母标识清楚。在埃奇沃思框图中，符合正常数学思维的那一部分坐标表示A的无差异曲线区域，横轴表示商品1的数量，纵轴表示商品2的数量。用小写字母x，y表示A拥有的商品1和2的数量。那么B拥有的商品1和2的数量就分别为C-x，D-y

根据题目意思，首先求得对角线的方程，它是一个线段：

y=(D/C)x，两点式：y/x=(D-y)/(C-x)

下面来计算能够表示合同曲线（契约曲线）的方程。合同曲线是一系列无差异曲线的切点组成的轨迹。切点处，他们拥有相同的切线。因此，从计算无差异曲线的斜率入手。无差异曲线通过效用函数获得。

当α=β时，合同曲线就退化为对角线：y/x=(D-y)/(C-x)；

下面，变换一下合同曲线：

当β＞α时候，可以证明，这个表达式大于1，那么合同曲线在对角线上方；

反之则反。

1according to the two utility functions we can derive the contract curve,namely :y1=db(1－a)x1/(b(1－a)x1 ＋(c－x1)a(1－b)),here c and d denotes endowment b=β.then ,assume y1>d/c x1,we can get the condition :b>a ,the rest can be deduced by the same analogy 2,because the parameter b reflects the preference of the agent 2,when b>a,it means that the agent 2 attaches more importance to x than the agent 1.
3,4,5,: due to the endowment point we can get the income identity :p1x1＋ p2y1=p1c  p1x2＋ p2y2=p2d. according to consumers' equilibrium condition: ay1/(1－a)x1=by2/(1－b)x2=p1/p2, finally we can obtain the outcome:x1=ac y1=db x2=(1－a)c y2=(1－b)d p1/p2= (1－a)c/bd. we only get the price ratio without more concrete conditions, but when p1=p p2=1－p , the precise answer will emerge . given the endowment point and the utility function ,the equilibrium (if exists) is certain.

2.    本题中CD函数中的参数表示消费者，在其他条件（价格）不变的情况，花在该商品上的预算份额。比如，A在消费者均衡时候，必然将其预算的α部分花在商品1上。因此，这些参数的变动一定程度上反映着消费者，对两种商品的取舍、偏好（其他条件不变的情况，如价格）。    其次，CD中的参数，经过求斜率（就是替代率），反应了两种商品的替代程度，也就是反应了，偏好程度。
    在对角线y=（D/C）x上，任意取一点（q，Dq/C），那么A的边际替代率为-[α/(1-α)](D/C)，该点处，表明A愿意用1个x换取[α/(1-α)](D/C)个y。同样的道理，B愿意用1个x换取[β/(1-β)](D/C)个y。
    （1）如果α=β，那么两者都有相同的意愿的交换比率，契约线就是直线，对角线。
    （2）如果β＞a，则[α/(1-α)](D/C)<[β/(1-β)](D/C)，即，同样1个x，B愿意用比A愿意用的更多的y去交换（相对地，其他条件不变的情况下，如价格、收入，B比A花在x上的钱要多），也就是说，A用1个x会从B那里得到更多的y，而且B也愿意付出这么多的y。
       那么，A付出q个x，他得到了[β/(1-β)](Dq/C)个y，进行分解：
       由于[α/(1-α)](D/C)<[β/(1-β)](D/C)
       则必有k＞1，使得k*[α/(1-α)](D/C)=[β/(1-β)](D/C)，
       则k*[α/(1-α)](Dq/C)个y，分解出k(Dq/C)，和对角线上的交换结果Dq/C相比，显然坐标（q，k(Dq/C)）在（q，(Dq/C)）之上。由于q是任意的，所以，这种情况下，合同线在对角线之上。
     （3）另一种情况相反。

剩下的3、4、5问题一起解决：

      前面说过，C-D函数中的参数，是消费者均衡时，花销在商品上的份额，那么就可以直接写出需求函数。不用管题目中的价格向量，因为总可以假设商品1的价格为1，商品而的价格为p，这里重点在于两者额价格比例，而非价格的绝对数值。
    那么根据初始禀赋，A的收入就是M=1*C=C，B的收入为M=p*D=pD，直接写出需求函数：
XA=αC/1=αC， XB=βpD/1=βpD
YA=(1-α)C/p，  YB=(1-β)pD/p=(1-β)D
无论怎么交换，总量是不会变的：
XA+XB=C
YA+YB=D
可以验证，这是同解方程：得到p=(1-α)C/βD
因此，当商品1和商品2的价格之比p2/p1=p=(1-α)C/βD时，可以实现均衡配置。如果非要写成（p，1-p）的形式，那么就是：
（βD/[(1-α)C+βD]，(1-α)C/[(1-α)C+βD]）
此时的均衡配置为：A（αC，βD），B（(1-α)C，(1-β)D）
这个均衡配置在合同曲线上，带入合同曲线验证即可。【说明：需求函数是通过求解消费者均衡得到，因此，需求函数上每一点都是满足效用最大化的，将需求函数联立求解，必然得到双方都能满足，那么得到均衡配置必然是这个体系内的一般均衡】

这个均衡是不唯一的。在两人物物交换的封闭经济中，一般均衡一般是合同曲线（契约线）的一段，称为交换经济的核，当参与交换的人越来越多时，近乎于完全竞争时，核就会不断收缩成一个点，即完全竞争经济的唯一的一般均衡。