以下文字摘录于《西方经济学的终结》(中国经济出版社,2005)
1-5-2 数学方法问题
1-5-2-1 并非只要是变量就能建立函数关系
首先,两个变量之间的关系从密切程度上可以分为无关、弱相关、强相关和函数关系四类。其中除“无关”外,其余的都可以叫做有关系,但是“有关”和“有函数关系”不是一个概念。因此,不要一看到两个变量之间可能有关系,就以为一定存在一个函数关系。这一点是经济学谬用数学的一个突出问题。
其次,不是所有变量都可以不分分布对象地进行平均的。比如,将固定成本在产量上进行平均(AFC)就没有意义,因为固定成本是和产量没有关系的成本项目。某些平均数仅仅反映一种统计现象,并不能说明变量之间的逻辑关系。
最后,不是所有变量都具有加和性质。比如总需求量、总供给量、总购买量、总产量、总收益、总利润等等,都有一定含义。但是,不能将各个物体的运动速度加起来叫做“总速度”;也不能将市场上各种商品的价格加起来求得“总价格”、因此,也没有“总边际效用”这类概念存在。如果谈到这些概念,必须认真考虑其计量含义,否则有可能就是毫无意义甚至是错误的。
1-5-2-2 数学语言的互译不等于论证
对于数学来说,代数和几何是数学语言的两个方言分支,两种语言之间具有互译性,数学家可用两种语言的任何一种来描述对象,不会影响描述的结果。你可以画出一条直线,也可以写出一个二元一次方程,结果是一样的。
这种用不同的语言形式描述同一对象的现象是科学研究常见的做法,它告诉我们,当你可以画出一条曲线时,就意味着你可以同时写出了一个方程式。反之,如果函数方程是不可知的,那么你也无法画出对应的曲线。
由于互译性,互译的两种表达方法之间不能够彼此证明。我们不能根据图表划出的曲线来说,你瞧,曲线是这样的!图表和曲线和方程是一体的,只是描述同一个事物的不同语言。
先人为建立一组具有相关关系的数据,然后据此画出一条曲线,再指着曲线说:你瞧,它们具有线性的负(正)相关关系——这就是传统经济学的主要研究方法。几乎所有的曲线都是在无须给出函数方程式的情况下画出来的,比如需求曲线、供给曲线、效用曲线。你无论在什么教科书中都难以查到一个具体的、有来源根据的效用函数方程式,但是经济学家们却能够顺利地展开研究,画出一条曲线来。
要知道,在数学上,数据表、曲线和方程式是完全等价的,三者之间无法互相证明。而这不过是不同数学语言分支之间的“翻译”,就像用“dog”是什么样子来论证“狗”是什么样子。
如果仅仅知道一个变量是其它两个变量的函数,而不知道具体的函数形式,可不可以将这个函数的图形表示出来?这是个数学家无法解决的问题。数学的结论是:对于具有N个变量的一元方程来说,通常需要至少N个独立的方程组成方程组才有可能求得一组解。
对z=z(x,y)来说,我们不知道具体的函数形式,将一筹莫展。 如果附加一个限制条件,比如y=y(x),我们就知道,其实z是x或y的单函数,函数形式z=z(x,y)只不过是一个复合形式罢了。
当给出y=y(x)之后,我们可以根据这个函数描绘出y-x曲线来。曲线的形状就由所给定的y=y(x)限制了,不会再出现其它情况的形状。
1-5-2-3 最大值问题
西方微观经济学一直在误用数学的知识。经济学的数学谬用,在最大值问题上表现的最为突出。在经济学中,最大化的惟一方法就是求导,然后令一阶导数为0。然而,最大化成立的条件却是人为地假定成立而不是实际上成立的。这就是许多经济学结论之所以荒谬的根源。
为了说明这个问题,我们首先看看数学对最大值问题的研究,这有利于纠正许多经济学人谬用数学的习惯。
数学上,当函数连续可导时,一阶导数为零,仅仅表示函数在此点处于一个“极值点”上,并不表示是最大或最小值。比如一个两端比中间高的W形图形,有三个点的一阶导数为0,但是都不是最大点,有两个点还是极小值点。
对于连续的一元函数,数学上通常要经过四个步骤求最大值:找出一阶导数为0的驻点;算出驻点的函数值;求出左右边界上的函数值;比较边界和各驻点的函数值大小,其中最大者为函数在此区间上的最大值。但是,如果可以事先证明函数是单调的,那么,最大值问题就完全用不到导数计算了。以求导的方法求取极大值,仅仅是对非单调的连续函数才有用。
但是,经济学家似乎是“一根筋”,一谈到求最大值,就认为只要让一阶导数为零就解决了问题,连最大值是否存在都不去考虑,如果拿捏不准就假定最大值存在。我们经常看到效用理论中使用拉格朗日乘子法,将不是约束条件的预算线当作约束条件,将错误条件下的“条件极值”当作“极大值”。经济学遇到的问题,许多恰恰是单调变化的,比如效用、收益、产量、总购买量、成本的变化等等,而单调函数的最大值只能在边界上。
1-5-2-4 变量的定义域问题
和函数问题有关的一个重要问题就是变量的取值范围问题,即定义域问题。函数的单调性也涉及到定义域问题。但是,经济学通常不考虑这个问题,对变量的取值范围采取回避态度。因此,也就回避了在某个定义域上的函数单调性问题。
比如,需求量、购买量、效用、消费量、生产速度等等都是有最大值的变量,而非可以无限增长的变量,即定义域不是(0,+∞)。回避定义域问题,许多讨论就在无形之中处于变量无定义的范围了,变成毫无意义的空谈。
经济是人的行为,经济学上许多变量的取值范围都可以从行为心理学方面确定其边界。比如购买量是以需求量为边界的;需求量就是以效用最大为边界的;供给量是以需求量为边界的;生产速度是以设备能力为边界的……
1-5-2-5 因果逻辑问题
传统的经济学,忽而在供求曲线里讲“价格是影响供求量的主要因素”,忽而又在均衡分析中讲“供求决定价格”。在讲价格决定供求时的价格是历史的价格,而讲供求决定价格时是未来的价格,此价格非彼价格,表现非常混乱。交换者关心的是尚未发生但即将发生的交换中的价格,它只能是需求的结果而不是原因。
在今后时段内的供求量和当前价格之间本来就没有因果关系。供求量和价格之间的“因果关系”是传统经济学自己想象出来的。一方面说供求决定价格,另一方面价格又不是结果而是自变量,这显然在因果逻辑上是自相矛盾的。这就是瓦尔拉斯不得不弄出个拍卖师的原因:既是结果又是原因,只有自己决定自己了。
经济学本不存在该不该用到数学的问题。数学是工具,当用则用,但不要为卖弄数学知识之用而用。熟悉自然科学的人都清楚,大多数学模型都是现实的简约而不是现实,但如何简约以形成模型并非是随意妄为的。数据或变量之间的关系也不是只有一种,有相关和非相关、正相关和负相关、强相关和弱相关。相关的变量之间也有主变量和因变量之分,因果关系不是可以随意变更的。
经济学在数学应用方面已经到了荒谬的地步,许多变量关系仅仅是经济学玩家们的主观臆想罢了,招致了许多经济学圈内人士的强烈反感和批评:随便在数学习题集里找一个方程就可以开始经济学的长篇大论了。
矛盾律的微积分表述是,如果函数y=f(x)存在反函数x=F(y),那么反函数的导数F´(y)与原函数的导数F´(x)必定同号。就是说,如果y是随x的增加而增加的,那么反过来x一定也是随y的增加而增加的,这是数学常识,即函数的导数等于反函数的导数的倒数,就是:F´(y)=1/ F´(x)。即从纯粹数学角度讲,“价格上涨需求量下降”若成立,则“需求量下降则价格上涨”也必定成立,但是传统经济学却只认前者不认后者(事实上是两者皆谬)。
只认前者不认后者的理由是价格是原因,不能将需求量作为原因。但是均衡分析的思想基础本来就是“供求平衡”、“供求决定价格”,供求是因,价格是果。现在的西方微观经济学教材中还经常会用到需求函数的“反函数”的提法,而反函数就是倒因为果的,而根据需求函数的反函数恰恰得到“需求量下降时价格上升”的结论。
但是主流经济学也不是一直坚持某种因果逻辑,而是随心所欲的。价格和供求量的关系都是作为经济学最基本的知识放在经济学教科书的开始的篇章里讲解。但是,到了需要的时候,经济学又可以完全忘掉这个问题,把供求量和价格之间的所谓逻辑关系置之不理,比如在预算线移动、边际成本推导等等之中,价格又成了和供求不相干的变量或常数。
如果承认供求决定理论,将需求量作为自变量,我们还可以从反需求函数中得到更加不可思议的结论:对P=A-BQd,令Qd=A/B,则有P=0。这意味着只要你的需求量达到一个特定的值,对方就会把东西白送给你。天下竟有这等好事:只要算出每种商品的A/B值,想要什么就有什么!
现实的情况是,消费者可以“组团采购”,使得组团采购的数量正好等于A/B。另一个现实是,需求速度越大,即超过了供给速度形成供不应求,价格不是降低而是增加。
假如说不能谈论供求决定论,只能是价格决定需求不是相反,那么建立在供求决定价格的理念基础上的均衡分析理论又从何说起?
1-5-2-6 “条件相同准则”是伪科学教条
萨缪尔森无原则的“一定要假设其它条件不变”理论,将“条件相同准则原理”发挥到极致,也将经济学滥用数学推向了颠峰。“不能保持其它条件不变”(Failure to hold other things constant)被萨缪尔森当作经济学研究常犯错误之一。
然而,“条件相同准则”是一个典型的伪科学教条,是一个天大的数学笑话。在一个多元函数关系中,绝对不可以随便假设什么变量是不变的。只有确认各个变元之间是各自独立,没有关系的,才可以假设某个变元为常数。
比如,我们不可以对着C=Q/U来讨论假设C不变,U随Q如何变化,因为这时C如果被指定代表某物体的电容,Q是带电量而U是电压,就不能根据Q=UC来讨论Q随C如何变化,因为电容C恒为常数。例如,我们也不可以对着z=y/(x-1)来妄论Z随X的增加而减少,因为y可能代表x2-1或其他与x相关的关系y=y(x),当x增加时z不但不减少反而可能是增加的。
再比如,我们知道,父亲年龄Yf和儿子年龄Ys之比r符合下式r=Yf/Ys,我们不可以根据此式说r和Yf成正比和Ys成反比,因为这个结论只能在假定其中一个不变时才成立,而实际上父子年龄是相关的,无法假定其中一个不变。随着时间推移,r是以1为极限的。
科学上对待变量,要考虑变量的性质,是自变量还是因变量,是独立变量还是函数。非独立的变量,就不能简单假定其不变。
在萨缪尔森不顾科学逻辑的谆谆教导之下,后继者创造了无数的数学荒谬,导致做一名经济学家成为“最容易”的事儿。