equity option和bond option在定价方面的区别？

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为什么会有“moneymarket” is the Numeraire used to price an equity option这个说法，和BS公式中的riskless rate有关吧？
为什么说money market在bond option定价中不适用？Fixed income option定价用什么方法合适？

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关键词：Option equity equit Equi quit equity option

两者大致有以下区别

1. Equity 没有 maturity，而bond有
2. Equity option pricing中可以假设risk free rate constant（例如BS），Bond  option当中显然r是随机的。
3. Equity有trend的形态，而interest rate是mean reversion，一般没有trend，因此两者建模方式不一样。
4. Equity option是一层derivative，而bond 因为本身是interest rate derivative，因此bond option，是两层derivative
5. Interest rate为不可交易资产，因此bond price和interest rate process会出现一个market price of risk的东西。

我不知道你这句话出自何处，我并不认同money market只能作为equity option pricing的numeraire。我们知道不同的numeraire对应不同的measure。pricing大多首先从risk neutral measure出发，而money market 是risk neutral measure 的numeraire，他的作用首先将stock或者bond还有interest rate转到风险中性概率下。而后，如果是equity option，假设利率是常数，则可直接定价。而bond因为利率随机，因此必须把折现因子提出，这样要再change 一次measure，这次是将zero coupon bond作为numeraire，因此新的measure叫做forward measure。

例如在风险中性条件下C=E'[exp(-积分(t to T)r(s)ds)*payoff], (E'()表示在风险中性概率下的期望)，

将E'[exp(-积分(t to T)]作为numeraire提出，C=E'[exp(-积分(t to T)]E*[payoff], 可以证明E*()是forward measure下的期望。E'[exp(-积分(t to T)]就是zero coupon bond B(t,T)的价格。

注: E(XY)=E(X)*E(XY/E(X)),=E(X)*E(Y *theta)其中theta=X/E(X), 因此E(XY)=E(X)E'(Y),其中E change到E'的Radon–Nikodym derivative 为theta。E(X)即是numeraire。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-3-30 02:09
两者大致有以下区别

1. Equity 没有 maturity，而bond有

明白了，非常感谢，讲解很清楚！

Chemist_MZ 发表于 2014-3-30 02:09
两者大致有以下区别

1. Equity 没有 maturity，而bond有

能解释一下numeraire的概念吗？

cash_king01 发表于 2014-5-12 14:13
能解释一下numeraire的概念吗？

numeraire 的本意是一种货币的计价单位。例如有两种商品X和Y，把Y当成numeraire，X就值X/Y单位的Y。

numeraire是mathematical finance里面构建martingale的重要方式。即两个随机过程X和Y，你一定能找到一个measure使得X/Y是一个martingale，这个measure叫做equivalent martingale measure (EMM)中文叫做等价鞅测度。这样就方便定价。最常见的例如将money market account作为 numeraire，得到的就是风险中性概率。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-5-12 16:15
numeraire 的本意是一种货币的计价单位。例如有两种商品X和Y，把Y当成numeraire，X就值X/Y单位的Y。

n ...

即两个随机过程X和Y，你一定能找到一个measure使得X/Y是一个martingale，这个measure叫做equivalent martingale measure (EMM)中文叫做等价鞅测度。这样就方便定价。

如果我们不去寻找一个Y，从而使X/Y为一个martingale, 那么给X定价有何不方便之处？

cash_king01 发表于 2014-5-22 16:12
如果我们不去寻找一个Y，从而使X/Y为一个martingale, 那么给X定价有何不方便之处？

比较大的问题就是不知道X的growth rate，因此即使求得了期望，还是不知道用什么rate 来折现。即便是真的知道也很难保证定价的无套利，因为真是世界的expected return取决于人的risk preference，这个不确定性就大得去了。