请教关于蒙地卡罗期权定价中的减少方差(control variates)的算法

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各位大大好。

在使用monte carlo为一只简单的欧式期权定价时，最大的难题在于所得的价格并不是十分精确。因为一些原因，在定价上被规定只能使用vba去模拟，当vba跑超过1w次模拟后反应就开始变慢。因此靠扩大样本来获得更精确数据并不可行。

于是参阅了一些利用control variates减少方差的一些方法后，并开始尝试引入。但因为本人不是quant出身，所以理解上会有相当大的误差。这导致我修改计算出来的价格和原来未修改的数据几乎一样。所得的premium集合中的方差也没有差别。。。这说明我的理解绝对有错。

以下是我参考的资料（比较简单，只有一页）：

问题：
1）在”set Xk= S0* exp(-rT)* exp(.....), k<=n那段话中， 假如把exp(-rT)剔除，实际上Xk=St，St*exp(-rT)=S0, 这样兜一大个圈子说明Xk=S0有什么特别意义吗？

2）在"set Yk=(Xk-K)+ 这段话中，如果我没有理解错，应该是表示Xk-K的最大值。其中我最不明白的是，Xk实际上是S0，因为S0是现值，K是未来值，那么Xk减K是不是没有比较意义？PS：以原始Monte carlo定价上，也是使用Max(St-K)* exp(-rT)，先处理未来值，在回归现值出的啊。

3）最后一行， 这个b在现实的期权定价上到底怎么算出来？

4）同样最后一行，这个"mu"（字符打不出来，发音是mu，就是等号左边那部分），是不是代表经过减少方差后的期权价格均数，也就是最终模拟所得后所得的价格？

如果各位大大觉得问题无法理解，可不可以用以下的数据，演算一次如何减少方差呢？以下是我使用计算的数据和结果：



ps: prime= premium
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关键词：Variates Variate control Contro 期权定价中 control 最大的 卡罗 样本

先试着回答你的几个问题：
1. X_k不可能等于S_0。X_k是有randomness的，很明显的来源于Z。而S_0是个定值。你的逻辑的问题在于St*exp(-rT)=S0.这个只在risk neutral measure下成立，不在physical measure成立。

2. 是最大值。基于1是错的，2的推理也是错的。如果X_k是确定的，就不用做模拟了。

3. 不知道mu是什么，所以猜不出b是什么。

最后，我不太明白怎么vba上跑这么简单的1w次模拟都会变慢。matlab跑这种100w次都不慢。还有就是为什么不直接算准确的在bs模型下的期权价格。

soar1120 发表于 2014-7-5 11:03
先试着回答你的几个问题：
1. X_k不可能等于S_0。X_k是有randomness的，很明显的来源于Z。而S_0是个定值。 ...

感谢你的热心回答:)

问题1和2我听你解释后有些眉目了。但关键的问题3和4始终没有太多头绪。b我找过一些其他资料，好像是Y对X的beta= covar(X,Y)/Var(X), 但具体怎么算出来呢？用原始的求解方法把所有数据过滤一次算出来(covar(x, y)= E(X*Y)+E(X)*E(Y)，还是说有特别的方法呢？

matlab好像会快特别多，我也不太想用vba。我试过从1w次改成10w次，结果等待时间有些长，使用感觉不好。
bs的Pricer已经有了，多一个价格比较总是好的。

branch_jj 发表于 2014-7-5 16:10
感谢你的热心回答:)

问题1和2我听你解释后有些眉目了。但关键的问题3和4始终没有太多头绪。b我找过一些 ...

3，4问的话因为你讲的不是太清楚，我也猜不出来是什么。你vba的话等待时间有多长？matlab的话，我估计一般电脑等待时间不会超过5分钟。

还有就是如果你都可以用公式算出bsprice了，没有必要用simulation做，因为simulation是一定有error的。不知道多一个价格对你有什么用？

看了两位的对话，有几点供参考：
1. 问题2：(Xk-K)+等价于max(0,Xk-k)，注意，不是算最大值。
2. 问题3，4，我觉得这个b在实务中很难算的，我觉得一般取b=1，MU只是对结果的称呼，没什么重要意义。
3. 你试试同样是10000次运算，用b=1看看是否算出来的值的标准差比不使用CONTROL VARIATE（即b=0）算出来的标准差要小？而且b=1时的结果多数情况下（不是所有情况下）比b=0的结果要接近于BS算出来的值？这样，才能理解CONTROL VARIATE的作用。
4. 关于VBA运算速度，我同意VBA当然很慢。但不会慢到你们说的程度，我的机器（现在能买到的中档配置的电脑而已）计算100万次模拟只需跑6秒钟。你看看是否程序有错。
5. 还有你那个例子，我用BS和MONTE CARLO模拟这两种方法算出来的PREMIUM都是18.757左右，不是10.7多，与你的结果差太远了，看看你程序是否有错。
6. 有了BS为啥还需要MONTE CARLO模拟？在BS可以计算（如你的那个例子）时，当然是多此一举。但是，其他条款复杂的期权，BS根本就没用了。在很多情况下，MONTE CARLO模拟可能是唯一可行的（算近似值的）方法。

谢谢各位热心解答。

那个运算结果的确是错误的，soar说的没错，结果应该是在18左右。

使用MC的原因如楼上所说，并非只为了欧式期权，只是定价中有欧式期权，就顺道测试一下MC欧式期权中实际应用意义。

VBA定价如果等待时间超过5秒就没意义了。

最后，受到各路英雄指点后，算是完成了一个减少方差的方法。
b是需要Pre run出来的。b=covar(X, Y)/var(X), 重新导入计算mu，mu的均值为结果。
但是我程序似乎还有错，因为当我增加T，并把s设与k相当接近的情况后（也就是一个很接近ATM的期权），BS和MC的误差变得相当大（见图）。


我感觉MC的计算或许有错。
以下是我的MC计算code （为了方便阅读，我省略了减少方差的部分）另外如果觉得这个过程可以优化的话，请猛拍砖~~

Function MC(ByVal s As Double, _
                    ByVal r As Double, _
                    ByVal T As Double, _
                    ByVal v As Double, _
                    Optional ByVal y As Double)

Dim variationRelative As Double
Dim rand As Double
rand = Application.NormSInv(Rnd())
variationRelative = (r - y - v ^ 2 / 2) * T + rand * v * T ^ (1 / 2)
MC = s * Exp(variationRelative)
End Function

Sub MC1()
Dim CP As String
Dim s, k, r, T, v, y As Double
Dim tempResult As Double, tempResultS As Double
Dim nbScenario
Dim prime As Double, meanPrime As Double

    Sheets("Pricer").Activate
    CP = Cells(2, 2)
    s = Cells(3, 2)
    k = Cells(4, 2)
    r = Cells(5, 2)
    T = Cells(6, 2)
    v = Cells(7, 2)
    y = Cells(8, 2)
   
    nbScenario = 10000

    If CP = "c" Then
        For i = 1 To nbScenario
        
            prime = WorksheetFunction.Max(0, (MC(s, r, T, v, y) - k) * Exp(-r * T))
            tempResult = tempResult + prime
           
        Next i
        meanPrime = tempResult / nbScenario
    ElseIf CP = "p" Then
        For i = 1 To nbScenario
            prime = WorksheetFunction.Max(0, (k - MC(s, r, T, v, y)) * Exp(-r * T))
            tempResult = tempResult + prime

        Next i
        meanPrime = (tempResult / nbScenario)
    End If

    Cells(12, 2) = meanPrime

branch_jj 发表于 2014-7-6 18:04
谢谢各位热心解答。

那个运算结果的确是错误的，soar说的没错，结果应该是在18左右。

关于你的程序，粗看一下，似乎没错，但是，你要真正确定是否正确，以下想法供参考：
1. 10000次运算是远不够的，MC error大约=0.076，即如果用10000次算出来的值是3.12的话，95%置信区间大约是（3.12-0.076×1.96，3.12+0.076×1.96），即：有95%的把握真正的值大约在2.97～3.27之间，误差太大了。改成100万次，MC error会正好缩小10倍，我算出来的值是3.09，有95%的把握真正的值大约在3.075～3.105之间。
2. 100万次运算时间会长（看来6秒对你太长了，那么就得放弃VBA，选别的程序）
3. 注意VBA的RND()函数是不可靠的（当你需要运算此数很多时，例如100万次时），EXCEL2010版本还是不可靠的，要用VBA，你可选用MT的随机数产生程序，MT程序有VBA的版本，网上可免费下载。