规模报酬与平均成本、边际成本关系的数学证明

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例如证明规模报酬不变时，边际成本不变。或者规模报酬递增时，平均成本递减，边际成本也严格递减。在看平新乔的十八讲，对这个地方有疑惑，但我自己写不出来，求解救

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关键词：规模报酬 边际成本 规模报酬递增 报酬递增 平新乔 成本 规模 数学

假设生产函数Q=F(K,L)有如下关系
\[F(\lambda K , \lambda L) = \lambda^{m}F(K,L) = \lambda^{m}Q \]
当m=1时为报酬不变，m>1时是报酬递增。
那么成本为\[

C= w L + r K
\]
平均成本为\[

AC(K,L) = w \frac{L}{Q} + r \frac{K}{Q}
\]
边际成本为\[

MC(K,L) = w\frac{\partial L}{\partial Q} + r \frac{\partial K}{\partial Q}
\]
可以很容易发现
[LaTex]
AC(\lambda K, \lambda L) =\lambda^{1-m} \times [w \frac{L}{Q} + r \frac{K}{Q}] [/LaTex]
[LaTex]
MC(\lambda K, \lambda L) = \lambda^{1-m}\times [w\frac{\partial L}{\partial Q} + r \frac{\partial K}{\partial Q}]
[/LaTex]
因此，当m=1时，边际成本与平均成本不变，而当m>1时，两者都递减。